華師大新版九年級上學(xué)期《24.4解直角三角形》同步練習(xí)卷

華師大新版九年級上學(xué)期《24.4解直角三角形》

同步練習(xí)卷

一.選擇題（共6小題）

1.如圖，AABCAB=AC=4,ZC=72°,D是AB中點，點E在AC上，DE_LAB,

c.等“粵

2.一副三角板按圖1所示的位置擺放.將4DEF繞點A（F）逆時針旋轉(zhuǎn)60。后

（圖2）,測得CG=10cm,則兩個三角形重疊（陰影）部分的面積為（)

D.(25+Mypcm2

3

3.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2亞，CD=近,點P在

四邊形ABCD上，若P到BD的距離為芭，則點P的個數(shù)為（)

4.如圖，菱形ABCD的周長為40cm,DE±AB,垂足為E,sinA=3，則下列結(jié)論

5

正確的有（）

①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面積為60cm2；④BD=47mcm.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，Z^ABC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=1,過點C作CDi_LAB于Di，過

點Di作DID2，BC于。2，過點D2作D2D3*LAB于D3,這樣繼續(xù)作下去，線段

DnDn+1（n為正整數(shù)）等于（）

A.（|）n+1B.（1）^C,哼）nD,（乎）n"

6.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離，可以在小河邊取PA的垂線

PB上的一點C,測得PC=100米，ZPCA=35°,則小河寬PA等于（）

A.100sin35。米B.100sin55°米

C.100tan35°米D.100tan55°米

二.填空題（共10小題）

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A,B分別在x軸，y軸上，點A的坐標(biāo)為（-1,

0）,ZABO=30°,線段PQ的端點P從點0出發(fā)，沿△OBA的邊按。好B玲A00

運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非負半軸上運動，如果PQ=?,那

么當(dāng)點P運動一周時，點Q運動的總路程為.

8.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,D是AB的中點，過D點作AB的垂線交

AC于點E,BC=6,sinA=2,則DE=

5------------

9.如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,且BD平分AC.若BD=8,

AC=6,ZBOC=120°,則四邊形ABCD的面積為.（結(jié)果保留根號）

10.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14cm,則陰影部分的面積是

cm2.

11.如圖，ZAOB=30°,過OA上到點。的距離為1,3,5,7,...的點作OA的

垂線，分別與OB相交，得到如圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為Si，

S2，S3,....則:

（1）S1=；

（2）通過計算可得S2009=.

B

12.如圖，四邊形ABCD中，ZABC=120°,AB±AD,BC±CD,AB=4,CD=5*,

則該四邊形的面積是.

13.將直角邊長為5cm的等腰直角4ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，得到△ABC,

則圖中陰影部分的面積是cm2.

14.如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31。，AB的長為12米，則

大廳兩層之間的高度為米.（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；

sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601]

15.如圖，某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿

MN方向水平飛行進行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無人機飛

行至C處時、測得景點A的俯角為45。，景點B的俯角為知30。，此時C到地

面的距離CD為100米，則兩景點A、B間的距離為米（結(jié)果保留根號）.

DB

16.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45。，測得底部C

的俯角為60°,此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m,那么該

建筑物的高度BC約為m（結(jié)果保留整數(shù)，逐心1.73）.

三.解答題（共34小題）

17.如圖，四邊形ABCD是一片水田，某村民小組需計算其面積，測得如下數(shù)據(jù):

ZA=90°,ZABD=60°,NCBD=54°,AB=200m,BC=300m.

請你計算出這片水田的面積.

（參考數(shù)據(jù)：sin5so.809,cos54。七0.588,tan54。七1,376,?=1.732）

D

18.如圖，已知四邊形ABCD中，NABC=90。，ZADC=90°,AB=6,CD=4,BC的

延長線與AD的延長線交于點E.

（1）若NA=60°,求BC的長;

（2）若sinA=且，求AD的長.

5

（注意：本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號）

19.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90",AC=BC=3,點D在邊AC上，且AD=2CD,

DE1AB,垂足為點E,聯(lián)結(jié)CE,求:

(1)線段BE的長；

(2)NECB的余切值.

