東關(guān)中學(xué)九年數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)案-一元二次方程

22一元二次方程(1)(1)3/一產(chǎn)2；(2)7x—3=2f;

學(xué)習(xí)目標(biāo)：(3)(2x-l)-3x(x-2)=0(4)2X(L1)=3(X+5)—4.

1、會根據(jù)具體問題列出一元二次方程2、判斷下列方程后面所給出的數(shù)，那些是方程的解；

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；會把一個一元二次方程化為一般(1)2x(x+l)=4(x+l)±1±2；

形式；會判斷一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

(2)X2+2X-8=0±2,±4

課堂研討：

3、要使(2+。？恒+(2一1)1+2=0是一元二次方程，則1＜二.

探究新知

【例1】小明把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折4、已知關(guān)于x的一元二次方程(優(yōu)—2)/+3工+機2-4=0有一個解是0,求m的值。

合成一個無蓋的長方體盒子，如果要求長方體的底面積為81cm2,那么剪去的正方形的邊長是多

少？

設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm,你能列出滿足條件的方程嗎？你是如何建立方程模型的？拓展提高

合作交流1、已知關(guān)于X的方程(4一2)/一點=12-1。問

動手實驗一下，并與同桌交流你的做法和想法。(1)當(dāng)k為何值時，方程為一元二次方程？

(2)當(dāng)k為何值時，方程為一元一次方程？

課后作業(yè)

一、填空題

列出的方程是,1.等號兩邊,只含有,并且的方程，叫做一

自主學(xué)習(xí)元二次方程。

【做一做】根據(jù)題意列出方程：

2.一元二次方程的一般形式是，其中—是二次項，—是一次項，

1、一個正方形的面積的2倍等于50,這個正方形的邊長是多少？

2、一個數(shù)比另一個數(shù)大3,且這兩個數(shù)之積為這個數(shù)，求這個數(shù)。c是。

3、一塊面積是150cm2長方形鐵片，它的長比寬多5cm,則鐵片的長是多少？3.一元二次方程(工+2］工-3)=5化為一般形式是。

觀察上述四個方程結(jié)構(gòu)特征，類比一元一次方程的定義，自己試著歸納出一元二次方程的

定義。4.一元二次方程3/—4x+2=4的二次項的系數(shù)是,一次項的系數(shù)是,常

【我學(xué)會了】

1、只含有個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是,這樣的方數(shù)項是.

程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，其中二次項，5.關(guān)于工的一元二次方程(〃7+1卜2一?！ㄒ?"—機=0的二次項系數(shù)是,一次項系

是一次項，是常數(shù)項，二次項系數(shù)，一次項系數(shù)。

數(shù)是,常數(shù)項是o

展示反饋

【挑戰(zhàn)自我】判斷下列方程是否為一元二次方程。6.已知方程(〃/一4卜2—3(2—m)-1=0,

①4-=81；(2)2(1-1)=3,；(3)5/-1=4x；

12⑴當(dāng)〃z時，這個方程是一元二次方程。

(4)7TT-f=°；(5)2X2+3X-1；(6)3X(X-1)=5(X+2)；⑵當(dāng)〃z時，這個方程是一元一次方程。

【例2】將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它

7.如果關(guān)于x的一元二次方程2/+〃zx=5x+l中不含尢的一次項，則加二o

們的系數(shù)。

(1)4x2=81(2)3x(x-l)=5(x+2)

8.已知關(guān)于x的方程32-2冗+機+1=0,若此方程的一個根為0,則〃廠；若此方程

課堂練習(xí)

1、將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常有一個根為T,則加=o

數(shù)項：9.寫出一個一元二次方程，它的一個根為0,另一個根為1,這個方程是。

(1)(x-3《工+2)=9(2)X2+(x+2)2=100

10.已知加是方程/-x-2=0的一個根，則代數(shù)式又一-㈣的值等于______

44

⑶(2x+⑹(3工-2⑸=6(4){J2x-l1x-3)=yl2x

11.已知工=-1是關(guān)于x的方程ax?+Z?x+二c0的一個根0工0)，則二次根式

為-2.指出使下列各方程是關(guān)于x的一元二次方程的條件：

(1)n^x+1)2=(x+l)(x—1)(2)x2+3or+3ay=y+5

二、選擇題

1.一元二次方程一12X2+6=%的一次項系數(shù)的常數(shù)項應(yīng)該是()

