2024春七年級數(shù)學(xué)下冊培優(yōu)專項(xiàng)1.3平行線經(jīng)典模型必刷含解析新版浙教版

Page21專項(xiàng)1.3平行線經(jīng)典模型必刷1.（朝陽區(qū)校級期末）一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，則∠ABC＝度．【答案】135【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，∴∠1＝45°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．故答案為：135．2．（博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．3.（大渡口區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】D【解答】解：如圖，作EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故選：D．4.（東昌府區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥EF，∠C＝90°，則α、β與γ的關(guān)系是．【答案】α+β﹣γ＝90°【解答】解：過點(diǎn)C作CM∥AB，過點(diǎn)D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，由①②得：α+β﹣γ＝90°．故答案為：α+β﹣γ＝90°．5．（肅州區(qū)校級期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都是凹面鏡．如圖，從光源P點(diǎn)照射到凹面鏡上的光線PA、PB等反射以后沿著與直線PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，則∠APB的度數(shù)為．【答案】94°【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，∴∠APE＝∠CAP＝36°，∵BD∥EF，∠DBP＝58°，∴∠BPE＝∠DBP＝58°，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．故答案為：94°．6．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠AEC的度數(shù)是．【答案】110°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠A＝50°，∵∠C＝60°，∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．故答案為：110°．7．（泰山區(qū)期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度數(shù)是．【答案】155°【解答】解：過點(diǎn)B作BE∥AD，∵AD∥CF∴AD∥BE∥CF，∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，∴∠2的度數(shù)為155°．故答案為：155°．8.（九江期末）如圖．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)C作CF∥BA，如圖，∵CF∥BA，∴∠BCF＝∠B＝30°，∵BA∥DE，CF∥BA，∴CF∥DE．∵∠D＝40°，∴∠FCD＝∠D＝40°，∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．9.（興城市期末）如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東52°方向，C島在B島的北偏西43°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù)．【解答】解：過C作CF∥AD，∵BE∥AD∴∠ACF＝∠A＝52°，∵CF∥BE∴∠BCF＝∠B＝43°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，∴從C島看A，B的視角∠ACB為95°．10.（天府新區(qū)月考）已知直線AB∥CD．直線EF分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，直線MS經(jīng)過點(diǎn)G，與CD交于點(diǎn)P，且∠BGM＝2∠EGM．（1）如圖1所示，當(dāng)∠EGM＝25°時(shí)，①求∠GPH的度數(shù)；②在直線MS上取一點(diǎn)O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度數(shù)．（2）如圖2所示，在射線GA上任取一點(diǎn)I，連接HI，∠IGP的角平分線GQ和∠IHC的角平分線HQ交于點(diǎn)Q，請寫出∠GQH、∠QGH、∠GIH間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，∴∠BGM＝2×25°＝50°，∵AB∥CD，∴∠GPH＝∠BGM＝50°；②如圖1，過點(diǎn)O作ON∥AB，則∠MON＝∠BOM＝50°，∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，∴∠EHD＝∠BGE＝75°，∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，∵AB∥CD，ON∥AB，∴ON∥CD，∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：如圖2，過點(diǎn)Q作QN∥AB，則∠GQN＝∠AGQ，∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，∴∠AGS＝2∠FGS，∵GQ平分∠AGP，∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，∵AB∥CD，∴∠GIH＝∠IHC，∵HQ平分∠IHC，∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，∵QN∥AB，AB∥CD，∴QN∥CD，∴∠NQH＝∠QHC，∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．11.（黔江區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請說明理由；（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)；（3）如圖3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，請你求出∠BED的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）成立，理由：如圖1中，作EF//AB，則有EF//CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；（2）如圖2，過點(diǎn)E作EH//AB，∵AB//CD，∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴，∵AB//CD，∴AB//CD//EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）如圖3，過點(diǎn)E作EG//AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，∴，，∵AB//CD，∴AB//CD//EG，∴，，∴．12.（平頂山期末）（1）如圖1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，干脆寫出∠BED的度數(shù)．（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E為直線AB，CD間的一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與∠F之間的關(guān)系并說明理由．（3）如圖3，AB與CD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為∠BGD內(nèi)一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，干脆寫出∠BED的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；（2）∠BED＝2∠F，理由如下：過點(diǎn)E作EG∥AB，延長DE交BF于點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥CD，∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，∴∠BED＝2（∠2+∠3），∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，∴∠BED＝∠BED+∠F，∴∠BED＝2∠F；（3）如圖，延長DE交BF于點(diǎn)M，則有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，∴∠EBM+∠MDF＝35°，∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．13.（驛城區(qū)校級期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請寫出具體求解過程．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，假如點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你干脆寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．14.（鹿邑縣月考）如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，過點(diǎn)F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）結(jié)論：∠E+6∠M＝360°，證明：∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．15.（銅仁市期末）2024北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)滑雪場的你，學(xué)會正確的滑雪姿態(tài)是最重要的，正確的滑雪姿態(tài)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，假如人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．【解答】解：方法一：延長AB交直線DE于點(diǎn)G，∵AG∥CD，∴∠CDE＝∠AGE＝60°，∵AF∥DE，∴∠BAF＝∠AGE＝60°；方法二：過點(diǎn)B作BM∥AF，過點(diǎn)C作CN∥ED，∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，∵AF∥DE，∴BM∥CN，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，∴∠3＝∠4，∴∠BAF＝∠CDE＝60°．∴∠BAF的度數(shù)為60°．16.（江津區(qū)期末）已知AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接CP、AP．（1）如圖1，當(dāng)∠PCD＝40°，∠PAB＝86°時(shí)，求∠P；（2）如圖2，在第（1）的條件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；（3）如圖3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，請干脆寫出∠PCQ與∠PAB的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖：設(shè)CD與AP相交于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，∵∠1是△CEP的一個(gè)外角，∴∠1＝∠C+∠P，∴∠A＝∠C+∠P，∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，∴∠P的度數(shù)為46°；（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，由（1）得：∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD＝∠PAB﹣∠PCD，＝（∠PAB﹣∠PCD）＝∠P＝×46°＝23°，∴∠AQC的度數(shù)為23°；（3）∵CP∥AQ，∴∠PCQ＝∠AQC，∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，由（2）得：∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，∴2∠PCQ＝∠PAB，∴∠PCQ＝∠PAB．17.（南京模擬）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠2+∠PFD＝180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如圖2，過P點(diǎn)作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如圖，過點(diǎn)G作AB的平行線GH．