福建省漳平第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年福建省漳平二中高一（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．（5分）若z?i＝1+i，則z的虛部為（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝45°，B＝30°（）A． B． C． D．3．（5分）已知直線m∥平面α，直線n⊥平面β，則“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）已知在正四面體A﹣BCD中，M為AB的中點，則直線CM與AD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．（5分）擲一枚均勻的正六面體骰子，設(shè)A表示事件“出現(xiàn)2點”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”則P（A∪B）（）A． B． C． D．6．（5分）已知圓錐的軸截面為正三角形，該圓錐的側(cè)面積數(shù)值與其體積數(shù)值相等，則該圓錐的底面積為（）A．3π B．12π C．27π D．48π7．（5分）某校舉辦了數(shù)學(xué)知識競賽，并將1000名學(xué)生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖（）①a的值為0.005②估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75③估計這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60④估計成績高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且＝2，M為線段B1C1上的動點，則三棱錐M﹣PBC的體積為（）A．a(chǎn)3 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)3 D．與點M的位置有關(guān)二、多選題（多選）9．（6分）若復(fù)數(shù)z滿足（﹣1+i）?z＝1+5i（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．z的虛部為﹣3 B．z的模為 C．z的共軛復(fù)數(shù)為3﹣2i D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限（多選）10．（6分）有下列說法，其中錯誤的說法為（）A．λ、μ為實數(shù)，若，則與共線 B．若、，則 C．兩個非零向量、，若，則與垂直 D．若，S△AOC、S△ABC分別表示△AOC、△ABC的面積，則S△AOC：S△ABC＝1：6（多選）11．（6分）在如圖所示的三棱錐O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝1，OA，OC兩兩互相垂直，下列結(jié)論正確的為（）A．直線AB與平面OBC所成的角為30° B．二面角O﹣BC﹣A的正切值為 C．O到面ABC的距離為 D．作OM⊥平面ABC，垂足為M，則M為△ABC的重心三、填空題12．（5分）如圖，直角梯形ABCD是某個多邊形的斜二測直觀圖，∠ABC＝45°，DC⊥BC，則該多邊形原本的面積為．13．（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)．14．（5分）銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則△ABC面積S的取值范圍．四、解答題15．（13分）已知向量，．（1）若，求實數(shù)k的值；（2）若，求實數(shù)k的值．16．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，點E為線段PD的中點．（Ⅰ）求證：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求證：AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐A﹣PCE的體積17．（15分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），60），…，[90（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在[50，60）的平均成績是61，方差是7，70）的平均成績?yōu)?0，方差是4和總方差s2．18．（17分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．19．（17分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，AD上，EF∥AB，使BE⊥EC．（1）若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，使得CP∥平面ABEF？若存在的值；若不存在（2）求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值，并求出此時點F到平面ACD的距離．2023-2024學(xué)年福建省漳平二中高一（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題1．（5分）若z?i＝1+i，則z的虛部為（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】由已知化簡求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)虛部的定義即可求解．【解答】解：因為z?i＝1+i，則z＝，所以z的虛部為﹣1，故選：D．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)，涉及到求解復(fù)數(shù)虛部的問題，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝45°，B＝30°（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解．【解答】解：由正弦定理可得，＝，所以b＝，故選：A．【點評】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．3．（5分）已知直線m∥平面α，直線n⊥平面β，則“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)題意，由空間中的線面關(guān)系，分別驗證命題的充分性與必要性即可得到結(jié)果．【解答】解：因為直線m∥平面α，直線n⊥平面β，可得α⊥β；當(dāng)α⊥β時，m，n不一定平行，故必要性不滿足；所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查充分必要條件的證法，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知在正四面體A﹣BCD中，M為AB的中點，則直線CM與AD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)正四面體A﹣BCD的棱長為2，取BD的中點N，連結(jié)MN，CN則MN∥AD，∠CMN是CM與AD所成的角，由此能求出直線CM與AD所成角的余弦值．