20.如圖①所示，將直尺擺放在三角板上，使直尺與三角板的邊分別交于點D,

E,F,G,已知NCGD=42°

(1)求NCEF的度數(shù);

(2)將直尺向下平移，使直尺的邊緣通過三角板的頂點B,交AC邊于點H,如

圖②所示，點H,B在直尺上的讀數(shù)分別為4,13.4,求BC的長(結(jié)果保留兩

位小數(shù)).

(參考數(shù)據(jù)：sin42。七0.67,cos42。七0.74,tan42°=0.90)

21.如圖，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE

±CD,AE分別與CD、CB相交于點H、E,AH=2CH.

(1)求sinB的值；

(2)如果CD刊@求BE的值.

22.如圖1,在綜合實踐活動中，同學(xué)們制作了兩塊直角三角形硬紙板，一塊含

有30。角，一塊含有45。角，并且有一條直角邊是相等的.現(xiàn)將含45。角的直角

三角形硬紙板重疊放在含30。角的直角三角形硬紙板上，讓它們的直角完全重

合.如圖2,若相等的直角邊AC長為12cm,求另一條直角邊沒有重疊部分

BD的長（結(jié)果用根號表示）.

A

23.要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a

一般要滿足50-WaW75°（如圖）.已知一梯子AB的長為6m,梯子的底端A

距離墻面的距離AC為2m,請你通過計算說明這時人是否能夠安全地攀上梯

子的頂端？

（參考數(shù)據(jù):sin50°心0.77,cos50fo.64,sin75°^0.97,cos75-^0.26）

24.(1)如圖1,ZXABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=m,延長CB至點D,使

BD=AB.

①求ND的度數(shù);

②求tan75。的值.

（2）如圖2,點M的坐標(biāo)為（2,0）,直線MN與y軸的正半軸交于點N,Z

OMN=75°.求直線MN的函數(shù)表達式.

25.一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB〃CF,ZF=ZACB=90°,

ZE=45°,ZA=60°,AC=10,試求CD的長.

26.已知RtAABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，點C（1,3）在反比

例函數(shù)y=K的圖象上，且sin/BAC=3.

x5

（1）求k的值和邊AC的長；

（2）求點B的坐標(biāo).

27.將一副三角尺如圖拼接：含30。角的三角尺（aABC）的長直角邊與含45°

角的三角尺（4ACD）的斜邊恰好重合.已知AB=2盛，P是AC上的一個動

點.

（1）當(dāng)點P運動到/ABC的平分線上時，連接DP,求DP的長；

（2）當(dāng)點P在運動過程中出現(xiàn)PD=BC時，求此時NPDA的度數(shù)；

（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，以D,P,B,Q為頂點的平行四邊形的頂點Q

恰好在邊BC上？求出此時QDPBQ的面積.

28.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,過點B作射線BBi〃AC.動

點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點

C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點D作DH_LAB于H,

過點E作EFLAC交射線BBi于F,G是EF中點，連接DG.設(shè)點D運動的時

間為t秒.

（1）當(dāng)t為何值時，AD=AB,并求出此時DE的長度；

（2）當(dāng)4DEG與4ACB相似時，求t的值；

（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經(jīng)軸對稱變換后的圖形為AC.

①當(dāng)t>W時，連接UC,設(shè)四邊形ACC7V的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

5

②當(dāng)線段AC與射線BB，，有公共點時，求t的取值范圍（寫出答案即可）.

點F是AB邊上一點，點E

在線段DF的延長線上，NBAE=NBDF,點M在線段DF上，ZABE=ZDBM.

(1)如圖1,當(dāng)NABC=45。時，求證：AE=V2MD；

(2)如圖2,當(dāng)NABC=60。時，則線段AE、MD之間的數(shù)量關(guān)系為：.

(3)在(2)的條件下延長BM到P,使MP=BM,連接CP,若AB=7,AE=247,

求tanZACP的值.

