山東泰安知行學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

山東泰安知行學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開始超過萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年2．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則（）A． B． C． D．4．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．5．設(shè)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．6．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于的概率是()A． B． C． D．7．某學(xué)校有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全體師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若女學(xué)生一共抽取了80人，則n的值為（）A．193 B．192 C．191 D．1908．已知?jiǎng)t的最小值是()A． B．4 C． D．59．已知，則的值為A． B． C． D．10．在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前六項(xiàng)和為（）A．63 B．－63 C．－31 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則=________.12．函數(shù)的定義域是_____.13．如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____.14．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是_____________.15．函數(shù)的值域是______．16．已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則該四棱錐的側(cè)面積是______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示,函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),且該函數(shù)的最小正周期為.(1)求和的值；(2)已知點(diǎn),點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),當(dāng)時(shí)，求的值.18．已知數(shù)列an滿足an+1=2an（1）求證:數(shù)列bn（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S19．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.21．如圖，四棱錐中，，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）求證://平面；（2）求點(diǎn)到面的距離（3）求二面角平面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：設(shè)從2015年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數(shù)得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【考點(diǎn)】增長率問題，常用對數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)數(shù)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可求解．2、C【解析】

由直線方程求出直線的斜率，即得傾斜角的正切值，從而求出傾斜角．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由，得：，故中直線的斜率，∵，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的問題，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，故選D．考點(diǎn)：1、平面向量的加法運(yùn)算；2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．4、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的計(jì)算，求解時(shí)遵循“一作、二證、三計(jì)算”的原則，一作的是過點(diǎn)作面的垂線，有時(shí)也可以通過等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，利用該距離與線段長度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．5、D【解析】

本題首先可將轉(zhuǎn)化為，然后將其化簡為，最后利用基本不等式即可得出結(jié)果．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，基本不等式公式為，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是簡單題．6、C【解析】

記事件,基本事件是線段的長度，如下圖所示，作于，作于，根據(jù)三角形的面積關(guān)系得，再由三角形的相似性得，可得事件的幾何度量為線段的長度，可求得其概率.【詳解】記事件,基本事件是線段的長度，如下圖所示，作于，作于，因?yàn)?，則有；化簡得：，因?yàn)?，則由三角形的相似性得，所以，事件的幾何度量為線段的長度，因?yàn)椋缘拿娣e大于的概率．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.常有以下一些方面需考慮幾何概型，求解時(shí)需注意一些要點(diǎn).(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。(3)幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn):一是無限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用"比例解法求解幾何概型的概率.7、B【解析】

按分層抽樣的定義，按比例計(jì)算．【詳解】由題意，解得．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，屬于簡單題．8、C【解析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.即的最小值是.故選：C.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會出現(xiàn)錯(cuò)誤．9、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式求得tanα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要求式子的值．【詳解】∵已知tanα，∴tanα，則，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公式，由此能求出數(shù)列的前六項(xiàng)和.【詳解】在等比數(shù)列中，，，解得數(shù)列的前六項(xiàng)和為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+π）=f（x）+sinx，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f（x）=0，∴f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=0+=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．12、.【解析】

由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.【詳解】由已知得,即解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．13、10.【解析】

由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.【詳解】因?yàn)殚L方體的體積為120，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.14、【解析】

利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，易將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，及函數(shù)在上的最大值為1，易求出的值．【詳解】函數(shù)又函數(shù)在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調(diào)遞增，所以即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15、【解析】

將函數(shù)化為的形式，再計(jì)算值域?！驹斀狻恳?yàn)樗浴军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】四棱錐的側(cè)面積是三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)..(2)，或.【解析】試題分析：(1)由三角函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)可得，則.由最小正周期公式可得.(2)由題意結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.代入三角函數(shù)式可得，結(jié)合角的范圍求解三角方程可得，或.試題解析：(1)將代入函數(shù)中，得，因?yàn)?，所?由已知，且，得.(2)因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，且，所以，且，從而得，或，即，或.18、(1)證明見解析；(2)S【解析】

（1）計(jì)算得到bn+1bn（2）根據(jù)（1）知an【詳解】(1)因?yàn)閎n+1b所以數(shù)列bn(2)因?yàn)閎n=aSn【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，分組求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對于數(shù)列方法的靈活運(yùn)用.19、（1）證明見解析。（2）【解析】

（1）首先根據(jù)已知得到，再根據(jù)線面平行的判定即可得到平面.（2）首先根據(jù)線面垂直的判定證明平面，即可找到為與平面所成角，在計(jì)算其正弦值即可.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，即.平面，所以平面.（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.平面.所以為與平面所成角.在中，，，所以，.在中，，，所以.【點(diǎn)睛】本題第一問考查線面平行的判定，本題第二問考查線面成角，屬于中檔題.20、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時(shí)公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項(xiàng)：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關(guān)于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關(guān)于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時(shí)a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當(dāng)1＜q≤3時(shí)，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當(dāng)1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當(dāng)時(shí)，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時(shí)，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設(shè)a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當(dāng)n＝1時(shí)，d≤2；當(dāng)n＝2，3，…，k﹣1時(shí)，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時(shí)，a1，a2，…ak的公差為．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于一道難題．21、（1）見詳解；（2）；（3）【解析】

（1）通過取中點(diǎn)，利用中位線定理可得四變形為平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）根據(jù),可得平面，可得結(jié)果.（3）作，作，可得二面角平面角為，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖由為的中點(diǎn)，所以//且又，且，所以//且，故//且