【解答】解：如圖，設(shè)正四面體A﹣BCD的棱長為2，連結(jié)MN，CN，∴MN∥AD，∴∠CMN是CM與AD所成的角，設(shè)MN的中點為E，則CE⊥MN，在△CME中，ME＝，∴直線CM與AD所成角的余弦值為cos∠CME＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．5．（5分）擲一枚均勻的正六面體骰子，設(shè)A表示事件“出現(xiàn)2點”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”則P（A∪B）（）A． B． C． D．【分析】先由古典概型的概率公式求出事件A，B的概率，判斷出A，B為互斥事件，利用互斥事件的概率和公式求出A∪B的概率．【解答】解：由古典概型的概率公式得∵，事件A與B為互斥事件由互斥事件的概率和公式得故選：B．【點評】求一個事件的概率關(guān)鍵是判斷出該事件所屬于的概率模型，然后選擇合適的概率公式進(jìn)行解決．6．（5分）已知圓錐的軸截面為正三角形，該圓錐的側(cè)面積數(shù)值與其體積數(shù)值相等，則該圓錐的底面積為（）A．3π B．12π C．27π D．48π【分析】由軸截面正三角形可得，進(jìn)而由圓錐的側(cè)面積數(shù)值與其體積數(shù)值相等可求半徑，從而可得圓錐的底面積．【解答】解：幾何體如圖所示：因為軸截面△PAB是正三角形，所以，圓錐的側(cè)面積等于πrl＝2πr2，圓錐的體積等于，由圓錐的側(cè)面積數(shù)值與其體積數(shù)值相等，得，得，故圓錐的底面積為πr4＝12π．故選：B．【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積與體積的計算，屬于中檔題．7．（5分）某校舉辦了數(shù)學(xué)知識競賽，并將1000名學(xué)生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖（）①a的值為0.005②估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75③估計這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60④估計成績高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)判斷①；利用眾數(shù)、百分位數(shù)的求法判斷②③；根據(jù)頻率分布直方圖計算可估計總體判斷④．【解答】解：由頻率分布直方圖可知10×（2a+3a+4a+6a+5a+a）＝7，解得a＝0.005，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間[70，80），即眾數(shù)為75；前兩組頻率之和為（0.01+4.015）×10＝0.25，∴這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60，故③正確；成績高于80分的頻率為（0.025+6.005）×10＝0.3，∴估計總體成績高于80分的有1000×4.3＝300人，故④正確．故選：D．【點評】本題考查頻率分布直方圖、眾數(shù)、百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且＝2，M為線段B1C1上的動點，則三棱錐M﹣PBC的體積為（）A．a(chǎn)3 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)3 D．與點M的位置有關(guān)【分析】由題意轉(zhuǎn)化頂點計算棱錐的體積即可．【解答】解：由題意可得：，點P到平面BCM4B1的距離為，則其體積：．故選：A．【點評】本題主要考查錐體體積的計算，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題（多選）9．（6分）若復(fù)數(shù)z滿足（﹣1+i）?z＝1+5i（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．z的虛部為﹣3 B．z的模為 C．z的共軛復(fù)數(shù)為3﹣2i D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)虛部的定義，復(fù)數(shù)的模的計算公式，共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的幾何意義逐一判斷即可．【解答】解：由（﹣1+i）?z＝1+2i，得，則z的虛部為﹣3，故A正確；z的模為，故B正確；z的共軛復(fù)數(shù)為2+3i，故C錯誤；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（6，﹣3），故D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）有下列說法，其中錯誤的說法為（）A．λ、μ為實數(shù)，若，則與共線 B．若、，則 C．兩個非零向量、，若，則與垂直 D．若，S△AOC、S△ABC分別表示△AOC、△ABC的面積，則S△AOC：S△ABC＝1：6【分析】由零與任何向量共線，即可判斷B；由三角形的重心的向量表示和性質(zhì)可判斷D；由向量共線的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律判斷C，從而得出結(jié)論．【解答】解：對于選項A，當(dāng)λ＝μ＝0時，與，滿足，但與不一定共線；對于B選項，如果、，，滿足題中條件，故B錯；對于C選項，若，則＝，展開化簡，∴與垂直；對于D選項，∵，設(shè)，，故有OA′+OB+OC′＝0，可得O為△A'BC'的重心，設(shè)S△AOB＝x，S△BOC＝y(tǒng)，S△AOC＝z，則S△A'OB＝7x，S△BOC'＝3y，S△A'OC'＝6z，由4x＝3y＝6z，可得S△AOC：S△ABC＝z：（x+y+z）＝4：6，故D正確；故選：AB．【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，向量的模的定義和求法，平面向量的運算，屬于中檔題．（多選）11．（6分）在如圖所示的三棱錐O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝1，OA，OC兩兩互相垂直，下列結(jié)論正確的為（）A．直線AB與平面OBC所成的角為30° B．二面角O﹣BC﹣A的正切值為 C．O到面ABC的距離為 D．作OM⊥平面ABC，垂足為M，則M為△ABC的重心【分析】利用線面垂直的判定定理可得AO⊥平面OBC，可得∠ABO為直線AB與平面OBC所成的角，即可判斷A項；利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOD，即得∠ODA為二面角O﹣BC﹣A的平面角，即可判斷B項；利用等體積法求點面距離即可判斷C項；利用線面垂直得判定定理結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可判斷D項．【解答】解：因為OA，OB，OB∩OC＝O，故∠ABO為直線AB與平面OBC所成的角，又OA＝OB＝OC＝1，故直線AB與平面OBC所成的角為45°，故A錯誤；取BC中點為D，連接OD，因為OA＝OB＝OC＝1，OA，OC兩兩互相垂直，OD⊥BC，因為OD∩AD＝D，所以BC⊥平面AOD，則，故二面角O﹣BC﹣A的正切值為；因為，所以，則，解得；因為，故△ABC為等邊三角形，因為OM⊥平面ABC，則M點為O點在平面ABC上的投影，即O點到△ABC頂點A，B，C的距離相等，B，C的距離相等，故M為△ABC的重心，故D項正確；故選：BD．