2023-2024學(xué)年嘉興市高二數(shù)學(xué)（下）5月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年嘉興市高二數(shù)學(xué)（下）5月考試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題）一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A．B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．3．（

）A． B． C． D．4．保家衛(wèi)國是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，是一種神圣的職責(zé)，捍衛(wèi)國家安全是每個(gè)公民的使命．防止外敵入侵，是中國軍人的最高責(zé)任、最神圣的任務(wù)和最明確的目標(biāo)，為增強(qiáng)學(xué)生愛國意識(shí)，激發(fā)學(xué)生愛國熱情，某校組織學(xué)生進(jìn)行愛國觀影活動(dòng)，備選影片有《建軍大業(yè)》《我的1919》《湄公河行動(dòng)》《空天獵》《厲害了我的國》5部，若甲、乙、丙三位同學(xué)每人只能選擇觀看其中一部影片，則不同的選擇結(jié)果共有（

）A．10種 B．27種 C．60種 D．125種5．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．端午節(jié)為每年農(nóng)歷五月初五，又稱端陽節(jié)、午日節(jié)、五月節(jié)等.端午節(jié)是中國漢族人民紀(jì)念屈原的傳統(tǒng)節(jié)日，以圍繞才華橫溢、遺世獨(dú)立的楚國大夫屈原而展開，傳播至華夏各地，民俗文化共享，屈原之名人盡皆知，追懷華夏民族的高潔情懷.小華的媽媽為小華煮了8個(gè)粽子，其中5個(gè)甜茶粽和3個(gè)艾香粽，小華隨機(jī)取出兩個(gè)，事件A“取到的兩個(gè)為同一種餡”，事件B“取到的兩個(gè)都是艾香粽”，則（

）A． B． C． D．7．已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.如果過點(diǎn)作一條直線分別交，于點(diǎn)，，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．若，則下列等式正確的有（

）A． B．C． D．10．隨機(jī)變量且，隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．11．近年來，網(wǎng)絡(luò)消費(fèi)新業(yè)態(tài)?新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)，消費(fèi)場景也隨之加速拓展，某報(bào)社開展了網(wǎng)絡(luò)交易消費(fèi)者滿意度調(diào)查，某縣人口約為萬人，從該縣隨機(jī)選取人進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)滿意度得分分成以下組：、、、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.由頻率分布直方圖可認(rèn)為滿意度得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，且，，，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.則（

）A．由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為B．由直方圖可估計(jì)樣本的中位數(shù)約為C．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬人D．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬人12．已知函數(shù)（其中），恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則（

