八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題08最值模型之將軍飲馬(遛馬、過橋)模型(原卷版+解析)

專題08最值模型之將軍飲馬（遛馬、過橋）模型將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！模型1.將軍遛馬模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·西安·統(tǒng)考一模）問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且AE＝1；BF＝2．（1）如圖①，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為；（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PM＝2，現(xiàn)要求計(jì)算出EP、PM、MF和的最小值．九年級(jí)一班某興趣小組通過討論得出一個(gè)解決方法：在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E'，使AE'＝AE，再過點(diǎn)E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點(diǎn)M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點(diǎn)即為M，再在邊AB上點(diǎn)M的上方取P點(diǎn)，且PM＝2，此時(shí)EP+PM+MF的值最?。麄儾淮_定此方法是否可行，便去請(qǐng)教數(shù)學(xué)田老師，田老師高興地說：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)敘述作出草圖并計(jì)算出EP+PM+MF的最小值；問題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽镜木€路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備架設(shè)一條經(jīng)過農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個(gè)村同時(shí)輸電．如圖所示，農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且農(nóng)田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路要與AB垂直．請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的線路圖，并計(jì)算出最短線路的長(zhǎng)度．（要求：寫出計(jì)算過程，結(jié)果保留根號(hào)）例2．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．例3．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．例4．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，、為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，求周長(zhǎng)的最小值．

例5．（2023秋·河南南陽·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．例6．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．模型2.將軍過橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。【模型解讀】【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？圖4圖5圖6考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）當(dāng)A'、Q、M、B'共線時(shí)，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023.北京西城八年級(jí)期中）作圖題（不寫作法）（）如圖，一個(gè)牧童從點(diǎn)出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當(dāng)怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出最短路線．（）如圖，直線是一條河，，是兩個(gè)村莊，欲在上的某處修建一個(gè)水泵站，向，兩地供水，要使所需管道的長(zhǎng)度最短，在圖中標(biāo)出點(diǎn)．（保留作圖過程）（）如圖，在一條河的兩岸有，兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示．試問：橋建在何處，才能使到的路程最短呢？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出橋的位置．（保留作圖過程）例2．（2022上·湖北襄陽·九年級(jí)聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2，、兩地到河岸邊的距離均為1，，，，現(xiàn)欲在河道上架兩座橋、，使最小，則最小值為

A． B． C．14 D．12例3．（2023·內(nèi)江·中考模擬）如圖，已知直線，、之間的距離為8，點(diǎn)P到直線的距離為6，點(diǎn)Q到直線的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=．例4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，，那么的最小值為______．

例6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作且分別交對(duì)角線、直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，的最小值為．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·安徽宣城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，是的中點(diǎn)，線段在上左右滑動(dòng)，若，則的最小值是（

）A．5 B． C．6 D．2．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，E為正方形ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且AB＝3BE＝3，M、N分別為邊CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持MN⊥AE，則AM+NE的最小值為（

）A．4 B． C． D．3．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，連接，，則的最小值為（

）A．25 B．24 C． D．134．（2023上·江蘇無錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且∠BAO＝30°，M、N是該直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝2，連接OM、ON，則△MON周長(zhǎng)的最小值為（

）A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋5．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，若D，E是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A．3 B． C． D．36．（2023下·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，河的兩岸有，兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．

8．（2023.廣東省深圳市九年級(jí)期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BP、E′M．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____；（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____；9．（成都市2022-2023學(xué)年八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長(zhǎng)的最小值為．10．（2023·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，則四邊形BEFC周長(zhǎng)的最小值為．11．（2023下·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，過點(diǎn)作的垂線，與邊交于點(diǎn)，連接．若，，則的最小值為．

12．（2023下·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．

13．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，在的左側(cè)，，連接，，則周長(zhǎng)的最小值為．

14．（2023上·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)，在上，且，連接，，則的最小值為15．（2022下·江蘇·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為16．（2023·福建·校聯(lián)考一模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F為矩形內(nèi)部的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足EF∥BC，EF＝4，S四邊形BEFC＝26，則BE+EF+FC的最小值等于．17．（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，?qǐng)確定兩座橋的位置．