30.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，邊長為5的正三角形OAB

的OA邊在x軸的正半軸上.點C、D同時從點。出發(fā)，點C以1單位長/秒

的速度向點A運動，點D為2個單位長/秒的速度沿折線OBA運動.設(shè)運動

時間為t秒，0<tV5.

(1)當(dāng)OVtV”時，證明DC_LOA；

2

(2)若△OCD的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)以點C為中心，將CD所在的直線順時針旋轉(zhuǎn)60。交AB邊于點E,若以0、

C、D、E為頂點的四邊形是梯形，求點E的坐標(biāo).

31.已知/ABC=90。，AB=2,BC=3,AD〃BC,P為線段BD上的動點，點Q在射

線AB上，且滿足四要■（如圖1所示）.

PCAB

（1）當(dāng)AD=2,且點Q與點B重合時（如圖2所示），求線段PC的長；

（2）在圖1中，連接AP.當(dāng)AD=a,且點Q在線段AB上時，設(shè)點B、Q之間

2

C

的距離為x,29=y,其中SAAPQ表示aAPCi的面積，SAPBC表示aPBC的面

2APBC

積，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；

（3）當(dāng)ADVAB,且點Q在線段AB的延長線上時（如圖3所示），求NQPC的

（1）如圖1,觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA］與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,當(dāng)a=30。時，試判斷四邊形BCiDA的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的情況下，求ED的長.

33.已知NMAN,AC平分NMAN.

(1)在圖1中，若/MAN=120。，ZABC=ZADC=90°,求證：AB+AD=AC；

(2)在圖2中，若NMAN=120。，ZABC+ZADC=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍

然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)在圖3中：①NMAN=60。，ZABC+ZADC=180°,則AB+AD=AC；

②若NMAN=a(0°<a<180°),ZABC+ZADC=180°,則AB+AD=AC(用

含a的三角函數(shù)表示)，并給出證明.

圖1圖2圖3

34.如圖，已知△BEC是等邊三角形，ZAEB=ZDEC=90°,AE=DE,AC,BD的交

點為0.

(1)求證：△AEC^^DEB；

(2)若NABC=NDCB=90。，AB=2cm,求圖中陰影部分的面積.

35.如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC,AB=10,tanZBAC=l,

求陰影部分的面積.

RA

36.如圖，A、B是直線I上的兩點，AB=4厘米，過I外一點C作CD〃I,射線

BC與I所成的銳角Nl=60。，線段BC=2厘米，動點P、Q分別從B、C同時出

發(fā)，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向運動，Q以每秒2厘米的速度沿

由C向D的方向運動.設(shè)P,Q運動的時間為t（秒），當(dāng)t>2時，PA交CD

于E.

（1）求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）QE恰好平分AAPCi的面積時，試求QE的長是多少厘米？

37.某小區(qū)為了安全起見，決定將小區(qū)內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45。調(diào)為30°,如

圖，已知原滑滑板AB的長為4米，點D,B,C在同一水平地面上，調(diào)整后

滑滑板會加長多少米？（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：72^1.414,8

1.732,加心2.449）

38.如圖I,同學(xué)們利用所學(xué)知識去測量三江源某河段某處的寬度.小宇同學(xué)在A

處觀測對岸點C,測得NCAD=45。，小英同學(xué)在距點A處60米遠的B點測得

NCBD=30。,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到0.01米，圾心1.414,在心1.732）.

39.如圖，1號樓在2號樓的南側(cè)，兩樓高度均為90m,樓間距為AB.冬至日

正午，太陽光線與水平面所成的角為32.3。，1號樓在2號樓墻面上的影高為

CA；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為55.7。，1號樓在2號樓墻面

上的影圖為DA.已知CD=42m.

(1)求樓間距AB；

(2)若2號樓共30層，層高均為3m,則點C位于第幾層？(參考數(shù)據(jù)：sin32.3°

^0.53,cos32.3°^0.85,tan32.3°^0.63,sin55.7F0.83,cos55.7°^0.56,tan55.7°

^1.47)

^

7

/1

號

r樓

D

□口

B

40.如圖，BC是路邊坡角為30。，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端

D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角NDAN

和NDBN分別是37。和60。(圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi),

CM〃AN).