）A．是偶函數(shù)．B．C．是奇數(shù)D．的最大值為3第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)函數(shù)，若，則a=.14．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為.15．已知集合.若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.16．如圖，一個(gè)筒車按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)5圈，若從盛水筒P剛出水面開始計(jì)時(shí)，則盛水筒到水面的距離y（單位：m）（水面下則y為負(fù)數(shù)）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式為，盛水筒至少經(jīng)過s能到達(dá)距離水面的位置．四、解答題:本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及對(duì)稱軸方程；(2)求，求的最大值及相對(duì)應(yīng)的x的值；(3)討論在的單調(diào)性．18．甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．已知函數(shù)（a，b，）有最小值，且的解集為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．在2023年春節(jié)期間，為了進(jìn)一步發(fā)揮電子商務(wù)在活躍消費(fèi)市場方面的積極作用，保障人民群眾度過一個(gè)平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購物平臺(tái)上同時(shí)開啟了打折促銷，直播帶年貨活動(dòng)，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關(guān)系．(1)現(xiàn)對(duì)某時(shí)間段100名觀看直播后選擇這兩個(gè)公司直播間購物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司直播間購物選擇乙公司直播間購物合計(jì)用戶年齡段19—24歲4050用戶年齡段25—34歲30合計(jì)是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān)？(2)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個(gè)直播間進(jìn)行購物，第一天等可能他從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購物的概率；(3)元旦期間，甲公司購物平臺(tái)直播間進(jìn)行“秒殺”活動(dòng)，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為，每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機(jī)抽取五人，記五人中恰有2人下單成功的概率為，求的最大值點(diǎn)．參考公式：，其中．獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．已知不等式（1）若不等式的解集為或，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，解該不等式.22．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.1．B【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)樗?故選：B2．C【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模長公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】，則.故選：C.3．A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角恒等變換化簡求值即可.【詳解】已知可化為：.故選：A4．D【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】解：由題意知，甲、乙、丙三位同學(xué)每人只能選擇觀看其中一部影片，所以每個(gè)人有5種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理得共有（種）．故選：D．5．D【分析】由題意知是方程的兩實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案.【詳解】由不等式的解集為，知是方程的兩實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得：，所以不等式可化為，解得：或，故不等式的解集為：.故選：D.6．B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.【詳解】由題意，，，所以.故選：B.7．A【分析】分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)換為在上有解，設(shè)函數(shù)，，求出函數(shù)的最大值，即可求得答案.【詳解】由題意得，，，即，故問題轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，則，，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故，故選：A8．A【分析】分析可將問題轉(zhuǎn)化為求面積的最小值，利用正弦定理及基本不等式即可解決.【詳解】設(shè)則=化簡得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故而當(dāng)面積的最小時(shí)，剩下的四邊形面積的最大為故選：A【點(diǎn)睛】本題考察平面圖形的面積最值，可轉(zhuǎn)化為求三角形面積最值，一般情況都可以轉(zhuǎn)化為利用基本不等式或者同一變量的函數(shù)值域問題，屬于壓軸題.9．ACD【分析】利用賦值法即可求解AC,求導(dǎo)后結(jié)合賦值法可判斷D，利用通項(xiàng)的特征可判斷B.【詳解】對(duì)于A,令，則，故A正確，對(duì)于B,，因此，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,令，則，令，則，兩式相加可得，故C正確，對(duì)于D,對(duì)兩邊求導(dǎo)得，令得，故D正確，故選:ACD10．AC【分析】對(duì)AB，根據(jù)正態(tài)分布的期望方差性質(zhì)可判斷；對(duì)C，根據(jù)及二項(xiàng)分布期望公式可求出；對(duì)D，根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算公式可求出，進(jìn)而求得.【詳解】對(duì)AB，因?yàn)榍?，所以，故，，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋?，所以，解得，選項(xiàng)C正確；對(duì)D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ABD【分析】利用頻率分布直方圖計(jì)算出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)，可判斷AB選項(xiàng)；利用正態(tài)分布原則可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，由中位數(shù)的定義可得，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬人，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬人，D對(duì).故選：ABD.12．BCD【分析】根據(jù)得到，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到，得到或，故CD正確，代入驗(yàn)證知不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤，由函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B，得到答案.【詳解】∵，，∴，，故，，，由，則，故，，，當(dāng)時(shí)，，，∵在區(qū)間上單調(diào)，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故CD正確；或，故或，，不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；由題可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故成立，B正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)的計(jì)算，難度較大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.13．【解析】先令，則，求解的值，然后再分類討論，求解的值.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，有，無解，當(dāng)時(shí)，有，解得，或，所以或，當(dāng)時(shí)，，，故無解；當(dāng)時(shí)，若，則，得，若，則，即，無解，綜上所述：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查根據(jù)函數(shù)值求參，難度一般，解答時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用.14．【分析】令求得，寫出的展開式的通頂公式分別求出它的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，再與的系數(shù)相結(jié)合即可得展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,令,得,所以6.因?yàn)檎归_式的通頂公式為,令,得;令,得,所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：15．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，根據(jù)題意能得到，根據(jù)包含關(guān)系列出不等式即可得到答案【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，，所以，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故答案為：16．【分析】計(jì)算，得到，取，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，，故，，故，故，取，即，設(shè)盛水筒第一次達(dá)到的時(shí)間為，則，解得.故答案為：17．(1)；(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值為.(3)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）先化簡函數(shù)的的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期，令即可求出對(duì)稱軸方程；（2）由的范圍求出，可知當(dāng)時(shí)，即可求出的最大值；（3）確定，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算得到答案.【詳解】（1）則的最小正周期，令，則.的最對(duì)稱軸方程為；（2），，所以，所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值為：.（3）由，可得，由，得，則在單調(diào)遞增；由，得，則在單調(diào)遞減故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為18．（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）記甲、乙兩人擊中丙沒有擊中為事件，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；（2）由題意可知隨機(jī)變量可取的值為、、、，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的值.【詳解】（1）記甲、乙兩人擊中丙沒有擊中為事件，則甲，乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率為：；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、、，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下：因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理列出方程組解出即可；（2）分離參數(shù)得，，利用基本不等式求出右邊最值即可.【詳解】（1）令，則為方程的兩根，則，則由題有，解得，.（2）由（1）得對(duì)，，即，，，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，則.20．(1)有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān)；(2)(3)【分析】（1）完善列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得結(jié)論；（2）應(yīng)用獨(dú)立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播間購物的概率；（3）由題設(shè)可得，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求上的最大值即可.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：選擇甲公司直播間購物選擇乙公司直播間購物合計(jì)用戶年齡段19—24歲401050用戶年齡段25—34歲203050合計(jì)6040100所以，故有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān).（2）由題設(shè)，小李第二天去乙直播間的基本事件：{第一天去甲直播間，第二天去乙直播間}；{第一天去乙直播間，第二天去乙直播間}，兩種情況，所以小李第二天去乙直播間購物的概率.（3）由題設(shè)，設(shè)五人中下單成功的人數(shù)為，則，所以，令，所以，令，所以，開口向下，且在上遞增，上遞減，又，故上，遞減；上，遞增；由，，故上，即，上，即，所以在上遞增，上遞減，即在上遞增，上遞減，所以，即.21．（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由題意可得和是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理列方程即可求解；（2）若，不等式為，分別討論、、、、解不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以和是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系得，解得；（2）當(dāng)時(shí)，不等式為，當(dāng)時(shí)，不等式為，可得：；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，方程的兩根為，，當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得：或；②當(dāng)即時(shí)，