高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專題13拋物線性質(zhì)歸類學(xué)生版新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

專題13拋物線性質(zhì)歸類綜述1.拋物線有關(guān)學(xué)問(wèn)：(1)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下2.弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；3.重要結(jié)論：拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l.(1)焦半徑問(wèn)題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而變更)；②焦點(diǎn)弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點(diǎn)動(dòng)而變)； 圖4(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H．4.拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)是過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦，若，，則：（1），；（2）若點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，則，，弦長(zhǎng)，（為直線的傾斜角）；（3）；（4）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切.5.拋物線切點(diǎn)弦公式：（1）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線方程是：；（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線方程是：．5.焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸的夾角為。|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【題型一】拋物線定義1：軌跡【典例分析】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______．【提分秘籍】基本規(guī)律求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①干脆法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，依據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，干脆求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.【變式訓(xùn)練】1.已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是__．2.一個(gè)動(dòng)圓與直線相切，且與圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是________.3.動(dòng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，則點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________．【題型二】拋物線定義2：方程與曲線【典例分析】已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿意，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)____________．【變式訓(xùn)練】1.已知實(shí)數(shù)x，y滿意，其中常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線 C．拋物線 D．橢圓2.若點(diǎn)滿意方程，則點(diǎn)P的軌跡是______．3.若動(dòng)點(diǎn)滿意，則點(diǎn)的軌跡應(yīng)為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．圓【題型三】拋物線定義3：到焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化【典例分析】已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B． C．6 D．【提分秘籍】基本規(guī)律(1)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下【變式訓(xùn)練】1.已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．2.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．3.設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．【題型四】拋物線定義4：焦半徑坐標(biāo)公式【典例分析】已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則______．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l.焦半徑問(wèn)題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而變更)；【變式訓(xùn)練】1.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則______．2.假如P1,P2,?,PA．n+10B．n+20C．23.．拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是3，則該點(diǎn)坐標(biāo)是__________．【題型五】焦半徑與焦點(diǎn)弦1：【典例分析】如圖所示，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，圓.過(guò)圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l.焦半徑：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)【變式訓(xùn)練】1.已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，圓M：，過(guò)F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.2.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且依次交拋物線及圓于點(diǎn)四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【題型六】焦半徑與焦點(diǎn)弦2：“梯形”模型【典例分析】已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則______．2.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，，若，則線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)________.3.拋物線的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿意.過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為_(kāi)_________．【題型七】焦半徑與焦點(diǎn)弦3：焦半徑“夾角”公式【典例分析】若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則的取值范圍是______．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)為F，焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，焦半徑公式：，，【變式訓(xùn)練】如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為_(kāi)__________．【題型八】焦半徑與焦點(diǎn)弦3：定比分點(diǎn)【典例分析】過(guò)拋物線，的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的傾斜角等于__________.【提分秘籍】基本規(guī)律過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸的夾角為|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【變式訓(xùn)練】1.若是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則______．2.已知傾斜角為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則______．【題型九】最值與范圍【典例分析】已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（

）A． B．3 C． D．【變式訓(xùn)練】1.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)都是拋物線上的點(diǎn)且位于軸的兩側(cè)，若(為原點(diǎn))，則和的面積之和的最小值為（）A． B． C． D．2.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（）A． B． C． D．3.．已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線上隨意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【題型十】小題大做【典例分析】拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．2.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、，則的取值范圍是A． B．C． D．3.如圖，為拋物線的焦點(diǎn)，直線（）與拋物線相交于兩點(diǎn)，若四邊形的面積為7，則A． B． C． D．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．2．拋物線W：的焦點(diǎn)為F.對(duì)于W上一點(diǎn)P，若P到直線的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線不過(guò)點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．5．在拋物線上有三點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，且F為ABC的重心，則（

）A．6 B．8 C．9 D．126．經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的右焦點(diǎn)的直線方程為（

）A． B．C． D．7．拋物線上一點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）8．拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1．已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且在第一象限，直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線與交于點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．8 B．12 C． D．2．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，于，若，則（

）A． B． C． D．3．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），滿意，且，則直線AB的斜率為（

）A． B． C． D．15．已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為_(kāi)_______.6．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)A，設(shè)直線MP，MA的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2的值為_(kāi)_______．7．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，第一象限的，兩點(diǎn)在上，若，，，若直線的傾斜角為，則________．8．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是的垂心，則直線的方程_________；培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．已知是拋物線：上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．2．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，、、為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，稱為“特殊三角形”，則“特殊三角形”有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．多數(shù)個(gè)3．的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．4．在直線l：上取一點(diǎn)D做拋物線C：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與圓E：交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)│MN│最小時(shí)，D的橫坐標(biāo)是______．5．設(shè)拋物線的