重慶市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題含解析

Page23留意事項(xiàng)1.答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要細(xì)致核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一樣.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題

每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再由已知列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，因，且z是實(shí)數(shù)，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：A2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一推斷，即可選擇.【詳解】對(duì)：簡(jiǎn)潔知是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)：簡(jiǎn)潔知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)：簡(jiǎn)潔知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，故正確；對(duì)：簡(jiǎn)潔知是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C.3.某種包裝的大米質(zhì)量（單位：）聽從正態(tài)分布，依據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知，某公司購(gòu)買該種包裝的大米2000袋．則大米質(zhì)量在以上的袋數(shù)大約為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【解析】【分析】依據(jù)大米質(zhì)量，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，再列式計(jì)算作答.【詳解】因大米質(zhì)量，且，則，所以大米質(zhì)量在以上的袋數(shù)大約為.故選：B4.已知，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，然后由奇偶性變形不等式，由單調(diào)性求解．【詳解】由題意知的定義域?yàn)镽，且，得為奇函數(shù)，且，且在上單調(diào)遞增．由得，即．解得．故選：B．5.在勞動(dòng)技術(shù)課上某小組同學(xué)用游標(biāo)卡尺測(cè)量一個(gè)高度為7毫米的零件50次時(shí)，所得數(shù)據(jù)如下：測(cè)量值6.8毫米6.9毫米7.0毫米7.1毫米7.2毫米次數(shù)51510155依據(jù)此數(shù)據(jù)推想，假如再用游標(biāo)卡尺測(cè)量該零件2次，則2次測(cè)得的平均值為7.1毫米的概率為（）A.0.04 B.0.11 C.0.13 D.0.26【答案】C【解析】【分析】依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知2次測(cè)得的平均值為，有兩種狀況：一次，一次和兩次都是，利用古典概型求概率公式計(jì)算即可.【詳解】2次測(cè)得的平均值為，有兩種狀況：一次，一次，概率；兩次都是，概率，，故選：C.6.雙碳，即碳達(dá)峰與碳中和的簡(jiǎn)稱，2024年9月中國(guó)明確提出2030年實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實(shí)現(xiàn)“碳中和”．為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，中國(guó)加大了電動(dòng)汽車的探討與推廣，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機(jī)遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時(shí)間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的閱歷公式，其中為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則當(dāng)放電電流，放電時(shí)間為（）A.28h B.28.5h C.29h D.29.5h【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意求出蓄電池的容量C，再把代入，結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】解：依據(jù)題意可得，則當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)放電電流，放電時(shí)間為28.5h.

故選：B.7.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，利用兩角差的正弦公式得到，再平方得到求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以．所以，所以，得，因?yàn)椋裕蔬x：C．8.已知直線既是函數(shù)的圖象的切線，同時(shí)也是函數(shù)的圖象的切線，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.0或1 D.1或2【答案】B【解析】【分析】設(shè)是函數(shù)圖象的切點(diǎn)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得，設(shè)是函數(shù)的切點(diǎn)，同樣利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出，然后依據(jù)零點(diǎn)存在性定理可求得結(jié)果【詳解】設(shè)是函數(shù)圖象的切點(diǎn)，則，∴（1）又（2），將（1）代入（2）消去整理得：，∴，設(shè)是函數(shù)的切點(diǎn)，據(jù)題意，又故，令，，∴，故，在定義域上為增函數(shù)，又，故，故，∴，在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由零點(diǎn)存在性定理可得，g(x)存在唯一一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9.某人投擲骰子5次，由于記錄遺失，只有數(shù)據(jù)平均數(shù)為3和方差不超過1，則這5次點(diǎn)數(shù)中（）A.眾數(shù)可為3 B.中位數(shù)可為2 C.極差可為2 D.最大點(diǎn)數(shù)可為5【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)方差、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行逐項(xiàng)推斷.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：假如五次都為，滿意題意，眾數(shù)為，符合題意，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若中位數(shù)，則出現(xiàn)這組狀況方差最小，但此時(shí)方差大于，故不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：這種狀況下方差小于，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若最大點(diǎn)數(shù)為，當(dāng)方差最小，該組數(shù)為，該組數(shù)的方差大于，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.