2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題21 阿氏圓模型（學(xué)生版）

阿氏圓模型一、知識(shí)導(dǎo)航所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的點(diǎn)的集合叫做圓．如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．下給出證明法一：首先了解兩個(gè)定理（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則．證明：在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來(lái)開(kāi)始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓．法二：建系不妨將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)置于x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A（-m，0），則B（m，0），設(shè)P（x，y），PA=kPB，即：解析式滿足圓的一般方程，故P點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是圓，且圓心與AB共線．除了證明之外，我們還需了解“阿氏圓”的一些性質(zhì)：（1）．應(yīng)用：根據(jù)點(diǎn)A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O．（2）△OBP∽△OPA，即，變形為．應(yīng)用：根據(jù)圓心及半徑和A、B其中一點(diǎn)，可求A、B另外一點(diǎn)位置．（3）．應(yīng)用：已知半徑及A、B中的其中一點(diǎn)，即可知道PA：PB的值．二、典例精析1.如圖，在△ABC中，AB=4,AC=2，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，當(dāng)AD=時(shí)，△ACD∽△ABC.解：若△ACD∽△ABC則有即∵AB=4,AC=2∴故答案為1.2.如圖，點(diǎn)P是半徑為2的上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B為外的定點(diǎn)，連接PA、PB，點(diǎn)B與圓心O的距離為4.要使的值最小，如何確定點(diǎn)P，并說(shuō)明理由.【思路分析】構(gòu)造相似三角形，將所求兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，此線段與圓的交點(diǎn)即為所求.【詳解】連接OB，OP，在OB上截取OC=1，連接AC交于點(diǎn),連接PC.根據(jù)阿氏圓可得即根據(jù)阿氏圓可得即當(dāng)點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，最小值為AC的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，PA+的值最小.3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（4,0），B（0,3），點(diǎn)E在以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.【思路分析】在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為求一條線段的長(zhǎng)，即為最小值.【詳解】如圖，在y軸上取一點(diǎn)M，連接OE，EM，AM，則OE=2，OB=3，OM=∴又∵∴∴,即∴當(dāng)A、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，AE+BM的值最小，最小值為AM的長(zhǎng).在中，∴當(dāng)E為線段AM與的交點(diǎn)時(shí)，有最小值為.4．如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,0），將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為α，連接、，求的最小值.【思路分析】由旋轉(zhuǎn)可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一段圓弧，在y軸上找一點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，再結(jié)合各點(diǎn)坐標(biāo)求解即可.【詳解】解：∵拋物線的解析式為∴∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,0）∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一段圓弧.如圖在y軸上取一點(diǎn)，連接，則，，∴又∵∴∴即∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BM的長(zhǎng).∵∴當(dāng)為BM與圓弧的交點(diǎn)時(shí)，有最小值為.三、中考真題演練1．（2022·廣東惠州·一模）如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使四邊形的面積為16，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．2．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為，△AEN的周長(zhǎng)為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．3．（2019·山東·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由．4．（2018·廣西柳州·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且