浙江名校新2025屆高一下數學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

浙江名校新2025屆高一下數學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．德國數學家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半(即)；如果是奇數，則將它乘3加1(即)，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現在請你研究：如果對正整數(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1（注：1可以多次出現)，則的所有不同值的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．322．在中，，則是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形3．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（）A． B． C． D．4．如圖，函數的圖像是（）A． B．C． D．5．在平面直角坐標系中，圓：，圓：，點，動點，分別在圓和圓上，且，為線段的中點，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．46．已知數列的前項和為，且，若對任意，都有成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在△ABC中，D是邊BC的中點，則＝A． B． C． D．8．在集合且中任取一個元素，所取元素x恰好滿足方程的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得，，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于A． B． C． D．10．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列滿足，，則數列的通項公式______．12．已知，且是第一象限角，則的值為__________.13．設等比數列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．14．已知,,,是球的球面上的四點，，，兩兩垂直，,且三棱錐的體積為，則球的表面積為______．15．定義為數列的均值,已知數列的均值,記數列的前項和是,若對于任意的正整數恒成立,則實數k的取值范圍是________．16．設是等差數列的前項和，若，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．己知點，直線l與圓C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B兩點，且OA⊥OB．（1）若直線OA的方程為y＝一3x，求直線OB被圓C截得的弦長；（2）若直線l過點（0，2），求l的方程．18．已知點，圓．（1）求過點M的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為，求的值．19．某產品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件。（1）試寫出銷售量與n的函數關系式；（2）當時，廠家應該生產多少件產品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？20．求值：（1）一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數；（2）已知，計算.21．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由題意：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半(即)；如果是奇數，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項為1出發(fā)，逐項求出各項的取值，可得的所有不同值的個數.【詳解】解：由題意：如果對正整數(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1，則變換中的第5項一定是2，變換中的第4項一定是4，變換中的第3項可能是1，也可能是8，變換中的第2項可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【點睛】本題主要考查數列的應用及簡單的邏輯推理，屬于中檔題.2、D【解析】

先由可得，然后利用與三角函數的和差公式可推出，從而得到是直角三角形【詳解】因為，所以所以因為所以即所以所以因為，所以因為，所以，即是直角三角形故選：D【點睛】要判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要有以下兩條途徑：①角化邊：把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得到邊的對應關系，從而判斷三角形形狀，②邊化角：把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.3、D【解析】

由已知中直線和互相平行，求出的值，再根據兩條平行線間的距離公式求得它們之間的距離．【詳解】∵直線和互相平行，則，將直線的方程化為，則兩條平行直線之間的距離，＝＝＝.故選：D．【點睛】本題主要考查兩條直線平行的性質，兩條平行線間的距離公式的應用，屬于中檔題．4、B【解析】

根據的取值進行分類討論，去掉中絕對值符號，轉化為分段函數，利用正弦函數的圖象即可得解.【詳解】當時，；當時，.因此，函數的圖象是B選項中的圖象.故選：B.【點睛】本題考查正切函數與正弦函數的圖象，去掉絕對值是關鍵，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.5、A【解析】

由得，根據向量的運算和兩點間的距離公式，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡得，∴點的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M在圓C3內，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點睛】本題主要考查了圓的方程及性質的應用，以及點圓的最值問題，其中解答中根據圓的性質，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．6、B【解析】即對任意都成立，當時，當時，當時，歸納得：故選點睛：根據已知條件運用分組求和法不難計算出數列的前項和為，為求的取值范圍則根據為奇數和為偶數兩種情況進行分類討論，求得最后的結果7、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質求解即可.詳解：因為是的中點，所以，所以，故選C.點睛：本題主要考查共線向量的性質，平面向量的減法法則，屬于簡單題.8、B【解析】

寫出集合中的元素，分別判斷是否滿足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數為，滿足方程的基本事件數為.故所求概率.故選：B.【點睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎題.9、D【解析】在中，由正弦定理得，解得在中，10、C【解析】

