安徽省華大新高考聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)二模試題數(shù)學(xué)含答案解析

機(jī)密★啟用前（新教材卷）華大新高考聯(lián)盟2024屆高三4月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)命題：本試題卷共4頁(yè)。滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷指定位置，認(rèn)真核對(duì)與準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息是否一致，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卷上的指定位置。2．選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無(wú)效。3．非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題所對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無(wú)效。4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評(píng)講時(shí)帶來。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則=A． B．C． D．2．已知，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，記經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置，則=A． B． C． D．4．青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足，已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，，則A． B． C． D．5．=A．tan20° B．tan70° C．-tan10° D．-tan40°6．已知正方體中，點(diǎn)E是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且是，的等差中項(xiàng)，則使得成立的最小的n的值為A．8 B．9 C．10 D．118．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的值可以為A．-1 B． C． D．310．已知函數(shù)，則A．若，，則將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱B．若，函數(shù)在上有最小值，無(wú)最大值，且，則C．若直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為D．若在上至少有2個(gè)解，至多有3個(gè)解，則11．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在拋物線C上，則A．若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且，則直線MN的傾斜角的余弦值為B．若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且直線MN的傾斜角為45°，則的面積為C．若點(diǎn)在拋物線C上，且M，N異于點(diǎn)A，，則點(diǎn)M，N到直線的距離之積為定值D．若點(diǎn)在拋物線C上，且M，N異于點(diǎn)A，，其中，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．關(guān)于雙曲線C：，四位同學(xué)給出了四個(gè)說法：小明：雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8；小紅：雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；小強(qiáng)：雙曲線C的離心率為；小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說法錯(cuò)誤，則說法錯(cuò)誤的是______；雙曲線C的方程為______．（第一空的橫線上填“小明”、“小紅”、“小強(qiáng)”或“小同”）13．已知等邊的外接圓O面積為36π，動(dòng)點(diǎn)M在圓O上，若，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為______．14．已知空間四面體ABCD滿足，，則該四面體外接球的體積的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進(jìn)行作物栽培試驗(yàn)，由于土壤相對(duì)貧瘠，前期作物生長(zhǎng)較為緩慢，為了增加作物的生長(zhǎng)速度，達(dá)到預(yù)期標(biāo)準(zhǔn)，小明對(duì)自己培育的一株作物使用了營(yíng)養(yǎng)液，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了使用營(yíng)養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化．天數(shù)x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414（1）觀察散點(diǎn)圖可知，天數(shù)x與作物高度y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，用最小二乘法求出作物高度y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程（其中，用分?jǐn)?shù)表示）；（2）小明測(cè)得使用營(yíng)養(yǎng)液后第22天該作物的高度為21.3cm，請(qǐng)根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測(cè)第22天該作物的高度的殘差．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：．16．（15分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．17．（15分）已知四棱柱如圖所示，底面ABCD為平行四邊形，其中點(diǎn)D在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且，∠ABC=120°．（1）求證：平面⊥平面；（2）已知點(diǎn)E在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，討論曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．19．（17分）已知橢圓C：短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，其中M，N分別在x軸上方和下方，，，直線與直線MO交于點(diǎn)，直線與直線NO交于點(diǎn)．（1）若的坐標(biāo)為，求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)并垂直于x軸的直線交C于點(diǎn)B，橢圓上不同的兩點(diǎn)A，D滿足，，成等差數(shù)列．求弦AD的中垂線的縱截距的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．機(jī)密★啟用前（新教材卷）華大新高考聯(lián)盟2024屆高三4月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題題號(hào)1234567891011答案DBDCACDBCDACDBCD1．【答案】D【命題立意】本題考查函數(shù)的定義域、一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】因?yàn)?，，則，故選D．2．【答案】B【命題立意】本題考查復(fù)數(shù)的概念、充要條件的判定，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】因?yàn)?，化?jiǎn)得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．3．【答案】D【命題立意】本題考查互斥事件的概率、二項(xiàng)分布，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，故選D．4．【答案】C【命題立意】本題考查指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，，兩式相減可得，，故，而，故，故選C．