2025屆上海市徐匯、松江、金山區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆上海市徐匯、松江、金山區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)等差數(shù)列，則等于（）A．120 B．60 C．54 D．1082．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，，，則的值為（）A．51 B．34 C．64 D．5124．在中，a、b分別為內(nèi)角A、B的對(duì)邊，如果，，，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）A． B． C． D．6．已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若，則（）A． B． C． D．7．（）A．4 B． C．1 D．28．設(shè)，則（）A．3 B．2 C．1 D．09．設(shè)，且，則下列各不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．10．已知是第一象限角，那么是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知與的夾角為，，，則________.12．已知球的一個(gè)內(nèi)接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．13．若銳角滿足則______.14．在中，角所對(duì)的邊分別為，，則____15．空間兩點(diǎn)，間的距離為_____．16．已知，，，則的最小值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知：（，為常數(shù)）．（1）若，求的最小正周期；（2）若在，上最大值與最小值之和為3，求的值．19．已知為等邊角形，.點(diǎn)滿足，，.設(shè).試用向量和表示;若,求的值.20．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求滿足的概率；（2）若，在區(qū)間內(nèi)取值，求滿足的概率．21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）對(duì)任意的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

題干中只有一個(gè)等式，要求前9項(xiàng)的和，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決?！驹斀狻浚xC.【點(diǎn)睛】題干中只有一個(gè)等式，要求前9項(xiàng)的和，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決。也可將等式全部化為的表達(dá)式，整體代換計(jì)算出2、D【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關(guān)于的等式,化簡即可得解.【詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡可得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì);若，則即可?！驹斀狻恳?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，所以選擇A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列比較重要的一個(gè)性質(zhì)；在等差數(shù)列中若，則，屬于基礎(chǔ)題。4、A【解析】

先求出再利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題注意考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.5、B【解析】

根據(jù)最小正周期為求解與解析式,再求解的對(duì)稱軸判斷即可.【詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒?故.故,對(duì)稱軸方程為,解得.當(dāng)時(shí),.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)最小正周期的應(yīng)用以及對(duì)稱軸的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以，故答案為D．考點(diǎn)：1、數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列的前項(xiàng)和．7、A【解析】

分別利用和差公式計(jì)算，相加得答案.【詳解】故答案為A【點(diǎn)睛】本題考查了正切的和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、B【解析】

先求內(nèi)層函數(shù)，將所求值代入分段函數(shù)再次求解即可【詳解】，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)具體函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，即可判斷結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，顯然不成立；對(duì)于選項(xiàng)B，若，顯然不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，若，顯然不成立；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)象限角寫出的取值范圍，討論即可知在第一或第三象限角【詳解】依題意得，則，當(dāng)時(shí)，是第一象限角當(dāng)時(shí)，是第三象限角【點(diǎn)睛】本題主要考查象限角，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

將平方再利用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?故.化簡得.因?yàn)椋?故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了模長與數(shù)量積的綜合運(yùn)用,經(jīng)常利用平方去處理.屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

求出面積的最大值，結(jié)合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進(jìn)一步求得球的半徑的最小值得答案．【詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時(shí)的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，考查空間想象能力，是中檔題．13、【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角差的余弦公式即可計(jì)算得解．【詳解】、為銳角，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角，再結(jié)合兩角和差公式進(jìn)行整理，從而得到.【詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查李用正弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系式的化簡問題，屬于常規(guī)題.15、【解析】

根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式即可得到答案【詳解】由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得;;故距離為3【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題。16、1【解析】

由題意整體代入可得，由基本不等式可得．【詳解】由，，，則．當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3且b＝時(shí)，取得最小值1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，整體法并湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，可求出，當(dāng)時(shí)，利用可求出是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消可求出其前項(xiàng)和.試題解析：（1）依題意：當(dāng)時(shí)，有：，又，故，由①當(dāng)時(shí)，有②，①－②得：化簡得：，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）得：，∴∴18、（1）；（2）1【解析】

（1）利用二倍角和輔助角公式化簡，即可求出最小正周期；（2）根據(jù)在，上，求解內(nèi)層函數(shù)范圍，即可求解最值，由最大值與最小值之和為3，求的值．【詳解】解：，（1）的最小正周期；（2），，當(dāng)時(shí)，即，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，即，取得最大值為，最大值與最小值之和為3，，，故的值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19、(1)；；(2).【解析】

（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算法則可直接求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論將已知等式化為；根據(jù)等邊三角形邊長和夾角可將等式變?yōu)殛P(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】（1）（2）為等邊三角形且，即：，解得：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)；關(guān)鍵是能夠?qū)⒌仁睫D(zhuǎn)化為已知模長和夾角的向量的數(shù)量積運(yùn)算的形式，根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得結(jié)果.20、（1）（2）【解析】

（1）首先求出包含的基本事件個(gè)數(shù)，由，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，列出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可求解.（2）根據(jù)題意全部基本事件的結(jié)果為，滿足的基本事件的結(jié)果為，利用幾何概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1），的所有取值共有個(gè)基本事件．由，得，滿足包含的基本事件為，，，，，共種情形，故．（2）若，在上取值，則全部基本事件的結(jié)果為，滿足的基本事件的結(jié)果為．畫出圖形如圖，正方形的面積為，陰影部分的面積為，故滿足的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率計(jì)算公式、幾何概型概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1），；（2）見解析；（3）存在，.【解析】

（1）利用可得，從而可得為等比數(shù)列，故可得其通項(xiàng)公式.用累加法可求的通項(xiàng).（2）利用分組求和法可求，注意就的奇偶性分類討論.（3）根據(jù)的通項(xiàng)可得，故考慮的解可得滿足條件的的值.【詳解】（1）在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由得，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列即.在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，由累加法得，，.當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以.(2).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=.(3)對(duì)任意的正整數(shù),有，假設(shè)存在正整數(shù)，使得