(1)求燈桿CD的高度；

(2)求AB的長度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù)：V3=1.73.sin37。心0.60,

cos37°七0.80,tan37°^0.75)

D

里

ABN

41.兩棟居民樓之間的距離CD=30米，樓AC和BD均為10層，每層樓高3米.

(1)上午某時刻，太陽光線GB與水平面的夾角為30。，此刻B樓的影子落在A

樓的第幾層？

(2)當(dāng)太陽光線與水平面的夾角為多少度時，B樓的影子剛好落在A樓的底部？

42.如圖，某煤礦因不按規(guī)定操作發(fā)生瓦斯爆炸，救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，

救援隊利用生命探測儀在地面A,B兩個探測點探測到地下C處有生命跡象.已

知A,B兩點相距8米，探測線與地面的夾角分別是30。和45。，試確定生命

所在點C的深度（結(jié)果保留根號）.

43.如圖，某武警部隊在一次地震搶險救災(zāi)行動中，探險隊員在相距4米的水平

地面A,B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象，已知在A處測得探測線

與地面的夾角為30。，在B處測得探測線與地面的夾角為60。，求該生命跡象

C處與地面的距離.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：圾心1.41,遂心1.73）

44.如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD,當(dāng)光線與地面的夾角是22。時,

辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE,而當(dāng)光線與地面夾角是45。時，

辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（B,F,C在一條直線

上）.

（1）求辦公樓AB的高度；

（2）若要在A,E之間掛一些彩旗，請你求出A,E之間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin22°心工，cos22°g西，tan220=2）

8165

45.據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的

速度不得超過15m/s,在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾

何圖，AD=24m,ZD=90°,第一次探測到一輛轎車從B點勻速向D點行駛，

測得NABD=3）。,2秒后到達C點，測得NACD=50°（tan31°=0.6,tan50°^1.2,

結(jié)果精確到lm）

⑴求B,C的距離.

（2）通過計算，判斷此轎車是否超速.

46.小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳"中國-南亞博覽會”的豎直標(biāo)語

牌CD.她在A點測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42。，測得隧道底端B處的俯

角為3CT（B,C,D在同一條直線上），AB=10m,隧道高6.5m（即BC=6.5m）,

求標(biāo)語牌CD的長（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin42°^0.67,cos42°

47.如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60。方向，與燈塔P的距離為80海里

的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向的

B處，求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離.（參考數(shù)據(jù)：加心2.449,結(jié)

果保留整數(shù)）

北

48.為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦，某部門工作人員乘快艇到漢

江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行

駛.在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30。方向上，繼續(xù)行駛40秒到達B

處時，測得建筑物P在北偏西60。方向上，如圖所示，求建筑物P到賽道AB

的距離（結(jié)果保留根號）.

49.2018年4月12H,荷澤國際牡丹花會拉開帷幕，荷澤電視臺用直升機航拍

技術(shù)全程直播.如圖，在直升機的鏡頭下，觀測曹州牡丹園A處的俯角為30°,

B處的俯角為45°,如果此時直升機鏡頭C處的高度CD為200米，點A、B、

D在同一條直線上，則A、B兩點間的距離為多少米？（結(jié)果保留根號）

50.熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角a為45。，看這棟

樓底部C的俯角B為60。，熱氣球與樓的水平距離為100m,求這棟樓的高度

（結(jié)果保留根號）.

華師大新版九年級上學(xué)期《24.4解直角三角形》

同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

選擇題（共6小題）

1.如圖，^ABC中AB=AC=4,ZC=72°,D是AB中點，點E在AC上，DE1AB,

則cosA的值為（）

c.隼D.隼

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定以及三角形內(nèi)角和定理得出NEBC=36。,

ZBEC=72°,AE=BE=BC.再證明△BCES^ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比

例式奧=些，求出AE,然后在aADE中利用余弦函數(shù)定義求出cosA的值.

