江蘇省揚(yáng)州市高郵市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月階段測試數(shù)學(xué)試題

2022～2023學(xué)年第一學(xué)期高二10月階段測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接計(jì)算拋物線焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線，則，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線的焦點(diǎn)，屬于簡單題.2.過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線斜率即可得出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€AB的斜率為，又傾斜角的范圍，所以直線AB的傾斜角為.故選：C.3.已知直線：與直線：垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.不存在【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的關(guān)系即得.【詳解】由兩直線垂直可得，解得或.故選：C.4.若直線與橢圓交于點(diǎn)，，線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法，可得答案.【詳解】設(shè)，則，兩式相減可得，整理可得，由線段中點(diǎn)為，則，故直線的斜率.故選：B.5.已知兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則稱該直線為“點(diǎn)定差直線”下列直線中，不是“點(diǎn)定差直線”的有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，聯(lián)立直線與雙曲線，求交點(diǎn)，可得答案.【詳解】由題意，點(diǎn)的軌跡是以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，則，即方程為，對于A，聯(lián)立方程，消去可得，則，則方程無實(shí)數(shù)解，故直線與雙曲線無交點(diǎn)，故A符合題意；對于B，聯(lián)立方程，消去可得，解得，故直線與雙曲線的右支有一個(gè)交點(diǎn)，則B不符合題意；對于C，聯(lián)立方程，消去可得，則，解得，由，則直線與雙曲線的右支存在一個(gè)交點(diǎn)，故C不符合題意；對于D，聯(lián)立方程，消去可得，則，解得，由，則直線與雙曲線的右支存在一個(gè)交點(diǎn)，故D不符合題意.故選：A.6.已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為10，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解.【詳解】，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)軸時(shí)，有最小值，此時(shí)的最大值為10，此時(shí)在中，令則，所以，所以的值是.故選:D.7.若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段的長是（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出已知兩個(gè)圓的圖象，利用圓的性質(zhì)可以得到兩切線互相垂直時(shí)，滿足過對方的圓心，再利用直角三角形進(jìn)行求解．【詳解】由題意作出圖形分析得：由圓幾何性質(zhì)知：當(dāng)兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直時(shí)，切線分別過對方圓心、，則在中，，，所以，斜邊上的高為半弦，且，則，即，所以.故選：C.8.定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線.以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論不正確的是（）A.與（，）共軛的雙曲線是（，）B.互為共軛的雙曲線漸近線不相同C.互為共軛的雙曲線的離心率、，則D.互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上【答案】B【解析】【分析】由共軛雙曲線的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用雙曲線的漸近線方程可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用雙曲線的離心率公式以及基本不等式可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出兩雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的方程，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，由共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，A正確；對于B選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，設(shè)，雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，這四個(gè)焦點(diǎn)都在圓上，D正確.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為B.直線的縱截距是C.直線的傾斜角為60°D.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】對于A，由傾斜角與斜率之間關(guān)系，可得答案；對于B，由斜截式方程的定義，可得答案；對于C，由一般式方程轉(zhuǎn)化成斜截式方程，結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，可得答案；對于D，由直線方程，求得所過的頂點(diǎn)，由此作圖，可得答案.【詳解】對于A，由傾斜角為，則直線斜率不存在，即垂直于軸，故方程為，則A正確；對于B，由斜截式方程，易知直線縱截距為，故B正確；對于C，由一般式方程，可得斜截式方程，設(shè)該直線的傾斜角為，則，故，故C錯(cuò)誤；對于D，由一般式方程，則斜截式方程，易知直線過頂點(diǎn)，可作下圖：則直線的斜率，直線的斜率，故，則D錯(cuò)誤.故選：AB.10.關(guān)于，的方程表示的曲線可以是（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線、圓的定義及方程判斷.【詳解】根據(jù)橢圓的定義，若即，方程表示焦點(diǎn)在軸上橢圓，所以A正確；若，即，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)榉匠讨屑扔杏钟?，則方程不能表示拋物線，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)即時(shí)方程為表示圓，所以D正確.故選:ABD.11.以下四個(gè)命題表述正確的（）A.圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于1B.已知，，三點(diǎn)，動點(diǎn)不在軸上，且滿足，則直線的斜率取值范圍是C.圓：與圓：恰有一條公切線，則D.圓：，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式求解.【詳解】(1)圓心到直線：的距離，而圓的半徑等于2，所以圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1，所以A錯(cuò)誤;(2)設(shè)點(diǎn)，由得，化簡得（），設(shè)過點(diǎn)且與（）相切直線方程為即，則有，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓（）上，所以的斜率取值范圍是，所以B正確；(3)由題可知解得，所以C錯(cuò)誤；(4)因?yàn)辄c(diǎn)為直線上，所以設(shè)，圓：的圓心為，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以以為直徑的圓方程為，即，圓與圓的公共弦直線方程為，即令，則，解得，所以直線過定點(diǎn),所以D正確.故選:BD.12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線：就是其中之一.關(guān)于曲線給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）A.圖形關(guān)于軸對稱B.圖形關(guān)于軸對稱C.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過D.曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3【答案】ACD【解析】【分析】利用圖象對稱就是點(diǎn)對稱，距離公式，以及結(jié)合圖形可解決.【詳解】若點(diǎn)在曲線上，則有，則點(diǎn)也滿足曲線的方程，即圖形關(guān)于軸對稱，所以A正確；點(diǎn)不滿足曲線的方程，即圖形不關(guān)于軸對稱，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程可寫，由重要不等式得，所以所以，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于，所以C正確；作出心形圖如圖，可知心形圖上半部分面積大于長為2，寬為1的矩形面積，下半部分大于腰長為的等腰直角三角形的面積，所以心形面積大于3，所以D正確.