北京市順義區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析）

高中數(shù)學(xué)精編資源順義區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷考生須知1．本試卷總分150分，考試用時(shí)120分鐘．2．本試卷共5頁(yè)，分為選擇題（40分）和非選擇題（110分）兩個(gè)部分．3．試卷所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．第一部分必須用2B鉛筆作答：第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，試卷自己保留．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可得到答案.【詳解】命題“”為全稱命題，則其否定為特稱命題，即，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件和必要條件的判斷方法，判斷即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椤啊蹦芡瞥觥啊?，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.5 C.9 D.15【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B5.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課．現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數(shù)有（）A.48種 B.96種 C.144種 D.192種【答案】D【解析】【分析】先排數(shù)學(xué)、體育，再排其余4節(jié)，利用乘法原理，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，有種，再排其余4節(jié)，有種，根據(jù)乘法原理，共有種方法，故選：D．6.下列給出四個(gè)求導(dǎo)的運(yùn)算：①；②；③；④．其中運(yùn)算結(jié)果正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果.詳解】①，故正確；②，故正確；③，故錯(cuò)誤；④，故正確；故選：C7.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)事件“第1次抽到代數(shù)題”，事件“第2次抽到幾何題”，所以，則.故選：A8.已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于AB，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析判斷，對(duì)于CD，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合基本不等式分析判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式為，對(duì)于A，若，則，得，所以或，所以或，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，即，所以，則其正負(fù)由的正負(fù)確定，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，當(dāng)同正時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確，故選：D9.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值 B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值C當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值 D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值【答案】D【解析】【分析】由圖分段討論可得的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性,進(jìn)而找到極值點(diǎn).【詳解】由圖可得，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，故選：D.10.某銀行在1998年給出的大額存款的年利率為，某人存入元（大額存款），按照復(fù)利，10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)展開式計(jì)算可得答案.【詳解】存入元（大額存款），按照復(fù)利，可得每年末本利和是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，可得.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.計(jì)算：________．（用數(shù)字作答）【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式及對(duì)數(shù)式有意義即可求解.【詳解】要使有意義，只需，解得，或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】的展開式的通項(xiàng)為，取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則使是奇函數(shù)的一組整數(shù)的值依次是________．【答案】、3（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，由冪函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以需要滿足為小于的奇數(shù)，為大于的奇數(shù).故答案為：、3（答案不唯一）.15.已知，函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②③【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)即可研究函數(shù)單調(diào)性、極值與圖像，分類討論結(jié)合依次判斷即可.【詳解】∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)有極小值點(diǎn)是1，無(wú)極大值點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，且極小值為，∴結(jié)合的圖像得：當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)若則（舍），無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)若，無(wú)零點(diǎn)；若（舍）無(wú)零點(diǎn)；若則（舍），無(wú)零點(diǎn)；若則不妨設(shè)，有一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)；∴①正確；對(duì)于②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在恰有一個(gè)零點(diǎn)；∴②正確，對(duì)于③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)；∴③正確，對(duì)于④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)；∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)；∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)；∴函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)；∴函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)；∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；∴④錯(cuò)誤，故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決根及零點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合及分類討論，分類討論不重不漏.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．16.已知．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）122【解析】【分析】（1）利用賦值法令求解即可；（2）利用賦值法分別令和即可求解.【小問(wèn)1詳解】令，可得【小問(wèn)2詳解】令，可得①令，可得②①式減②式可得，17.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）（2）最大值為4，最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在的值，可求出切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，，又，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即；【小問(wèn)2詳解】，令，解得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如表所示：2+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增又時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為．18.兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，14，15，16，17，20假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從兩組隨機(jī)各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（1）求甲的康復(fù)時(shí)間不多于14天的概率；（2）若康復(fù)時(shí)間大于14天，則認(rèn)為康復(fù)效果不佳．設(shè)表示甲、乙2人中的康復(fù)效果不佳的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）組病人康復(fù)時(shí)間的方差為組病人康復(fù)時(shí)間的方差為，試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)步驟求出離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）結(jié)合數(shù)據(jù)應(yīng)用波動(dòng)情況判斷方差的大小.【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲的康復(fù)時(shí)間不多于14天為事件C，組中的數(shù)據(jù)共有7個(gè)，基本事件共有7種，且相互獨(dú)立又組中的數(shù)據(jù)不多于14天的有5個(gè)，即事件C中包含的基本事件有5個(gè)甲的康復(fù)時(shí)間不多于14天的概率【小問(wèn)2詳解】甲康復(fù)效果不佳的概率，乙康復(fù)效果不佳的概率表示甲、乙2人中的康復(fù)效果不佳的人數(shù)的可能取值是0，1，2表示甲、乙2人中的康復(fù)效果不佳的人數(shù)為0表示甲、乙2人中的康復(fù)效果不佳的人數(shù)為1表示甲、乙2人中的康復(fù)效果不佳的人數(shù)為2的分布列為012的數(shù)學(xué)期望為.【小問(wèn)3詳解】.根據(jù)組：10，11，12，13，14，15，16，組：12，13，14，15，16，17，20組數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大，所以.19.已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可求出公差，從而可求得，則可得，然后計(jì)算即可得結(jié)論；（2）由（1）可得，然后利用分組求和法可求得.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則通項(xiàng)公式為，又，則即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)．【小問(wèn)2詳解】由（1）知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和20.已知函數(shù)．（1）若對(duì)任意時(shí)，成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：；（3）若存在，使得成立，求證：．【答案】（1）1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得到極值，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造，然后求導(dǎo)得到，即可證明；（3）方法一：由條件可得，令，然后結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證明；方法二：結(jié)合條件可得，然后令，然后由函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【小問(wèn)1詳解】，，令解得，在單減，在上單增，在取得極小值，也是最小值，時(shí)，成立．只需即可，實(shí)數(shù)的最大值為1．【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，，在上單調(diào)遞減，，，即．【小問(wèn)3詳解】法一：證明：存在時(shí)，便得成立，，，令，由可知，由（2）知在上單調(diào)遞減，即，，即，，由知，即，.法二：，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．存在時(shí)，使得成立，，且，，令，，在上單調(diào)遞增，又，，即即，在上單調(diào)遞增，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出合適的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)去研究.21已知整數(shù)數(shù)列滿足：①；②．（1）若，求；（2）求證：數(shù)列中總包含無(wú)窮多等于1的項(xiàng)；（3）若為中第一個(gè)等于1的項(xiàng)，求證：．【答案】（1）或（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解；（2）記為中第一個(gè)小于等于0的項(xiàng)，則或，得出矛盾，記為的最小值，則為奇數(shù)并且，根據(jù)的最小性，得到可知，即可得證；（3）由，可得，得到，求得，再找出和的關(guān)系，結(jié)合和為偶數(shù)和奇數(shù)，分類討論，求得，即可得證.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)檎麛?shù)數(shù)列滿足，若，可得或；若，可得，此時(shí)不滿足，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以，故或.【小問(wèn)2詳解】證明：首先．否則，記為中第一個(gè)小于等于0的項(xiàng)，則或，從而，與的最小性矛盾，記為的最小值，則為奇數(shù)并且，根據(jù)的最小性，可知，根據(jù)可知，注意到第一個(gè)1后面的項(xiàng)為2，1，2，1，2…周期性出現(xiàn)，從而數(shù)列中總包含無(wú)窮多等于1的項(xiàng).【小問(wèn)3詳解】此小問(wèn)解析征解【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有