18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）問題提出如圖①，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對(duì)該問題展開討論，小旭同學(xué)認(rèn)為：過A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點(diǎn)N，此時(shí)在點(diǎn)N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認(rèn)為小旭的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長(zhǎng)為10的正方形在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)取值最小時(shí)，求的長(zhǎng)．19．（2023上·重慶萬州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線的圖象與軸和軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的最小值。20．（2023下·黑龍江牡丹江·八年級(jí)?？计谥校﹩栴}背景（1）如圖（1），在公路的一側(cè)有，兩個(gè)工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之間的水平距離為．現(xiàn)需把廠的產(chǎn)品先運(yùn)送到公路上然后再轉(zhuǎn)送到廠，則最短路線的長(zhǎng)是_____．問題探究（2）如圖（2），和是腰長(zhǎng)為2的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，，點(diǎn)，重合，點(diǎn)，重合，將沿直線平移，得到，連接，．試探究在平移過程中，是否存在最小值．若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決（3）如圖（3），A，B分別是河岸m一側(cè)的兩個(gè)旅游景點(diǎn)，它們到河岸的垂直距離分別是和，，的水平距離是．游客在景點(diǎn)游覽完后，乘坐大巴先到河岸上的碼頭甲處，改乘游輪沿河航行到達(dá)碼頭乙，再乘坐大巴到達(dá)景點(diǎn)．請(qǐng)問碼頭甲，乙建在何處才能使從到的旅游路線最短，并求出最短路線的長(zhǎng)．專題08最值模型之將軍飲馬（遛馬、過橋）模型將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！模型1.將軍遛馬模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·西安·統(tǒng)考一模）問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且AE＝1；BF＝2．（1）如圖①，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為；（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PM＝2，現(xiàn)要求計(jì)算出EP、PM、MF和的最小值．九年級(jí)一班某興趣小組通過討論得出一個(gè)解決方法：在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E'，使AE'＝AE，再過點(diǎn)E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點(diǎn)M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點(diǎn)即為M，再在邊AB上點(diǎn)M的上方取P點(diǎn)，且PM＝2，此時(shí)EP+PM+MF的值最?。麄儾淮_定此方法是否可行，便去請(qǐng)教數(shù)學(xué)田老師，田老師高興地說：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)敘述作出草圖并計(jì)算出EP+PM+MF的最小值；問題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽镜木€路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備架設(shè)一條經(jīng)過農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個(gè)村同時(shí)輸電．如圖所示，農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且農(nóng)田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路要與AB垂直．請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的線路圖，并計(jì)算出最短線路的長(zhǎng)度．（要求：寫出計(jì)算過程，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km【分析】（1）利用軸對(duì)稱方法求最短路線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)或作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則即為最小值；（2）由于PM是定值，可以通過平移點(diǎn)的方式將問題轉(zhuǎn)化為問題一，再通過對(duì)稱求最短路線；（3）由于農(nóng)田的寬度一定，故可將M點(diǎn)延AB的垂直方向移動(dòng)農(nóng)田的寬度到，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題即可，作，并在上截?。ㄞr(nóng)田的寬度），連接交于，作于，連接，，則即為最短路線．【詳解】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)至，使，連接，過作于，矩形，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小；由勾股定理得：，故答案為；（2）如圖②，延長(zhǎng)至，使，在下方作，在上截取，連接交于，在上截取，連接，，矩形，即，，四邊形是平行四邊形，，，三點(diǎn)共線，為最小值，即為最小值．（3）如圖③，過作于，過作于，作交于，交于，在上截取，連接交于，作交于，連接，，，四邊形是平行四邊形，由題意知，，，，，，在△中，，最短線路長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形和矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短路線等，解題關(guān)鍵是通過平移和軸對(duì)稱的方法求最短路線，要學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．例2．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．【答案】13【分析】證明四邊形是平行四邊形，得到，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，當(dāng)B、Q、E在同一直線上時(shí)，取得最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，則，，當(dāng)B、Q、E在同一直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，∴的最小值是13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問題及矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．【答案】【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，把點(diǎn)O向右平移2個(gè)單位至點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)K，連接交于點(diǎn)E，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，即的最小值是線段的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，把點(diǎn)O向右平移2個(gè)單位至點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)K，連接交于點(diǎn)E，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．則四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)的值最小，最小值是線段的長(zhǎng)．∵四邊形是矩形，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，、為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，求周長(zhǎng)的最小值．

【答案】周長(zhǎng)的最小值為．【分析】要使周長(zhǎng)的最小，只需EC+CF最小，過點(diǎn)作，使得，連接交于點(diǎn)，構(gòu)造出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正方形的對(duì)稱性知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí),EC+CF=FH+AF=AH=，且最小，從而得到周長(zhǎng)的最小值．【詳解】如解圖，過點(diǎn)作，使得，連接交于點(diǎn)，連接．，，四邊形是平行四邊形，．

