備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強化訓(xùn)練第二章函數(shù)第5講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)對數(shù)冪值比較大小的策略

指數(shù)、對數(shù)、冪值比較大小的策略策略1干脆法例6（1）[2023南京六校聯(lián)考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝log324，則a，b，c的大小關(guān)系是（D）A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析因為0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因為c＝log324＝log2522＝25log22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜（2）[2022全國卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則（A）A.a＞0＞b B.a＞b＞0 C.b＞a＞0 D.b＞0＞a解析因為9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011，因為log910－log1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg9·lg11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a＞策略2圖象法例7[2024山西高校附中模擬]若ea＝－lna，e－b＝lnb，e－c＝－lnc，則（B）A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析在同始終角坐標(biāo)系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝lnx，y＝－lnx的圖象，如圖所示，由圖象可知a＜c＜b.故選B.策略3構(gòu)造函數(shù)法例8[全國卷Ⅰ]設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則（D）A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z解析令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z為正數(shù)，知k＞1.解法一（作差法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，因為k＞1，所以lgk＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－解法二（作商法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得由5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg5所以3y＜2x＜5z.解法三（函數(shù)法）易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，設(shè)函數(shù)f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），則f（2）＝2lnkln2＝2x，f（3）＝3lnkln3＝3y，f（f'（t）＝lnk·ln易得當(dāng)t∈（e，＋∞）時，f'（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增.因為e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.方法技巧指數(shù)、對數(shù)、冪值比較大小的策略1.干脆利用函數(shù)的性質(zhì)，題目中出現(xiàn)的常數(shù)，特別值（如0，1）等比較大小.2.當(dāng)待比較大小的代數(shù)式無法單獨分別出來時，通常會考慮代數(shù)式的幾何意義，通過圖象，利用交點坐標(biāo)比較大小.3.式子結(jié)構(gòu)比較麻煩，或呈現(xiàn)肯定規(guī)律時，通常會構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性比較大小.4.作差、作商也是比較大小常用的方法.訓(xùn)練4（1）[2024山東省棗莊市第三中學(xué)模擬]設(shè)x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），則x，y，z的大小關(guān)系為（A）A.z＞y＞x B.y＞x＞zC.x＞z＞y D.z＞x＞y解析易得lnx＝0.03，lny＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），則f'（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上遞減，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，則x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.yln（e0.6＋e0.4）＞ln2e0.6+0.4＝ln2＋lne＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故（2）[多選/2023黑龍江西北八校聯(lián)考]已知實數(shù)x，y，z滿意z·lnx＝z·ey＝1，則下列關(guān)系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞z B.x＞z＞yC.z＞x＞y D.z＞y＞x解析由題知實數(shù)x，y，z滿意lnx＝ey＝1z，在同始終角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)m＝lnn，m＝en，m＝1n的大致圖象，如圖所示，再分別作出與n軸平行且與三個函數(shù)圖象均相交的直線，依次記為m＝m1，m＝m2，m＝m3由直線m＝m1與三個函數(shù)圖象的交點狀況可得z＞x＞y，由直線m＝m2與三個函數(shù)圖象的交點狀況可得x＞z＞y，由直線m＝m3與三個函數(shù)圖象的交點狀況可得x＞y＞z.故選ABC.（3）[多選/2024廣東省汕頭市金禧中學(xué)模擬]若0＜c＜b＜1＜a，則下列不等式正確的是（ABC）A.log2024a＞log2024b B.logca＞logbaC.（c－b）ac＞（c－b）ab D.（a－c）ac＞（a－c）ab解析對選項A：因為a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x為增函數(shù)，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正確.對選項B：因為a＞1＞b＞c＞0，所以log