已知直線y=kx（k≠0）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為，則以下正確的結(jié)論有（）A.雙曲線的離心率為2 B.雙曲線的離心率為C.雙曲線的漸近線方程為y=±2x D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出，得到方程組，求出，或，從而得到離心率，及漸近線方程，利用余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系得到傾斜角的正切值，從而求出斜率.【詳解】以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，以為直徑的圓：設(shè)，則，，∴解得：，或，所以，即A錯(cuò)誤，B正確.漸近線方程C正確.D選項(xiàng)，不妨設(shè)，且點(diǎn)B在第一象限，則，此時(shí)同理可得：當(dāng)時(shí)，D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若ω=2，則將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.若，且的最小值為，則ω=2C.若在[0，]上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍為（0，3]D.若在[0，π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】先化簡(jiǎn)的解析式；由三角函數(shù)的圖像變換推斷選項(xiàng)A；由，可得是函數(shù)的最大、小值點(diǎn)，從而可推斷B；由在上單調(diào)遞增，則，可推斷選項(xiàng)C；設(shè)，即在僅有3個(gè)零點(diǎn)，可推斷選項(xiàng)D.【詳解】函數(shù)選項(xiàng)A：若，，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖像，所以A正確；選項(xiàng)B：若，則是函數(shù)的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)，若的最小值為，則最小正周期是，所以，B正確；選項(xiàng)C：若在上單調(diào)遞增，則，所以，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)，當(dāng)時(shí)，若在僅有3個(gè)零點(diǎn)，即在僅有3個(gè)零點(diǎn)則，所以，D正確，故選：ABD．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，直線m過D且交C于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影．線段PF交y軸于點(diǎn)E，下列命題正確的是（）A.對(duì)于隨意直線m，均有AE⊥PFB.不存在直線m，滿意C.對(duì)于隨意直線m，直線AE與拋物線C相切D.存在直線m，使|AF|+|BF|=2|DF|【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)由E為線段PF的中點(diǎn)以及拋物線定義即可推斷；B選項(xiàng)由及拋物線方程求出坐標(biāo)，再說明三點(diǎn)共線，即存在直線即可；C選項(xiàng)設(shè)，表示出直線AE，聯(lián)立拋物線，利用即可推斷；D選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可推斷.【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，由拋物線知O為DF的中點(diǎn)，軸，所以E為線段PF的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以A正確；B選項(xiàng)，如圖2，設(shè)，，，，，E為線段PF的中點(diǎn)，則，，由得，解得，，又，故，，又，可得，，故存在直線m，滿意，選項(xiàng)B不正確．C選項(xiàng)，由題意知，E為線段PF的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線AE的方程：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直線AE與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確．D選項(xiàng)，如圖3，設(shè)直線m的方程，，，，由，得．當(dāng)，即且時(shí)，由韋達(dá)定理，得，．因?yàn)?，，所以，又，，所以成立，故D不正確．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是兩個(gè)單位向量，，且，則=________．【答案】##0.5【解析】【分析】依據(jù)垂直關(guān)系得到，結(jié)合向量模長(zhǎng)求出，計(jì)算出的值.【詳解】由題意得，因?yàn)槭莾蓚€(gè)單位向量，所以，解得，所以.故答案為：14.正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為棱AC的中點(diǎn)，則異面直線SD與AB所成角的余弦值為__________．【答案】【解析】【分析】取BC中點(diǎn)E，連接SE，DE，則（或其補(bǔ)角）為異面直線SD與AB所成的角，利用余弦定理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】取BC的中點(diǎn)E，連接SE，DE，則（或其補(bǔ)角）為異面直線SD與AB所成的角，由題意知，，所以．故答案為：15.以拋物線的焦點(diǎn)為圓心的圓交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，已知，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，可得，由此可確定圓的半徑，利用可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，由，得：，圓的半徑，．故答案為：.16.將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD=2，則四面體ABCD的外接球的半徑為______，四面體ABCD的內(nèi)切球與外接球的球心距為_______.【答案】①②.【解析】【分析】依據(jù)翻折后得到的四面體ABCD是由兩個(gè)等邊三角形和兩個(gè)直角三角形組成，依據(jù)直線三角形斜邊的中線定理，得出四面體ABCD的外接球的球心，再利用多面體內(nèi)切球的半徑為（是多面體的體積，是多面體的表面積）得出四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑，作出截面，利用對(duì)稱性得為等腰直角三角形，進(jìn)而得到也為等腰直角三角形從而可求解.【詳解】如圖（1）（2），在四面體ABCD中，與是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，與是斜邊為的等腰直角三角形，設(shè)AC中點(diǎn)為則，即為四面體的外接球球心，外接球．設(shè)BD的中點(diǎn)為E，則，又所以平面ACE，所以四面體ABCD關(guān)于平面ACE對(duì)稱，同理，所以四面體ABCD關(guān)于平面對(duì)稱，從而其內(nèi)切球的球心必在線段上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，中，，．