BCAC

【解答】解:「△ABC中，AB=AC=4,ZC=72°,

，NABC=NC=72°,ZA=36°,

'.'D是AB中點，DELAB,

；.AE=BE,

，NABE=NA=36°,

/.ZEBC=ZABC-ZABE=36°,

ZBEC=180°-ZEBC-ZC=72°,

.?.ZBEC=ZC=72°,

.?.BE=BC,

，AE=BE=BC.

設(shè)AE=x,貝【JBE=BC=x,EC=4-x.

在aBCE與4ABC中，

rZCBE=ZBAC=36°,

IZC=ZABC=72°

.?.△BCE^AABC,

?CE_BEpn4-x-x

BCACx4

解得x=-2±2娓（負值舍去），

AE=-2+2'而.

在aADE中，VZADE=90°,

.?.cosA皿2回.

AE-2+2泥4

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定

理，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中.證明△

BCE^AABC是解題的關(guān)鍵.

2.一副三角板按圖1所示的位置擺放.將4DEF繞點A（F）逆時針旋轉(zhuǎn)60。后

（圖2）,測得CG=10cm,則兩個三角形重疊（陰影）部分的面積為（）

A.75cm2B.（25+25A/3）cm2

C.（25+當(dāng)⑸cm2D.（25+皿加）cm2

33

【分析】過G點作GH1AC于H,則NGAC=60。，ZGCA=45°,GC=10cm,先在

RtAGCH中根據(jù)等腰直角三角形三邊的關(guān)系得到GH與CH的值，然后在RtA

AGH中根據(jù)含30。的直角三角形三邊的關(guān)系求得AH,最后利用三角形的面積

公式進行計算即可.

【解答】解：過G點作GHLAC于H,如圖，

ZGAC=60°,ZGCA=45°,GC=10cm,

在RtAGCH中，GH=CH=^GC=5?cm,

在RtAAGH中，AH=2s&GH=^^cm,

33

AAC=（5揚平）cm,

3

.?.兩個三角形重疊（陰影）部分的面積=L?GH?AC

2

」x5Mx（5揚泅

23

=（25+空3cm2.

3

故選：C.

B----揚BA（F）

圖1圖2

【點評】本題考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的邊和角的過程叫解直

角三角形.也考查了含30。的直角三角形和等腰直角三角形三邊的關(guān)系以及旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì).

3.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2亞，CD=&,點P在

四邊形ABCD上，若P到BD的距離為上，則點P的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE,即點P到BD

的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF,即點P到BD

的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與W比較得出答案.

2

【解答】解：過點A作AE_LBD于E,過點C作CFLBD于F,

VZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2亞，CD=圾，

NABD=/ADB=45°,

二NCDF=90°-ZADB=45°,

VsinZABD=-^,

AB

AE=AB?sinZABD=2心sin45°

=2折返=2>W,

22

所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為之的點2個,

2

*.'sinNCDF巫，

CD

ACF=CD*sinNCDF=V^?乎=1＜搟，

所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為巨的點,

2

總之,P到BD的距離為？的點有2個.

2

【點評】此題考查的知識點是解直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先

求出各邊上點到BD的最大距離比較得出答案.

4.如圖，菱形ABCD的周長為40cm,DE1AB,垂足為E,sinA=2,則下列結(jié)論

5

正確的有（）

①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面積為60cm?；@BD=4V10cnn.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，可求出各邊的長，運用驗證法，逐

個驗證從而確定答案.

【解答】解：?.?菱形ABCD的周長為40cm,

.,.AD=AB=BC=CD=10.

VDEIAB,垂足為E,

sinA=—,

5AD10

DE=6cm,AE=8cm,BE=2cm.

...菱形的面積為：ABXDE=10X6=60cm2.

在三角形BED中,

BE=2cm,DE=6cm,BD=2jj&m,...①②③正確，④錯誤；/麗=2^^

二結(jié)論正確的有三個.

故選：C.

【點評】此題看上去這是一道選擇題實則是一道綜合題，此題考查直角三角形的

性質(zhì)，只要理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系即可求解.