3.一元二次方程/+/?+g=0有一個根為3,另一個根為T,求p、g值。

A.1,-6B.-1,6C.1,6D.-1,-6

2.在方程(|日一1卜34-(7?7-l)lr2一ax-"7=0中，要使此方程為一元二次方程，則"7的值為()

5.如果x=l是方程o?+比—6=0的一個根，也是方程/+〃以一3=0的一個根，求

A.任何實數(shù)B.±1C.1D.-1

3.下列方程中，是一元二次方程的是()

ab

19I----J-+-的八…值。

A.~~+尤=-B.-\lx-1+x=7Vba

JC4

_X~+1X+1_n3cle

C.------------=3D.x+2x+1=0

22

4.下列各組x的值都是方程(x-lXx_8)=T2的根是()

*6.已知關(guān)于x的一元二次方程。冗2+公+。=0的一個根是一3,且。、6滿足

A.x=2或x=3B.x=3或R=4

C.x=4或x=5D.x=5或x=6

b=yla—2+y/2-a+4?求。+〃一c的平方根。

5.以1,3為根的一元二次方程是()

A.尢2+2x-3=0B.X2-2X-3=0

C.X2+4X-5=0D.x2-4x+3=0

6.方程ar2+4x+c=0,一定是()*7.如果關(guān)于x的方程a?+c=0有實數(shù)根，求。、c應(yīng)滿足條件。

A.一元一次方程B.一元二次方程C.關(guān)于x的一元二次方程D.整式方程

7.工=-2是關(guān)于x的方程(1一工卜2一(〃7一2卜+〃7—1=0的一個根，則根的值為()

A.-1B.1C.2D.0

1.把下列各方程化成一元一次方程的一般形式，并分別寫出二次項系數(shù)。，一次項系數(shù)8和常數(shù)

項C。

22一元二次方程的解法(2)課堂練習(xí)

教學(xué)目標(biāo)1.解下列方程：

(1)X2-0.81=0(2)9x*=4

1.會用直接開平方法解形如。。一女)2(aW0,a820)的方程;

2.靈活應(yīng)用直接開平方法解一元二次方程。

研討過程

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)2.解F列方程:

1.什么叫做平方根？(1)(x+2)2=3(2)(2x+3)-5=0

2.平方根有哪些性質(zhì)？

二、探索新知

試一試：

解卜.列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流。

(1)X2=4(2)x2-l=0

(3)(2x-l)2=(3-x)

解(1)???x是4的平方根

??x=________

即原方程的根為:XF.X2=

(2)移向，得x?二l

,/x是1的平方根4、一個正方形的面積是100cm2,求這正方形的邊長是多少？

.?x=________

即原方程的根為:XF_,X2=—

概括總結(jié)：

課后反思:

就是把方程化為形如x2=a(a^O)或—-b(a#0,ab20)的形式，然后再根據(jù)平

方根的意義求解的過程，叫做直接開平方法解一元二次方程。

如:已知一元二次方程n^+nRSWO),若方程可以用直接開平方法求解，且有兩個實數(shù)根,課后作業(yè)

則、必須滿足的條件是(

mn一、填空題

A.n=0B.m、n異號

C.n是m的整數(shù)倍D.m、n同號1.一元二次方程-=a有解的條件是,它的解是

例1解下列方程

2

(1)X-1.21=0(2)4x?-1=02.方程X?=/所的解為。

解：(1)移項，得/=(2)移項，得4xJ_

???x是的平方根兩邊都除以4,得

3.一元二次方程25/=49的根為為=,x=.