根據扇形的面積公式即可求得.【詳解】解：由題意：，所以扇形的面積為：故選：C【點睛】本題考查扇形的面積公式，考查運算求解能力，核心是記住公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在等式兩邊取倒數，可得出，然后利用等差數列的通項公式求出的通項公式，即可求出.【詳解】，等式兩邊同時取倒數得，.所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，.因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用倒數法求數列通項，同時也考查了等差數列的定義，考查計算能力，屬于中等題.12、；【解析】

利用兩角和的公式把題設展開后求得的值，進而利用的范圍判斷的范圍，利用同角三角函數的基本關系求得的值，最后利用誘導公式和對原式進行化簡，把的值和題設條件代入求解即可.【詳解】，，即，，兩邊同時平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即為第一或第四象限，，.故答案為：.【點睛】本題考查了兩角差的余弦公式、誘導公式以及同角三角函數的基本關系，需熟記三角函數中的公式，屬于中檔題.13、-8【解析】設等比數列的公比為，很明顯，結合等比數列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數列的通項公式可得.【名師點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.14、【解析】

根據三棱錐的體積可求三棱錐的側棱長，補體后可求三棱錐外接球的直徑，從而可計算外接球的表面積．【詳解】三棱錐的體積為，故，因為，，兩兩垂直，，故可把三棱錐補成正方體，該正方體的體對角線為三棱錐外接球的直徑，又體對角線的長度為，故球的表面積為.填.【點睛】幾何體的外接球、內切球問題，關鍵是球心位置的確定，必要時需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中．如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定．15、【解析】

因為,,從而求出,可得數列為等差數列,記數列為,從而將對任意的恒成立化為,,即可求得答案.【詳解】,,故,,則,對也成立,,則,數列為等差數列,記數列為.故對任意的恒成立,可化為:,；即,解得,,故答案為:．【點睛】本題考查了根據遞推公式求數列通項公式和數列的單調性,掌握判斷數列前項和最大值的方法是解題關鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.16、1.【解析】

由已知結合等差數列的性質求得，代入等差數列的前項和得答案．【詳解】解：在等差數列中，由，得，，則，故答案為：1．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，考查等差數列的性質，考查了等差數列前項和的求法，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據題意，求得直線OB的方程，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線OB的距離，之后應用圓中的特殊三角形，求得弦長；（2）根據題意，可判斷直線的斜率是存在的，設出其方程，與圓的方程聯立，得到兩根和與兩根積，根據OA⊥OB，利用向量數量積等于零得到所滿足的等量關系式，求得結果.【詳解】（1）因為直線OA的方程為，，所以直線OB的方程．從而圓心到直線OB的距離為：所以直線OB被團C截得的弦長為：．（2）依題意，直線l的斜率必存在，不妨設其為k，則l的方程為，又設，．由得，所以，．從而．所以．因為，所以，即，解得．所以l的方程為．【點睛】該題考查的是有關直線與圓的問題，涉及到的知識點有兩直線垂直的條件，直線被圓截得的弦長，直線方程的求解，屬于簡單題目.18、（1）或．（2）【解析】

(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當斜率存在時設方程為,再根據圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據圓心到直線的距離列出等式求解即可.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標為,半徑,當過點M的直線的斜率不存在時,方程為．由圓心到直線的距離知,此時,直線與圓相切．當過點M的直線的斜率存在時,設方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過點M的圓的切線方程為或．（2）∵圓心到直線的距離為,∴,解得．【點睛】本題主要考查了直線與圓相切與相交時的求解.注意直線過定點時分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】試題分析：(1)根據若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據題意在時,利潤,可利用求最值.試題解析：（1）設表示廣告費為0元時的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設當時，獲利為元，由題意知，，欲使最大，則，易知，此時.考點：疊加法求通項,求最值.20、（1）；（2）.【解析】

（1）設出扇形的半徑為，弧長為，利用面積、周長的值，得到關于的方程；（2）由已知條件