安徽省淮北市2024屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含答案

淮北市2024屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考試務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則A. B. C. D.3.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是A.若，且，則 B.若，且，則C.若，且，則 D.若，且，則4.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知定義在上奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則A. B. C. D.6.已知雙曲線的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為A. B. C.2 D.7.已知，，，則A. B. C. D.8.已知方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，下列命題為真命題的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.已知函數(shù)，，A.存在實(shí)數(shù)使得在單調(diào)遞減B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則的最小值為2C.若，將的圖象向右平移個(gè)單位可以得到的圖象D.若，的最大值為11.如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，，，.A. B.存在點(diǎn)，使C.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為2 D.的最小值為12.已知，，，四點(diǎn)在球心為，半徑為5的球面上，且滿足，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則A.點(diǎn)有可能在上 B.線段的長(zhǎng)有可能為7C.四面體的體積的最大值為20 D.四面體的體積的最大值為56三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則__________.14.正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為___________.15.已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若則實(shí)數(shù)____________.16.記不超過(guò)的最大整數(shù)為.若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)的值可以是___________（寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（本題滿分10分）已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，且，求.18.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的正切值為，求三棱錐的體積.19.（本題滿分12分）某市隨著東部新城迅猛發(fā)展，從老城區(qū)到新城區(qū)的道路交通壓力變大.某高中數(shù)學(xué)建模小組調(diào)查了新城上班族從居住地到工作地的平均用時(shí)，上班族中的成員僅以公交或自駕的方式通勤，分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間與滿足函數(shù)關(guān)系為：（單位：分鐘）.而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為40分鐘.（Ⅰ）當(dāng)在什么范圍時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（Ⅱ）求新城上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式，討論的單調(diào)性，并說(shuō)明其實(shí)際意義.20.（本題滿分12分）已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，記、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)和，，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，.21.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上.22.（本題滿分12分）已知函數(shù)，，（）.（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，分別記為，，且.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若不等式恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)的取值范圍.

淮北市2024屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案BADCBDACBDBCDADBCD7.注意到，.又，所以.8.方程轉(zhuǎn)化為，令，則，注意到為增函數(shù)，且.圖象右圖所示，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即直線與函數(shù)圖象有兩交點(diǎn)，故.又方程轉(zhuǎn)化為，令.注意到，所以.12.注意到點(diǎn)、軌跡分別為以為球心，以4、3為半徑的兩同心球面上，、分別為兩球面的切線.圖12-1所示，點(diǎn)在內(nèi)球面上，線段是中球面切線，所以點(diǎn)不可能在線段上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.圖12-2所示位置，最大，此時(shí)，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，圖12-1所示，，點(diǎn)到面最大值為5，所以最大值為20，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，圖12-3所示，當(dāng)，最大（圖12-2所示位置），四面體體積最大.連結(jié)，，注意到，此時(shí)四面體體積為.二、填空題13. 14. 15. 16.取內(nèi)得任一值都正確.16.取，，.則.題意等價(jià)于在區(qū)間上既有最大值，又有最小值.當(dāng)時(shí)，，增函數(shù)，只有最小，無(wú)最大；當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，此時(shí)，有最小值，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，此時(shí)，最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，有最大，無(wú)最小.綜上，的取值范圍是.三、解答題17.（本題滿分10分）解：（Ⅰ）由，得，即，.所以，故.（Ⅱ）中，，，，為直角三角形，所以.，故.中，，故.18.（本題滿分12分）（Ⅰ）證明：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.平面平面，所以平面.在平面內(nèi)，所以.（Ⅱ）注意到是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，易知，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.過(guò)作，交于.結(jié)合題設(shè)，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.平面與平面夾角正切值為，所以余弦值為.則，.因?yàn)?，可設(shè)（）所以，，設(shè)面法向量為，則，令，得；易知平面法向量為.故，解得.所以，故.19.（本題滿分12分）解：（Ⅰ）由題意知，當(dāng)時(shí)，即解得或.當(dāng)，時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，說(shuō)明該地上班族中有小于32.5%的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞減的，有大于32.5%的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的.20.（本題滿分12分）解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，題設(shè)得，把①式代入②式得，代入①式得，得或（舍）.，所以.（Ⅱ）易知，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以成立.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，上式也成立.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.21.（本題滿分12分）解：（Ⅰ）由題意得，得又，在中化簡(jiǎn)得，解得所以得橢圓方程為：.（Ⅱ）設(shè)，，由消整理得：因在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交得，又為線段中點(diǎn)，所以所以，得由，消整理得：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得：整理得：（※）又，帶入（※）得，約去得即所以點(diǎn)在定直線上.22.解：（Ⅰ）由題意得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以.（Ⅱ）（?。┯深}意得的定義域?yàn)?，得因兩個(gè)不同極值點(diǎn)，故方程有兩個(gè)不同的根，（），即方程有兩個(gè)不同的根，記函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；所以又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)所以，方程有兩個(gè)