:.x=________Vx是的平方根2

即原方程的根為：x,=—,X2___:.x=________

即原方程的根為:4.如果方程(x-iy=a有一個根為3,則。=。

Xl=______>X2=_

例2解下列方程：5.如果方程(2-xy="2有一個根為-1,則〃=。

⑴(x+1)2=2⑵(x-1)2-4=0

(3)12(3-2%)I=0

6.一元二次方程(x-=9,則方程的根占=,

7.如果方程(蘇-3*-4x+l=0是關(guān)于x的一元二次方程，則，“

8.如果函數(shù)y=(m—l)無〃"3是反比例函數(shù)，且它的圖象分別在第一、三象限，則m.8.方程（2x-〃）2=明》0）的根是（）

9.如果一史一4是最簡二次根式,且它與J正是同類二次根式，則x的取值中，絕對值最小.p±3D,p+79「.土P土3n-P±3

A.x=-------B.x=±-------C.x—D.x—

的數(shù)是，2222

10.一元二次方程2--3=0的根是M=

三、用直接開平方法解應(yīng)用題

二、選擇題

1.2X2-18=02.（y-l）2-36=0

1.下列方程可以用直接開平方解方程的是()

A.%2-5=0B.x2-2x-3=0C.（x—1）2=4xD.（x—l）2=x-l

2.解下列一元二次方程，其中方程無解的是()

A.x2—2=0B.—3x2=0C.x2+4=0D.（X+5）2=0

3.方程J=0.36的解為（）3.+V2J.V-V2）=64.50（A-+1）2=72

33

A.x=0.6B.x=-0.6C.x=-D.x=±-

55

4.一元二次方程（x+=8的解是（）

A.Xj=V2,X2=—3A/2B.X[=1+2>/2,X2=1-2V2

C.X1—2^2+1,X-y—2V2-1D.X]=-1+2*^2,X-y=-1-2A/25.（2x-l）2=（V3-1）26.（x-11=（2x+3）2

5.方程（x—3）2=〃/的解是（）

A.Xj=m,x2=-mB.X]=3+tn,x2=3-777

C.再=3+m,x2=-3—mD.再=3+m,x2=-3+m

2

6.關(guān)于x的一元二次方程(x+a)2=力，能用直接開平方解方程的條件是()7.（2x+V3）-75=08.3（l-y）2=1

A.a>0^?<0B.。/0出工0C.〃為任意實數(shù)，b>0D.。為任意實數(shù)，b>0

7.下列方程，一定能用直接開平方解方程的是()

A.(x—5)~+5=0B.—(x+2)+3=0C.—(2x—7)—7=0D.(x—3)—m—0

一元二次方程解法(3)一—配方法所以

原方程的解是：汨=Xl=

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

總結(jié)規(guī)律用配方法解二次項系數(shù)是1的一元二次方程？有哪些步驟？

1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，體會化歸思想。

深入探究用配方法解下列方程：

重點：用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

難點：配方的過程。2

(1)4X2-12X-1=0(2)3X+2X-3=O

導(dǎo)學(xué)流程

自主學(xué)習(xí)自學(xué)P31-32問題2,完成P33思考。自學(xué)P33頁例1,完成練習(xí)：

鞏固提高：完成P34頁練習(xí)

精講點撥上面，我們把方程f+6尸16=0變形為(戶3/=25,它的左邊是一個含有未知數(shù)的

課堂小結(jié)你今天學(xué)會了用怎樣的方法解一元二次方程？有哪些步驟？

—式，右邊是一個常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解.這種解一元二次

達(dá)標(biāo)測評

方程的方法叫做配方法.

用配方法解方程：

練一練：配方.填空：

1、x24-8x—2=02、X2—5x—6=0.3、2x2-x=6

(1)V+6x+()=(x+)z；(2)V—8x+()=(%—V；

(3)-()=(x+)*

24、x2+px4-q=0(p2—4q^0).5、x2-2x-3=0

從這些練習(xí)中你發(fā)現(xiàn)了什么特點？

合作交流6、2x2+12x+10=07、x2-4x+3=08、9x2-6x-8=0

用配方法解卜.列方程：

；

(1)x-6x-7=0(2)jr+3x4-1=0.9、x2+12x-15=010、2x2+l=3x11、3x2+6x-4=0

解(1)移項，得/-6才=___.