故選:ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線l的方程為_________．【答案】或【解析】【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況求解即可.【詳解】設(shè)直線l在y軸上的截距為a，則在x軸上的截距為．當(dāng)時(shí)，直線l過點(diǎn)，又直線l過點(diǎn)，故直線l的斜率，故直線l的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即，∴直線l過點(diǎn)，∴，∴，∴直線l的方程為．綜上可知，直線l的方程為或．故答案為：或.14.已知，是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，A是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為______.【答案】##0.5【解析】【分析】結(jié)合圖像，得到，再在中，求得，，從而得到，代入直線可得到，由此可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意知，直線的方程為：，由等腰三角形，，得，過作垂直于軸，如圖，則中，，故，，所以，即，代入直線，得，即，所以所求的橢圓離心率為.故答案為：..15.設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切,過圓心C的軌跡E上的一點(diǎn)作斜率為的直線l，與曲線E交于另外一點(diǎn)N，則的周長__________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)雙曲線的定義求出動圓的軌跡方程，再表示出直線的方程，即可判斷在直線上，再根據(jù)雙曲線的定義計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)動圓的半徑為，若動圓與圓相內(nèi)切，與圓相外切，則，，動圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切，則，，動圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線．即，，所求圓心C的軌跡的方程為；依題意直線的方程為，恰好經(jīng)過，所以在線段上，所以，，所以，，所以，即，所以故答案為：16.已知點(diǎn)是拋物線上動點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小，然后利用直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角，故當(dāng)最小時(shí)，的值最小，即當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小，設(shè)切點(diǎn)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，所以，，，，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點(diǎn)和直線：.（1）求過且與直線的平行的直線方程；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直線平行時(shí)，其一般式僅常數(shù)項(xiàng)不同，可設(shè)所求直線為，再代入即可得解；（2）不妨設(shè)所求點(diǎn)為，由對稱性可知及線段的中點(diǎn)落在直線上，得到方程組，解之即可.【小問1詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以設(shè)所求直線方程為，代入得，解得，故所求直線方程為.【小問2詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，又直線：可化為，故由及線段的中點(diǎn)落在直線上可得：，解得，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.18.求滿足下列條件的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與雙曲線有相同漸近線，且焦距為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)利用橢圓的定義以及點(diǎn)在橢圓上求解；(2)根據(jù)雙曲線及漸近線方程的定義求解.【小問1詳解】設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為兩焦點(diǎn)分別為，，又橢圓過點(diǎn)，，又，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】方法一：(i),若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，因?yàn)榕c雙曲線有相同漸近線，所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，又因?yàn)榻咕嗨裕?，?lián)立解得則雙曲線方程為，(ii),若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，因?yàn)榕c雙曲線有相同漸近線，所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，又因?yàn)榻咕嗨?，所以，?lián)立解得則雙曲線方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或方法二：設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為：（）焦距為，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或19.已知點(diǎn)，，若以為圓心的圓，被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)在圓上，當(dāng)最小時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)直線被圓截得的弦長公式求解即可;(2)當(dāng)與圓相切且切于點(diǎn)下方時(shí)，最小.【小問1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：圓被直線截得的弦長為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)與圓相切且切于點(diǎn)下方時(shí)，最小，此時(shí).20.已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率積為，記的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；（2）已知直線：與曲線交于兩點(diǎn)，且在曲線存在點(diǎn)，使得，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）：（），是除去左右兩個(gè)端點(diǎn)的雙曲線（2）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可；（2）將直線與曲線聯(lián)立消去，設(shè)，利用韋達(dá)定理得和，再設(shè)，由列方程解出的值即可.【小問1詳解】動點(diǎn)滿足直線與的斜率積為即：（），是除去左右兩個(gè)端點(diǎn)的雙曲線【小問2詳解】將直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，則，設(shè)，由得，即，又因?yàn)椋獾?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.21.已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，軸，點(diǎn)時(shí)橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓方程結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，根據(jù)橢圓的定義可得，即得；（2）由題可設(shè)：，利用韋達(dá)定理法可得的垂直平分線，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即得.【小問1詳解】由題可知，，軸，由代入，可得，又，，，，即，又，，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】設(shè)：，聯(lián)立得：，設(shè)，，則，，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，令時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，，則，，當(dāng)時(shí)，的最大值為.22.已知拋物線：，為其焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，是上位于軸兩側(cè)的不同兩點(diǎn)，且.（1）求證：直線恒過一定點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為軸上