5.如圖，ZxABC中，NACB=90°,ZB=3O°,AC=1,過點C作CD】，AB于Di，過

點Di作DID2±BC于D2，過點D2作D2D3±AB于D3,這樣繼續(xù)作下去，線段

DnDn+1（n為正整數(shù)）等于（）

【分析】在本題中，大大小小的三角形全部是30。、60。、90。的特殊三角形.

因為AC=1,所以在30。角的余弦中總是存在一個區(qū)關(guān)系，據(jù)此即可解答.

2

【解答】解：根據(jù)題意得：在^ABC中，NACB=90。，ZB=30°,則CD/E；

2

2

進而在^CDiDz中，有DID2=Y^CDI=（近）,

22

進而可得:D2D3=（返）3,…；

2

則線段DnDmi=（運）『I.

2

故選：D.

【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的

題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

6.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離，可以在小河邊取PA的垂線

PB上的一點C,測得PC=100米，ZPCA=35°,則小河寬PA等于（）

A.100sin35。米B.100sin55°米

C.100tan35°米D.100tan55°米

【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度.

【解答】解:VPA1PB,PC=100米，ZPCA=35°,

，小河寬PA=PCtanNPCA=100tan35°米.

故選：C.

【點評】考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：①將實際問

題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形

問題）.②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角

形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案.

二.填空題（共10小題）

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A,B分別在x軸，y軸上，點A的坐標(biāo)為（-1,

0）,ZABO=30°,線段PQ的端點P從點0出發(fā)，沿AOBA的邊按。玲B玲A玲。

運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非負半軸上運動，如果PQ=?,那

么當(dāng)點P運動一周時，點Q運動的總路程為4.

【分析】首先根據(jù)題意正確畫出從。-B〉A(chǔ)運動一周的圖形，分四種情況進行計

巢①點P從。-B時，路程是線段PQ的長；②當(dāng)點P從B玲C時（QC1AB,

C為垂足），點Q從。運動到Q,計算0Q的長就是運動的路程;③點P從C-?A

時，點Q由Q向左運動，路程為QQ';④點P從A->0時，點Q運動的路程

就是點P運動的路程；最后相加即可.

【解答】解：在RQAOB中,VZABO=30°,AO=1,

，AB=2,BO=Ay22_12=V3?

①當(dāng)點P從。玲B時，如圖1、圖2所示，點Q運動的路程為逐，

②如圖3所示，QC1AB,則NACQ=90。，即PQ運動到與AB垂直時，垂足為P,

當(dāng)點P從B-C時，

ZABO=30°

/.ZBAO=60o

.,.ZOQD=90°-60°=30°

.?.cos30°=強

AQ

.?.AQ=―^—=2

cos30

/.0Q=2-1=1

則點Q運動的路程為Q0=1,

③當(dāng)點P從C玲A時，如圖3所示，點Q運動的路程為QQ，=2-M，

④當(dāng)點P從A玲0時，點Q運動的路程為AO=1,

???點Q運動的總路程為：J各l+2-?+1=4

故答案為：4

y

【點評】本題主要是應(yīng)用三角函數(shù)定義來解直角三角形，此題的解題關(guān)鍵是理解

題意，正確畫出圖形；線段的兩個端點看成是兩個動點，將線段移動問題轉(zhuǎn)

化為點移動問題.

8.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,D是AB的中點，過D點作AB的垂線交

AC于點E,BC=6,sinA=W,則DE=匹.

5-4.

EA

【分析】在RgABC中，先求出AB,AC繼而得出AD,再由△ADEs^ACB,利

用對應(yīng)邊成比例可求出DE.

【解答】解:VBC=6,sinA=3,

5

/.AB=10,

,"AC=V102-62=8，

ID是AB的中點,

.?.AD」AB=5,

2

,/△ADE^AACB,

?DE_ADpnDE_5

BCAC68

解得：DE=①.

4

故答案為：15.

4

【點評】本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)

的定義及勾股定理的表達式.