方程左邊配方，得?一2?才?3+「=7+一，12、4x2-6x-3=013.x2+4x-9=2x-ll14.x(x+4)=8x+12

即(______)2=_.

所以x—3=____.拓展提高

原方程的解是小=,X2—.已知代數(shù)式/-5x+7,先用配方法說明，不論x取何值，這個代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出

(2)移項，得/+3x=-1.

當(dāng)x取何值時，這個代數(shù)式的值最小，最小值是多少？

方程左邊配方，得x?+3x+()-=—1十____,

即

A.1B.-1C.2D.-2

課后作業(yè)

4.將方程X2+8工+9=0,配方后得(X+Q)2=人的形式，則b的取值是()

一、填空題

A.25B.7C.-7D.-9

1.方程41-20=0的根是2.方程fx+2]=±的根是。

5.下列二次三項式是完全平方式的是()

k3j9

A.+7x+7B.)廣一4y—4C.—yp2m+2D.〃-+—nH-----

3.在括號內(nèi)或橫線上，填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使等式成立。216

25

(1)X2+4X+=(x+):;(2)%2+()+—=(x-)\6.無論X、y是什么實數(shù)，代數(shù)式-+y2+2x—4)，+8的值是()

------_2_L4-----

A.3B.8C.D.

(3)y2y+()=(y-___)2：⑷x2+px+()2=(x+___)\總不小于總不小于最小為零可能為負(fù)數(shù)

三、用配方法解方程

4.用配方法，把下列各式化成〃的形式：

(1)—2x-3=(x-_____)~+()；(2)y"+yH—=(1+)；(1)，+3工+1=0(2)(x+lX2x-3)=3

?,4

(3)a2-—a=(a-____)2+()：(4)m2+5/〃+*=(n?+____)2+()。

3-----—2-----

5.判斷下列配方結(jié)果是否正確：

(1)+4.r=(x+2)~+4()(2)x"+冗+Q=(尢+萬J+w()

/、2/、22

(3)a2-5a+2=|6Z--|+—()⑷y2+-y--=|y+-1--()(3)0.4X-0.8X-1=0⑷+2A/2X—6=0

V2)4-3-9V6)4

(5)2)，_2)，-3=20-1)2-4()⑹>+04〃+0.5=(，〃+0.2)2+0.1()

二'選擇題

1.把方程Y-6x+3=0變?yōu)?x+，")2=〃的形式，開始出現(xiàn)錯誤的一步是()

A.移項，得X?—6x=-3B.兩邊都加上36,得工？一6工+36=—3+362.x是什么數(shù)值時，代數(shù)式工2一6工一16與2x+4的值相等。

C.配方，得(X—6『=33D.直接開平方，得太-6=±而

2.如果/+8冗+/"是一個完全平方式，則機的值是()

A.4B.-4C.±4D.16

3.將方程/-2工=2配方成(工+。)2=女的形式，則方程兩邊需要加上()

一元二次方程(4)公式法b2-4ac為什么一定要強調(diào)它不小于0呢？如果它小于0會出現(xiàn)什么情況呢？

學(xué)習(xí)目標(biāo)展示反饋

1、經(jīng)歷推導(dǎo)求根公式的過程，加強推理技能訓(xùn)練，進(jìn)一步發(fā)展邏輯思維能力；學(xué)生在合作交流后展示小組學(xué)習(xí)成果。

2、會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程；3進(jìn)一步體驗類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法。①當(dāng)爐一4四>0時，方程有一個的實數(shù)根；(填相等或不相等)

重點：用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程；難點：推導(dǎo)求根公式的過程。②當(dāng)爐一4四=0時，方程有個的實數(shù)根

導(dǎo)學(xué)流程Xl=X2=_____________________

復(fù)習(xí)提問：③當(dāng)從-4acV0時，方程實數(shù)根.

