安徽省“皖南八校”2022屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁“皖南八?！?022屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）“皖八”理事會（18校）審定：含山中學(xué)（黃翔）廣德中學(xué)（吳德滿）2022.4考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．3．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實數(shù)a=（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則化簡得到，從而得到，求出的值.【詳解】，由題意得：，解得：故選：B3.已知等差數(shù)列的前n項和為．若，則（）A.60 B.50 C.30 D.20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】.故選：C．4.已知向量．若，則實數(shù)（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再利用平行關(guān)系即可求出.【詳解】由題，因為，所以.故選：A．5.2021年12月1日，國家發(fā)展改革委印發(fā)《滬蘇浙城市結(jié)對合作幫扶皖北城市實施方案》．滬蘇浙城市（城區(qū)）將與我省部分地市開展“一對一”結(jié)對合作幫扶．現(xiàn)有上海市A，B，C三個區(qū)，若分別隨機結(jié)對幫扶皖北D，E，F(xiàn)三座城市，則A區(qū)恰好幫扶D市的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概率計算公式即可求得答案.【詳解】三個區(qū)幫扶三個城市共種情況，A區(qū)恰好幫扶D市有種情況，所以所求概率.故選：C.6.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】求出變換后的函數(shù)解析式，利用兩函數(shù)圖象重合可得出關(guān)于的表達(dá)式，即可求得正數(shù)的最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，故，故，則，故當(dāng)時，正數(shù)取最小值為，故選：A．7.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先比較得大小，再由，即可得出答案.【詳解】因為則而，故，又.故，所以.故選：D.8.的內(nèi)角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，已知的面積為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由面積公式可得，再由余弦定理結(jié)合基本不等式可求.【詳解】因為，故．又，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.故選：C．9.已知實數(shù)x，y滿足且（k為常數(shù)）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則k的值為（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，再根據(jù)最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個求值即可.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，要使取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則該平行直線系的斜率為，故，故選：B.10.古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動點軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直.若動點M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動點M在直線之間的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到三條直線的關(guān)系，不妨設(shè)記為，直線為，為，進(jìn)而可根據(jù)條件表示出動點M的軌跡方程，從而得出結(jié)論.【詳解】因為在平面內(nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直，所以，平行，又因為動點M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，記為，直線為，為，設(shè)，且動點M在直線之間，所以M到的距離為，M到的距離為，M到的距離為，所以，若，則；若，則，所以，即，故動點M的軌跡為圓.故選：A.11.已知拋物線上有兩點，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線AB方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得韋達(dá)定理，求后，代入后即可判斷是否充分，根據(jù)，即可判斷是否必要條件.【詳解】設(shè)直線AB方程為：，將其與拋物線方程得，由直線上兩點，，故，所以，故不是充分條件，反過來，當(dāng)，即，所以是必要條件.所以是的必要不充分條件選.故選：C12.函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為（）A.1 B. C.2 D.e【答案】A【解析】【分析】先化簡得到，構(gòu)造函數(shù)，由為奇函數(shù)知最大值與最小值之和為0，進(jìn)而求出的最大值與最小值之和.【詳解】，令，易知定義域關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為1.故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.雙曲線的離心率是_________．【答案】【解析】【分析】分和求出，從而可求出離心率【詳解】當(dāng)時，則，得，所以，所以，所以離心率，當(dāng)時，，所以，所以，，所以離心率，綜上，雙曲線的離心率為，故答案為：14.已知，則的值是________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合輔助角公式即可求出，其中，再根據(jù)正弦函數(shù)值域用φ表示α，代入tanα利用誘導(dǎo)公式即可求值．【詳解】∵，其中．∴，∴，∴，故．故答案為：．15.三棱錐中，，過線段中點E作平面與直線、都平行，且分別交、、于F、G、H，則四邊形的周長為_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合點E為中點可得四邊形各邊長，然后可得.【詳解】因為平面，平面平面，平面ABC，所以EH，又點E為中點，所以EH為三角形ABC的中位線，故.同理，所以四邊形的周長為2.故答案為：216.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)m的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】由，得，記，然后求出的最小值即可【詳解】，記，因為，所以，令，則所以在上單調(diào)減，所以，故實數(shù)m的最小值是．故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和為，且滿足．（1）求；（2）設(shè)，令，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由求出首項和公比，再按照等比數(shù)列通項公式求即可；（2）先求出，進(jìn)而求得，再按照裂項相消求和即可.【小問1詳解】記數(shù)列的公比為q，由知，消去得．解得或．又各項均為正數(shù)，故，于是．【小問2詳解】由（1）知，，故，，所以．18.如圖，在四棱錐中，，底面為梯形，，．中，，．