9.如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,且BD平分AC.若BD=8,

AC=6,ZBOC=120°,則四邊形ABCD的面積為12近.（結(jié)果保留根號）

【分析】如圖，過點A作AE_LBD于點E,過點C作CF,BD于點F.則通過解直

角△AE0和直角△CF0求得AE=CF=&叵，所以易求四邊形ABCD的面積.

2

【解答】解：如圖，過點A作AE_LBD于點E,過點C作CFJ_BD于點F.

?..BD平分AC,AC=6,

/.A0=C0=3.

VZBOC=120",

/.ZAOE=60°,

.?.AE=AO?sin60°=aS.

2

同理求得CF=m區(qū)，

2

Si)qii?ABCD=SAABD+SACBD=—BD*AE+—BD*CF=2X—X-----

2222

故答案是：12A/3.

【點評】本題考查了解直角三角形，三角形的面積的計算.求圖中相關(guān)線段的長

度時，也可以根據(jù)勾股定理進行解答.

10.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14cm,則陰影部分的面積是—至

ED

【分析】由于BC/7DE,那么4ACF也是等腰直角三角形，欲求其面積，必須先

求出直角邊AC的長；RtaABC中，已知斜邊AB及NB的度數(shù)，易求得AC的

長，進而可根據(jù)三角形面積的計算方法求出陰影部分的面積.

【解答】解：VZB=30o,ZACB=90°,AB=14cm,

/.AC=7cm.

由題意可知BC〃ED,

,ZAFC=ZADE=45°,

/.AC=CF=7cm.

^SAACF=—X7X7=-^-(cm2).

22

故答案為：毀.

2

【點評】發(fā)現(xiàn)AACF是等腰直角三角形，并能根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出直角邊

AC的長，是解答此題的關(guān)鍵.

11.如圖，ZAOB=30°,過OA上到點。的距離為1,3,5,7,...的點作OA的

垂線，分別與OB相交，得到如圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為y,

S2,S3,....則：

（1）sY—；

(2)通過計算可得S2OO9=_5356?.

B

【分析】(1)分析知奇數(shù)的通式為：2n-l(n為正整數(shù))，設(shè)陰影梯形的上底和

下底距點。的長分別為a和b,則可以表達出Sn的表達式，將每個梯形的上

底和下底距點0的長代入，求解即可；

(2)第2009個梯形前面已有2008X2個奇數(shù)，2009個梯形上底距點。的距離

為第2008X2+1個奇數(shù)，下底為第2008X2+2個奇數(shù).

【解答】解：(1)設(shè)陰影梯形的上底和下底距點。的長分別為a和b,

22

貝USn=-^-bXbtanZAOB--aXatanZAOB=^^(b-a),

226

又?.?梯形1距離點O的距離a=l,b=3,

.?5=返(32-l2)=曳&

63

(2)第2009個梯形前面已有2008X2個奇數(shù)，

2009個梯形上底距點0的距離為第2008X2+1個奇數(shù)，

下底為第2008X2+2個奇數(shù)，

.?.第2009個梯形的兩邊長分別為：

a=2X(2008X2+1)-1=8033,

b=2X(2008X2+1)+1=8035,

22

故S2OO9=—(8035-8033)=5356?.

6

【點評】本題考查學(xué)生分析、探究問題及運用規(guī)律解決問題的能力.有一定難度.

12.如圖，四邊形ABCD中，ZABC=120°,AB±AD,BC_LCD,AB=4,CD=5?,

則該四邊形的面積是—空度

【分析】如圖，延長DA、CB交于點E,則NABE=60。，.?.NE=30。.而AB=4,由

此可以求出AE,然后在Rt^DEC中求出CE；根據(jù)三角形的面積公式和圖形的

割補法求出圖形的面積.

【解答】解：延長DA、CB交于點E,則NABE=60。，

AZE=30°.

VAB=4,/.BE=8,

.,.AE=4?.

在RtZ\DEC中，ZE=30°,

.*.CE=V3CD=15,

?"SAABE=~_X4X4"y^=8<\/"^，

SACDE=-X15X5后，

22_

所以該圖形的面積為：&③-8?=2Z.