5．【答案】A【命題立意】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，故選A．6．【答案】C【命題立意】本題考查空間線面的位置關(guān)系、基本事實(shí)以及面面平行的性質(zhì)定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】作出圖形如圖所示；不妨設(shè)AB=6，分別延長(zhǎng)AE，交于點(diǎn)G，此時(shí)，連接FG交于H，連接EH，設(shè)平面AEF與平面的交線為l，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故；連接AI，則五邊形AIFHE為所求截面圖形，故選C．7．【答案】D【命題立意】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義、累加法、錯(cuò)位相減法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，故，而，故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，由累加法可知，，故，，兩式相減可得，，令，即，∵在上單調(diào)遞減，解得，故選D．8．【答案】B【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，故，令，，由可得是的極小值點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由，得，則對(duì)任意的恒成立，令，，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，則，故，故選B．二、選擇題9．【答案】CD【命題立意】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】令，則或或或解得或，故選CD．10．【答案】ACD【命題立意】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，所以，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，所以，即，令，得，故B錯(cuò)誤；令則或，故C正確；令或，則或，則需要上述相鄰三個(gè)根的距離不超過，相鄰四個(gè)根（距離較小的四個(gè)）的距離超過，即解得，故D正確；故選ACD．11．【答案】BCD【命題立意】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的綜合性問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】對(duì)A，設(shè)直線MN的傾斜角為，則或，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，此時(shí)拋物線C：，設(shè)直線AM：，設(shè)，，聯(lián)立則，故或，則點(diǎn)M到直線的距離為，則點(diǎn)N到直線的距離為，故所求距離之積為，故C正確；對(duì)D，此時(shí)拋物線C：，設(shè)直線AM：，與拋物線方程聯(lián)立可得，則，則，用替換可得，則，則，，故直線MN：，即，則點(diǎn)F到直線MN的距離，而，令，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選BCD．三、填空題12．【答案】小強(qiáng)；．【命題立意】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】分析可知，小明、小紅、小強(qiáng)三個(gè)人中必有1位同學(xué)說法錯(cuò)誤，則小同的說法一定是正確的，即，則小明和小紅正確，即雙曲線C：，故小強(qiáng)的說法錯(cuò)誤．13．【答案】．【命題立意】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，故，在中由正弦定理得，則；取線段AC的中點(diǎn)N，；取線段BN的中點(diǎn)P，則，，故，則．14．【答案】36π．【命題立意】本題考查空間幾何體的表面積與體積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】設(shè)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，連接AE，DE，BF，CF，由已知，AB=DB，AC=BC，BC=BC，故；因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE=DE；因?yàn)锳F=DF，故，即EF是線段AD的垂直平分線，同理可得，EF是線段BC的垂直平分線，故球心在EF上，設(shè)球的半徑為R，則即故，當(dāng)且僅當(dāng)O為線段AD的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故所求外接球體積的最小值為36π．四、解答題15．【命題立意】本題考查回歸直線方程的概念與運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【解析】（1）依題意，，，故，，故所求回歸直線方程為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，故所求殘差為．16．【命題立意】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、裂項(xiàng)相消法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，，則，，…，．累加可得，，則；而，2時(shí)也符合題意，故；（2）依題意，，故；解法一：故；則；而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．解法二：故，當(dāng)即時(shí)，，則，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．17．【命題立意】本題考查空間線面的位置關(guān)系、向量法求空間角，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】不妨設(shè)AD=1．（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，故；在中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，由余弦定理，，得；故，則．因?yàn)椋訟D⊥平面；而平面，所以平面平面．（2）由（1）知，DA，DB，兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量，，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，∴，所以，，設(shè)，則，即．所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即令，則，，取；易知DB⊥平面，故為平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．18．【命題立意】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】（1）依題意，，故，而，故所求切線方程為，即；（2）令，故，令，，令，，①當(dāng)時(shí)，，，，∴，∴在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，，∴在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，即．∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，，，∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，∴在內(nèi)恰有一零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，∴，∴單調(diào)遞增，又，，∴存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，，∴在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．綜上所述，曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．19．【命題立意】本題考查圓錐曲線的方程、直線與圓錐曲線綜合問題．考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，故橢圓C：；（1）易知點(diǎn)為的重心，則，故，代入橢圓方程得∴橢圓C的方程為；（2）∵，，成等差數(shù)列，．∴．設(shè)，，AD中點(diǎn)．，由