（1）若是線段上的點，平面平面，且，試判斷點的位置并說明理由；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）為中點，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行判定可知平面，由線面平行性質(zhì)得，可證得四邊形為平行四邊形，則，由此可知為中點；（2）由四邊形矩形可得，由線面垂直判定可得平面，利用體積橋可求得結(jié)果.【小問1詳解】

，平面，平面，平面，由平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，，又，，即為中點.【小問2詳解】由（1）知：四邊形為平行四邊形，，，四邊形是矩形，．，，平面，平面，又，，．19.2020年新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央的號召下，應(yīng)對疫情，我國采取特殊的就業(yè)政策、經(jīng)濟(jì)政策很好地穩(wěn)住了經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展大局．在全世界范圍內(nèi)，我國疫情控制效果最好，經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇最快．某汽車銷售公司2021年經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該公司在第1月份至6月份的銷售收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如表：時間（月份）123456收入（百萬元）6.68.616.121.633.041.0根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖所示．（1）根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個適宜作為該公司銷售收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的銷售收入．（結(jié)果近似到小數(shù)點后第二位）參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.50125.356.73其中設(shè)參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的解率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．【答案】（1）用表示更合適（2），95.58百萬元【解析】分析】（1）根據(jù)散點圖即可得出結(jié)論；（2）由，得，設(shè)，則，再利用最小二乘法求出，從而可求出回歸方程，再將代入即可求出該公司8月份的銷售收入的預(yù)測值.【小問1詳解】解：，散點圖中點的分布不是一條直線，相鄰兩點在y軸上差距是增大的趨勢，故用表示更合適；小問2詳解】解：由，得，設(shè)，∴，∵，，∴，，∴，即，則回歸方程為，預(yù)測該公司8月份的銷售收入百萬元．20已知函數(shù)．（1）若函數(shù)圖象的切線傾斜角總是銳角，求實數(shù)k的取值范圍；（2）若對任意的恒成立，求整數(shù)k的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題可得對一切正數(shù)x恒成立，即可求出；（2）由題可得對任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【小問1詳解】由題．∵函數(shù)圖象的切線傾斜角總是銳角，∴對一切正數(shù)x恒成立，即恒成立，于是．【小問2詳解】因為對任意的恒成立，即對任意恒成立．令，則，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴方程在上存在唯一實根，且滿足，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵是的根，即，∴，∴，∵，故整數(shù)k的最大值為3．21.已知離心率為的橢圓過點，過橢圓的右焦點且斜率為的直線與橢圓交于兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和橢圓所過點可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，由斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理可整理得到，由此可證得結(jié)論.【小問1詳解】橢圓的離心率為，，…①，又橢圓過點，…②，由①②得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由（1）得：橢圓右焦點為，則可設(shè)直線，，，由得：，則，，．，．【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的形式；④化簡所得式子，消元可得定值.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與曲線C相交于A?B兩點.若點P（-1，2）恰為線段AB的一個三等分點，求正數(shù)m的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接消去參數(shù)可得直線的普通方程，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)力程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合參數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果【小問1詳解】由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，得直線的普通方程為，由得曲線C直角坐標(biāo)方程為【小問2詳解】將直線的參數(shù)方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式并