22

【點評】考查運用"割補法"求圖形面積.

13.將直角邊長為5cm的等腰直角4ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，得到△ABC,

則圖中陰影部分的面積是型多cm2.

一61

R

【分析】陰影部分為直角三角形，且NC，AB=30。，AC=5,解此三角形求出短直角

邊后計算面積.

【解答】解：???等腰直角aABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。后得到△ABC,

?.?/CAC=15。，

,NC'AB=NCAB-NCAC'=45°-15°=30°,AC'=AC=5,

...陰影部分的面積=Lx5Xtan3（rX5=9a.

26

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形.旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中

心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.要注

意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.

14.如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31°,AB的長為12米，則

大廳兩層之間的高度為6.2米.（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；

sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601]

【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得BC的長，從而可以解答本題.

【解答】解:在RQABC中，

VZACB=90",

/.BC=AB?sinZBAC=12X0.515^6.2（米）,

答：大廳兩層之間的距離BC的長約為6.2米.

故答案為：6.2.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求

問題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.如圖，某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿

MN方向水平飛行進行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無人機飛

行至C處時、測得景點A的俯角為45。，景點B的俯角為知30。，此時C到地

面的距離CD為100米，則兩景點A、B間的距離為100+100立米（結(jié)果

保留根號）.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：VZMCA=45°,ZNCB=30°,

，NACD=45",ZDCB=60°,ZB=30°,

VCD=100米，

，AD=CD=100米，DB=J^CD=100?米，

AAB=AD+DB=100+100V3（米），

故答案為：ioo+iooy

【點評】此題考查了考查俯角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解

直角三角形.注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45。，測得底部C

的俯角為60°,此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m,那么該

建筑物的高度BC約為300m（結(jié)果保留整數(shù)，A/3%1.73）.

【分析】在RtAABD中，根據(jù)正切函數(shù)求得BD=AD?tan/BAD,在RtAACD中,

求得CD=AD?tanNCAD,再根據(jù)BC=BD+CD,代入數(shù)據(jù)計算即可.

【解答】解:如圖，?.?在RtZXABD中，AD=90,NBAD=45。，

/.BD=AD=110(m),

?.,在RtAACD中，NCAD=60°,

ACD=AD*tan60°=110X73=190(m),

ABC=BD+CD=110+190=300(m)

答：該建筑物的高度BC約為300米.

故答案為300.

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.此題難度適中，注意

能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵.

三.解答題(共34小題)

17.如圖，四邊形ABCD是一片水田，某村民小組需計算其面積，測得如下數(shù)據(jù):

ZA=90°,ZABD=60°,ZCBD=54°,AB=200m,BC=300m.

請你計算出這片水田的面積.

(參考數(shù)據(jù)：sin54°=0.809,cos54Go.588,tan54°七1.376,正21.732)

【分析】作CM±BD于M,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出BD,由勾股定

理求出AD,求出4ABD的面積，再由三角函數(shù)求出CM,求出ABCD的面積，

然后根據(jù)S四娜ABCD=SAABD+SABCD列式計算即可得解.

【解答】解：作CMLBD于M,如圖所示：

VZA=90°,NABD=60°,

，NADB=30。，

.*.BD=2AB=400m,

AD=-\/3AB=200^m,

.'.△ABD的面積［X200X200后20000?(m2),

VZCMB=90°,ZCBD=54°,

CM=BC?sin54°=300X0.809=242.7m,

/.△BCD的面積=Lx400X242.7=48540(m2),

2

，這片水田的面積=20000?+48540283180(m2).

【點評】本題考查了勾股定理，由含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的運

用；熟練掌握勾股定理，由三角函數(shù)求出CM是解決問題的關(guān)鍵.

18.如圖,已知四邊形ABCD中,ZABC=90°,ZADC=90°,AB=6,CD=4,BC的

延長線與AD的延長線交于點E.

(1)若NA=60。，求BC的長;

(2)若s