1、用配方法解一元二次方程的步驟有哪些？2、用配方法解方程3X2-6X-8=0;鞏固練習(xí)

3、你能用配方法解下列方程嗎？請你和同桌討論一下.蘇+H+c=O(a#O).1、做一做：(1)方程2x?-3x+l=0中，a=(),b=(),c=()

推導(dǎo)公式

⑵方程(2xT)2=-4中，a=(),b=(),c=().

用配方法解一元二次方程占*+-+c=0GWO).

因為aW0,方程兩邊都除以4得=0.

⑶方程3x「2x+4=0中，b2-4ac=()，則該一元二次方程()實數(shù)根°

移項，得x24--x=,

a

h('(4)不解方程，判斷方程xL4x+4=0的根的情況。

配方，得xA--=——,即()2=

aa

深入探究：自學(xué)P36頁例2,完成下列特別各題：

因為aWO,所以4a2>0,當(dāng)爐一4ac2O時，直接開平方，得

應(yīng)用公式法解下列方程：

(1)2X2+X-6=0；(2)X2+4X=2；(3)5x2-4x-12=0；(4)4x2+4x-F10=l-8x.

所以A=________________________

即X=_________________________________

鞏固提高：完成P37頁練習(xí)

由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程d*+8x+c=O的求根公式：

課堂小結(jié)1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步驟是什么？

-b±^b2-4ac

x=2。(b2—4ac^O)達(dá)標(biāo)測評

(A)1、應(yīng)用公式法解方程：

精講點撥

(1)X2—6x+l=0：(2)2x2—x=6；

利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接求得方程的解，這種

(3)4x2—3x—l=x—2；(4)3x(x—3)=2(x—1)(x+1).

解方程的方法叫做公式法.

(5)(x-2)(x+5)=8；(6)(x4-l)2=2(x+1).

合作交流

課后作業(yè)

一、填空題

4.一元二次方程+bx+c=0有一個根為T,則〃、b、c滿足（）

1.一元二次方程ax2+%x+c=O成立的條件是，它的求根公式是

A.a=b+cB.b=a+cC.c=a+bD.aw0,a—〃+c=

2.將方程卜電—“2后》+1）=2化為ax2+bx+c=0的形式，其中。=

5.已知一元二次方程a?+Z=0有實數(shù)根，則必須滿足（）

b=,c=；h2-4ac=

A.。次同號或a/0,Zw0B.。次異號或。工0次=0

3.當(dāng)*=時，最簡二次根式J——x與Jx+24可以合并。

C.。＞女且。工0。.。＜女且。工0

1

Y~—SY—66.關(guān)于尢的一兀二次方程20r+〃jv+q=O的根為司=3,9=/，則P、4的

4.如果分式'|廣的值等于0,則工=。

W—1

A.p=3,q=萬B.p=—3,q=C.p=—3,^=—D.p=3,q

5.當(dāng)X=時，代數(shù)式3/—2與2元-1的值相等。

三、用公式法解下列各方程：

6.如果代數(shù)式/一%-6與代數(shù)式3犬-2的值互為相反數(shù)，則x=

1.2X2-3X+1=02.—2>/3x+3=0

7.已知方程（"/-2m-8卜+（〃7+2）x-3=0,

⑴當(dāng)機時，這個方程是一元二次方程；

⑵當(dāng)時，這個方程是一元一次方程；

3.乂10+3犬)+3=04.0.2A-2=0.4X+0.1

二、選擇題

1.在方程（2x—3*3X-2）=1中，/—4〃c的值等于（）

5x2+2Mx-9=065)⑵-3)=(,y+2X.y-2)-l

A.-71B.289C.49D.-68

2.方程4（/-1）=1一工化為一般形式后，&、b、c的值分別為（）

A.a=4,b=1,C=-5B.a=4,Z?=1,c=52

7x+(2-V21r-3-V2=082x2-3kx+k2=0(x為未知數(shù))

C.a=4,/?=-1,c=-5D.a=4,b=-5,c=~1

3.方程X2—工一1=。的根