2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 微專題 利用截長(zhǎng)補(bǔ)短解決線段和差關(guān)系 （課件）

方法解讀1.遇角平分線構(gòu)造對(duì)稱圖形【條件】如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.①截長(zhǎng)法：在AB上截取AE＝AC.【結(jié)論】①BE＝DE＝DC；②AB＝AC＋CD；微專題利用截長(zhǎng)補(bǔ)短解決線段和差關(guān)系②補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使得AF＝AB，連接DF.【結(jié)論】①CD＝CF；②AB＝AC＋CD.2.遇垂線構(gòu)造對(duì)稱圖形【條件】在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＋BD＝CD.①截長(zhǎng)法：在BC上截取CE＝AB.【結(jié)論】BD＝DE，AE＝EC＝AB；②補(bǔ)短法：延長(zhǎng)DB至點(diǎn)E，使BE＝BA，連接AE.【結(jié)論】DE＝CD，AE＝AC.3．題干中若無角平分線或垂線，需進(jìn)行線段的等量轉(zhuǎn)化例例1如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C.求證：AC＝AB＋BD.【自主作答】證明：如解圖，在AC上截取AE＝AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，例1題圖E∵∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD.例1題圖E例2題圖例2如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D.求證：CD＝BD＋AB.【自主作答】證明：【解法一】如解圖①，在CD上截取DP＝BD，連接AP，P∵AB＝AP，∠B＝∠APB＝2α，∠APB＝∠C＋∠CAP＝α＋∠CAP，∴∠C＝∠CAP＝α，∴AP＝PC，∴AB＝AP＝PC，∴CD＝DP＋PC＝BD＋AB.2α2αα∵AB＝BP，∴∠P＝∠PAB＝α，∴∠P＝∠C，∴AP＝AC，∵AD⊥PC，∴DP＝DC，∴CD＝DP＝BD＋PB＝BD＋AB.【解法二】如解圖②，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)P，使BP＝AB，連接AP，P例2題圖2αααα【解法三】如解圖③，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)P，使DP＝DC，P例2題圖∵DP＝DC，AD⊥PC，∴AP＝AC，∴∠C＝∠P＝α，又∵∠ABC＝2α，∠ABC＝∠APB＋∠PAB＝α＋∠PAB，∴∠P＝∠PAB＝α，∴AB＝PB，∴CD＝DP＝DB＋BP＝BD＋AB.2αα∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＋∠AED＝180°，∵∠DAE＋∠B＝90°，∴2∠DAE＋2∠B＝180°，例3題圖例3如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE＋∠B＝90°，求證：BE＝DC＋CE.【自主作答】證明：如解圖，在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，F(xiàn)∴∠AED＝2∠B＝∠DCB，∵∠BED＝∠CDE＋∠DCE，∴∠AEB＝∠CDE，∴△AEF≌△EDC，∴EC＝AF，∠AFE＝∠DCB＝2∠B，∵∠AFE＝∠B＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝EF＋BF＝DC＋CE.例3題圖F安徽近年真題精選1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°.(1)求證：△PAB∽△PBC;第1題圖【思維教練】已知∠APB＝∠BPC，要證△PAB∽△PBC，則需證∠PBC＝∠PAB或∠PCB＝∠PBA，根據(jù)題干得到△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角度之間的轉(zhuǎn)換即可求證．證明：(1)∵在△ABP中，∠APB＝135°，∴∠ABP＋∠BAP＝45°.又∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，第1題圖即∠ABP＋∠CBP＝45°，∴∠BAP＝∠CBP.∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC；(4分)第1題圖(2)求證：PA＝2PC；【思維教練】已知∠APB＝∠BPC＝135°，可得∠APC＝90°，要證PA＝2PC，觀察圖形可得如下簡(jiǎn)化后的圖形，在AP上取一點(diǎn)D，使得AD＝CP，證明CP＝DP即可第1題圖(2)由(1)知△PAB∽△PBC，∴∴，∴PA＝2PC；(9分)第1題圖∵∠CAP＋∠ACP＝90°，∠ACP＋∠PCB＝90°，∴∠CAD＝∠BCP.

∵∠APB＝∠BPC＝135°，∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°，∴∠APC＝90°.∵∠CAP<45°，∴AP>CP.D如解圖①，在線段AP上取一點(diǎn)D，使AD＝CP，連接CD.第1題圖一題多解∵AC＝CB，∴△ADC≌△CPB(SAS)．∴∠ADC＝∠CPB＝135°.∴∠CDP＝45°，又∵∠APC＝90°，∴△PDC為等腰直角三角形，∴CP＝PD.∵AD＝CP，∴PA＝2PC;(9分)D第1題圖一題多解(3)若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證：＝h2·h3.

第1題圖【思維教練】分別作出三邊上的高，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，可列出關(guān)于正切值的等式，進(jìn)而求解．(3)如解圖②，過點(diǎn)P作邊AB，BC，CA的垂線，垂足分別為Q，R，S，則PQ＝h1，PR＝h2，PS＝h3.在Rt△CPR中，由(2)知

＝tan∠PCB＝tan∠