【點評】本題主要考查線面角的計算，二面角的計算，點面距離的計算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．三、填空題12．（5分）如圖，直角梯形ABCD是某個多邊形的斜二測直觀圖，∠ABC＝45°，DC⊥BC，則該多邊形原本的面積為3．【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖的面積，結(jié)合直觀圖面積與原圖面積的關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直觀圖ABCD是直角梯形，AD＝DC＝1，則BC＝1+8＝2，其面積S′＝＝，則該多邊形原本的面積為S＝2S′＝3．故答案為：5．【點評】本題考查平面圖形的直觀圖，注意直觀圖面積與原圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)．【分析】先求出基本事件總數(shù)n＝6×6＝36，再由列舉法求出“點數(shù)之和等于6”包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出“點數(shù)之和等于6”的概率．【解答】解：將一枚骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，基本事件總數(shù)n＝6×4＝36，“點數(shù)之和等于6”包含的基本事件有：（1，6），1），4），2），3），∴“點數(shù)之和等于6”的概率為p＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．14．（5分）銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則△ABC面積S的取值范圍（1，2）．【分析】先利用正弦定理進(jìn)行角化邊，結(jié)合余弦定理算出，然后根據(jù)將面積S化成關(guān)于邊c的函數(shù)，利用角B和角C的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)算出c的取值范圍，進(jìn)而可得△ABC面積S的取值范圍．【解答】解：由，得，整理得，結(jié)合余弦定理，可得，π），根據(jù)b＝2，由正弦定理得，由△ABC為銳角三角形，可得，且，由tanB＞1，得，所以，即．故答案為：（1，2）．【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角恒等變換公式、正切函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．四、解答題15．（13分）已知向量，．（1）若，求實數(shù)k的值；（2）若，求實數(shù)k的值．【分析】（1）利用向量平行的性質(zhì)能求出結(jié)果．（2）利用向量坐標(biāo)運算法則、向量垂直的性質(zhì)能求出結(jié)果．【解答】解：（1）向量，，因為，所以1×k﹣2×2＝0．（2）因為，，所以，因為，所以1×7+2×（2+2k）＝3．【點評】本題考查向量坐標(biāo)運算法則、向量平行、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，點E為線段PD的中點．（Ⅰ）求證：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求證：AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐A﹣PCE的體積【分析】（Ⅰ）連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)OE．可得PB∥OE，再由線面平行的判定可得PB∥平面ACE；（Ⅱ）由PA＝AD，E為線段PD的中點，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由線面垂直的判定可得AE⊥平面PCD；（Ⅲ）根據(jù)AE⊥平面PCD，結(jié)合三棱錐的體積公式求出其體積即可．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié)BD，交AC于點O，如圖示：∵O是正方形ABCD對角線交點，∴O為BD的中點，由已知E為線段PD的中點，∵PB∥OE，又OE?平面ACE，PB?平面ACE，∴PB∥平面ACE；（Ⅱ）證明：∵PA＝AD，E為線段PD的中點，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD；（Ⅲ）∵AE⊥平面PCD，故三棱錐A﹣PCE的體積V＝S△PCE?AE＝×PE?CD?AE＝××＝．【點評】本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．17．（15分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），60），…，[90（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在[50，60）的平均成績是61，方差是7，70）的平均成績?yōu)?0，方差是4和總方差s2．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1求解；（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解；（3）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式求解．【解答】解：（1）∵每組小矩形的面積之和為1，∴（0.005+8.010+0.020+a+0.025+3.010）×10＝1，∴a＝0.030；（2）成績落在[40，80）內(nèi)的頻率為（6.005+0.010+0.020+4.030）×10＝0.65＜0.75，成績落在[40，90）內(nèi)的頻率為（3.005+0.010+0.020+4.030+0.025）×10＝0.2＞0.75，所以第75百分位數(shù)落在[80，90）內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為m，則0.65+（m﹣80）×7.025＝0.75，解得m＝84，即第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績在[50，成績在[60，70）的市民人數(shù)為100×0.2＝20，故＝＝67，設(shè)成績在[50，60）中10人的分?jǐn)?shù)分別為x1，x2，x8，?，x10；成績在[60，70）中20人的分?jǐn)?shù)分別為y1，y2，y7，?，y20，則，，∴，，∴＝＝23．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的計算，屬于基礎(chǔ)題．18．（17分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和可求；（2）由已知先求出C的范圍，然后結(jié)合正弦定理及三角形面積公式，和差角公式，同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，因為2＜A＜π，故si