2024年高中數(shù)學(xué)專題2-15重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講圓與圓的位置關(guān)系學(xué)生版新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

專題2.15圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系及推斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，依據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出推斷.

當(dāng)>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時(shí)，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種狀況①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.

推斷兩圓公切線的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是推斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要推斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最終依據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要留意公切線的斜率可能不存在.3．兩圓的公共弦問(wèn)題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.

設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿足且，所以.即點(diǎn)適合直線方程，故在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③表示過(guò)兩圓與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng).4．圓系方程及其應(yīng)用技巧具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見(jiàn)的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.

(2)與圓同心的圓系方程是.

(3)過(guò)同確定點(diǎn)(a,b)的圓系方程是.

(4)過(guò)直線Ax+By+C=0與圓的交點(diǎn)的圓系方程是.

(5)過(guò)兩圓:和:的交點(diǎn)的圓系方程是().(其中不含有圓:,留意檢驗(yàn)是否滿足題意,以防漏解).

①當(dāng)時(shí)，l:為兩圓公共弦所在的直線方程.

②當(dāng)兩圓相切(內(nèi)切或外切)時(shí)，l為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的直線方程.【題型1圓與圓的位置關(guān)系及判定】【方法點(diǎn)撥】推斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(若圓的方程已是標(biāo)準(zhǔn)形式，此步驟不須要);②分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑；③求兩圓的圓心距d；④比較d與的大小關(guān)系；⑤依據(jù)大小關(guān)系確定位置關(guān)系.【例1】圓(x+1)2+yA．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【變式1-1】已知圓C1:x2+A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【變式1-2】已知圓C1:x2+y2-2x+A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【變式1-3】已知直線l:mx+y-3m-2=0與圓M:(A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【題型2由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距與半徑的和或差的確定值的大小關(guān)系列出關(guān)系式，求出參數(shù)的值或取值范圍，留意相切和相離均包括兩種狀況.【例2】已知圓C1(x-2)2+(y+2)2A．7 B．3 C．3或7 D．5【變式2-1】已知圓C:x-32+yA．1 B．9 C．10 D．16【變式2-2】已知圓C1：x-32+y+22=1與圓C2：A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【變式2-3】若圓C1:x2+y2A．12 B．23【題型3與兩圓相切有關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】處理兩圓相切問(wèn)題，首先必需精確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告知兩圓相切，則必需分兩圓內(nèi)切和外切兩種狀況探討；其次，將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的確定值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí)).【例3】設(shè)圓C1:x2+y2-2A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-1】下列方程中，圓C1:x2-A．x+3C．3x+【變式3-2】圓x2+y-22=4A．-∞,C．-5,【變式3-3】若直線l與圓C1:x+12+y2=1，圓CA．1 B．2 C．3 D．2【題型4兩圓的公共弦問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解決兩圓公共弦問(wèn)題的一般步驟：第一步：推斷兩圓有沒(méi)有公共弦；其次步：假如存在公共弦，那么只須要將兩圓的方程相減，即可求得公共弦所在直線的方程；第三步：求出其中一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離；第四步：利用勾股定理求出公共弦長(zhǎng).【例4】圓x2+y2=4A．x-yC．x+y【變式4-1】圓C1:x2+A．6 B．210 C．4 D．【變式4-2】已知圓C1:x2+A．2 B．22【變式4-3】若圓C1:x2+y2A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．AB中點(diǎn)的軌跡方程為xD．AB中點(diǎn)的軌跡方程為x【題型5圓系方程及其應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】求過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程，一般用代數(shù)法，即先求出兩圓的交點(diǎn)，再利用圓的幾何性質(zhì)確定圓心的坐標(biāo)和半徑；也可由題意設(shè)出所求圓的方程，再依據(jù)條件建立方程組，最終求出圓的方程，或干脆用圓系方程求解，這樣會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)捷.【例5】求過(guò)兩圓x2+y2-2yA．x2+C．x2+【變式5-1】圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【變式5-2】過(guò)點(diǎn)M(2,-2)以及圓x2+A．x2+C．x2+【變式5-3】若圓C的圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2-A．0 B．85 C．2 D．【題型6直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于實(shí)際生活中直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，通常接受建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決，一般步驟如下：第一步：細(xì)致審題，理解題意，把題中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的有關(guān)問(wèn)題；其次步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題；第三步：通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的有關(guān)運(yùn)算解決問(wèn)題；第四步：將運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成實(shí)際問(wèn)題中的結(jié)論；第五步：檢驗(yàn)與作答.【例6】如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為63m，行車道總寬度BC為211m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高M(jìn)N為5（1）建立直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的方程；（2）為保證平安，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請(qǐng)計(jì)算車輛通過(guò)隧道的限制高度是多少．【變式6-1】某品牌的logo是用一系列1，2，3，5，8，13，??為半徑的圓截得的，如圖所示，右上方是三個(gè)半徑為8的圓，自上而下依次為圓A，圓B，圓C，已知它們的圓心在斜率為-1的同始終線上，已知圓A與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，且圓A的圓心在x軸上方，圓B與y軸相切，且圓心在y軸右側(cè)，圓C與圓B（1）求圓B的方程；（2）求圓A與圓B的公共弦所在直線方程；（3）寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（不用寫(xiě)過(guò)程）．【變式6-2】如圖：為了疼惜河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形疼惜區(qū)．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸）．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，疼惜區(qū)的邊界為圓心M（在線段OA上）與BC相切的圓．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，已知新橋BC所在直線的方程為：4x+3y﹣680＝0．（1）求新橋端點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)圓形疼惜區(qū)的圓心M在古橋OA所在線段上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，求圓形疼惜區(qū)的面積的最小值，并指出此時(shí)圓心M的位置．【變式6-3】某濕地公園有一邊長(zhǎng)為4百米的正方形水域ABCD，如圖，EF是其中軸線，水域正中心有一半徑為1百米的圓形島嶼M，小島上種植有各種花卉．現(xiàn)欲在線段AF上某點(diǎn)P處