由等體積法，即，得，如圖（3），作出截面，設(shè)內(nèi)切球與平面ACD、平面ABC分別相切于點(diǎn)G、H，由對(duì)稱性知點(diǎn)G、H分別在線段、上，且，，由，可知三角形為等腰直角三角形，從而是等腰直角三角形，所以．故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是內(nèi)切球球心的位置的確定，再作出過兩個(gè)球心的截面圖，數(shù)形結(jié)合即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．（1）求C；（2）求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理將化角為邊，可得的關(guān)系，再結(jié)合（1）可求得，再依據(jù)三角形的面積公式，即可得解.【小問1詳解】解：因，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，則；【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以?8.已知等差數(shù)列的公差為正實(shí)數(shù)，滿意，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和為，以下有三個(gè)條件：①；②；③從中選一個(gè)合適的條件，填入上面橫線處，使得數(shù)列為等比數(shù)列，并依據(jù)題意解決問題.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意求得公差，從而可得出答案；（2）依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得（負(fù)值舍去），所以，所以；【小問2詳解】解：選①，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等式也成立，所以，則，所以，則，兩式相減得，所以.選②，由，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以，則，以下步驟同①.選③，由，得，兩式相減得：，又，，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，不能選擇.19.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明DE⊥平面，進(jìn)而依據(jù)面面垂直的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而依據(jù)空間向量的夾角運(yùn)算求得答案.【小問1詳解】如圖，連接BD.在菱形ABCD中，連接BD，∠BAD=60°，所以為正三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB.因?yàn)锳B//CD，所以DE⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，而，所以DE⊥平面.又因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面DEF⊥平面.【小問2詳解】設(shè)，以D為原點(diǎn)，以直線DE，DC，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.設(shè)為平面DEF的法向量，由得取，得.由（1），則平面，即為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.某公司對(duì)40名試用員工進(jìn)行業(yè)務(wù)水平測(cè)試，依據(jù)測(cè)試成果評(píng)定是否正式錄用以及正式錄用后崗位等級(jí)，測(cè)試分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)．筆試環(huán)節(jié)全部40名試用員工全部參與；參與面試環(huán)節(jié)的員工由公司按規(guī)則確定．公司對(duì)40名試用員工的筆試得分筆試得分都在內(nèi)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下的頻率分步直方圖和列聯(lián)表．男女合計(jì)優(yōu)得分不低于90分8良得分低于90分12合計(jì)40（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認(rèn)為“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別有關(guān)；（2）公司確定：在筆試環(huán)節(jié)中得分低于85分的員工干脆淘汰，得分不低于85分的員工都正式錄用．筆試得分在內(nèi)的崗位等級(jí)干脆定為一級(jí)無需參與面試環(huán)節(jié)；筆試得分在內(nèi)的崗位等級(jí)初定為二級(jí)，但有的概率通過面試環(huán)節(jié)將二級(jí)晉升為一級(jí)；筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)的崗位等級(jí)初定為三級(jí)，但有的概率通過面試環(huán)節(jié)將三級(jí)晉升為二級(jí)．若全部被正式錄用且崗位等級(jí)初定為二級(jí)和三級(jí)的員工都需參與面試．已知甲、乙為該公司的兩名試用員工，以頻率視為概率．①若甲已被公司正式錄用，求甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率；②若乙在筆試環(huán)節(jié)等級(jí)初定為二級(jí)，求甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率．參考公式：，【答案】（1）表格見解析，沒有；（2）①；②.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率直方圖求出得分不低于90分的人數(shù)，結(jié)合所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解推斷即可；（2）①依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，結(jié)合和事務(wù)的概率公式進(jìn)行求解即可；②分類運(yùn)算即可得解.【小問1詳解】得分不低于90分的人數(shù)為：，所以填表如下：男女合計(jì)優(yōu)得分不低于90分8412良得分低于90分161228合計(jì)241640所以，因此沒有的把握認(rèn)為“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別有關(guān)；【小問2詳解】不低于85分的員工的人數(shù)為：，干脆定為一級(jí)的概率為，崗位等級(jí)初定為二級(jí)的概率為：，崗位等級(jí)初定為三級(jí)的概率為：.①甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率為：；②甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率為：.21.已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)O到直線AF的距離為，△AOF的面積為1．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)Q，QM與NE交于點(diǎn)P，是否存在直線l使得△PMN的面積等于，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在；或【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列出關(guān)于a,b,c的方程，可求得答案;（2）設(shè)直線MN方程，并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積之間的關(guān)系表示出，列方程求得m，可得答案.【小問1詳解】由題意知，，因?yàn)?/p>