2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A級(jí)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.已知F1(-5,0),F2(5,0)為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a=3和a=5時(shí),點(diǎn)P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線B.雙曲線的一支和一條直線C.雙曲線和一條射線D.雙曲線的一支和一條射線2.(多選題)假如方程x2m+2-y2A.-4 B.-2 C.-1 D.73.(多選題)雙曲線x225-yA.17 B.7 C.22 D.24.如圖,已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),點(diǎn)A,B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2,|AB|=m,FA.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m5.與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓P的圓心在()A.一個(gè)橢圓上B.一個(gè)圓上C.一條拋物線上D.雙曲線的一支上6.經(jīng)過點(diǎn)P(-3,27)和Q(-62,-7),且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

7.已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線x29-y216=1的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn),且|PF1|·|PF2|=32,則△F8.已知雙曲線的方程為x2-y24=1,如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-5,0),B是圓C:x2+(y-5)2=1上的點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線的右支上,則|MA|+|MB|的最小值為B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.若橢圓x225+y29=1和雙曲線x29-y27=1的共同焦點(diǎn)為F1,FA.37 B.67 C.97 D.810.設(shè)P是雙曲線x29-y216=1上一點(diǎn),M,N分別是兩圓(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y211.某地發(fā)生里氏8.0級(jí)地震,為了援救災(zāi)民,某部隊(duì)在如圖所示的P處空降了一批救災(zāi)藥品,要把這批藥品沿道路PA,PB送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去,若PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°.試在災(zāi)民區(qū)中確定一條界線,使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送藥較近,而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路PB送藥較近.請(qǐng)說明這一界線是一條什么曲線并求出其方程.

參考答案學(xué)習(xí)單元2雙曲線3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.D因?yàn)閨F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以當(dāng)a=3時(shí),2a=6<|F1F2|,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支;當(dāng)a=5時(shí),2a=10=|F1F2|,點(diǎn)P的軌跡為一條射線.2.AD要使方程表示雙曲線,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.由選項(xiàng)知AD符合.3.CD設(shè)雙曲線x225-y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,則a=5,b=3,c=34,設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn),不妨令|PF1|=∴點(diǎn)P可能在左支,也可能在右支,由||PF1|-|PF2||=2a=10,得|12-|PF2||=10,∴|PF2|=22或2.∴點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是22或2.4.B由雙曲線的定義,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.5.D由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,畫出圓x2+y2=1與(x-4)2+y2=4的圖象如圖,設(shè)圓P的半徑為r,∵圓P與圓O和圓M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,則|PM|-|PO|=1<4,∴點(diǎn)P在以O(shè),M為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上.6.y225-x275=1設(shè)雙曲線方程為Ax2則9A-28B=1,72故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y225-7.16因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn),所以|PF2|-|PF1|=6,兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|228.10+1設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,0),則點(diǎn)A,D是雙曲線的焦點(diǎn),由雙曲線的定義,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.又B是圓x2+(y-5)2=1上的點(diǎn),圓的圓心為C(0,5),半徑為1,故|BD|≥|CD|-1=10-1.從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10+1,當(dāng)點(diǎn)M,B在線段CD上時(shí),等號(hào)成立.即|MA|+|MB|的最小值為10+1.9.A對(duì)于橢圓x225+y29=1,可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5,短半軸長(zhǎng)為3,半焦距為4,則設(shè)點(diǎn)P(m,n),則m225+n所以△PF1F2的面積為12×8×374=3710.9如圖所示,設(shè)雙曲線x29-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,則點(diǎn)F1(-5,0)為圓(x+5)2+y2=1的圓心,點(diǎn)F2(5,0)為圓(x-5)2+y2由雙曲線的定義可得|PF2|-|PF1|=6.由圓的幾何性質(zhì)得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.11.解矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中的點(diǎn)可分為三類,第一類沿道路PA送藥較近,其次類沿道路PB送藥較近,第三類沿道路PA和PB送藥一樣遠(yuǎn)近,依題意知,界線是第三類點(diǎn)的軌跡.設(shè)M為界線上的任一點(diǎn),則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,∴界線是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支的一部分,如圖,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)所求雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為