四邊形是正方形，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱．．此時(shí)的周長(zhǎng)為．當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為．四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為4．，．．在中，．周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，凡是涉及最短距離的問題，一般要結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．例5．（2023秋·河南南陽·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．【答案】【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移圖形的性質(zhì)，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時(shí)，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于AE對(duì)稱，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時(shí)，C′E+ED最小，此時(shí)，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的對(duì)稱性、線段最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解．例6．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．【答案】【分析】連接與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使得，連接，證明，，得，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，由勾股定理求得便可．【詳解】解：如圖所示，連接與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使得，連接，四邊形是菱形，，，由平移性質(zhì)知，，，，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型2.將軍過橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？圖4圖5圖6考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）當(dāng)A'、Q、M、B'共線時(shí)，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023.北京西城八年級(jí)期中）作圖題（不寫作法）（）如圖，一個(gè)牧童從點(diǎn)出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當(dāng)怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出最短路線．（）如圖，直線是一條河，，是兩個(gè)村莊，欲在上的某處修建一個(gè)水泵站，向，兩地供水，要使所需管道的長(zhǎng)度最短，在圖中標(biāo)出點(diǎn)．（保留作圖過程）（）如圖，在一條河的兩岸有，兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示．試問：橋建在何處，才能使到的路程最短呢？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出橋的位置．（保留作圖過程）【答案】作圖見解析【分析】（1）把河岸看做一條直線，利用點(diǎn)到直線的所有連接線段中，垂直線段最短的性質(zhì)即可解決問題．（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．（3）先確定AA′=CD，且AA′∥CD，連接BA′，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，CD就是所求的橋的位置．【詳解】（）如圖，點(diǎn)到直線垂線段最短．（）如圖．（）如圖。例2．（2022上·湖北襄陽·九年級(jí)聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2，、兩地到河岸邊的距離均為1，，，，現(xiàn)欲在河道上架兩座橋、，使最小，則最小值為

A． B． C．14 D．12【答案】C【分析】延長(zhǎng)到，使得，延長(zhǎng)到，使得，連接交河道于點(diǎn)，，得到兩座橋，，此時(shí)的值最?。驹斀狻拷猓貉娱L(zhǎng)到，使得，延長(zhǎng)到，使得，連接交河道于點(diǎn)，，得到兩座橋，，此時(shí)的值最?。?/p>

∴四邊形是平行四邊形，∴，同理：=，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴，，∴，，在中，，，的最小值為14．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問題，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．例3．（2023·內(nèi)江·中考模擬）如圖，已知直線，、之間的距離為8，點(diǎn)P到直線的距離為6，點(diǎn)Q到直線的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=．【答案】16【分析】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，連接QC交于B，作BA⊥于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的長(zhǎng)；易證四邊形ABCP是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理可求得結(jié)果．【詳解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，連接QC交于B，作BA⊥于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，ABPC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，又CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．例4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，，那么的最小值為______．

【答案】【分析】過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．易求出，，．易證四邊形為平行四邊形，得出，即說明當(dāng)最小時(shí)，最?。僧?dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小．結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．

∵中，，，∴，∴，∴，．∵，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．同理可得出．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小．∵當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∴此時(shí)最小，如圖，

∵，∴．∵∴四邊形為平行四邊形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．正確作出輔助線，理解當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小是解題關(guān)鍵．例6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作且分別交對(duì)角線、直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，的最小值為．

【答案】6【分析】過點(diǎn)D作交于M，過點(diǎn)A作，使，連接，當(dāng)N、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，，分別求出、的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作交X于M，過點(diǎn)A作，使，連接，

四邊形是平行四邊形，，當(dāng)N、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，四邊形是矩形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，即，∴，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，，的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·安徽宣城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，是的中點(diǎn)，線段在上左右滑動(dòng)，若，則的最小值是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】B【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在上截取，然后連接交于，在上截取，此時(shí)的值最小，結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用解答即可．【詳解】如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在上截取，然后連接交于，在上截取，此時(shí)的值最小，，，四邊形是平行四邊形，，，，，為邊的中點(diǎn)，，，由勾股定理得：即的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的做出輔助線．2．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)校考期中）如圖，E為正方形ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且AB＝3BE＝3，M、N分別為邊CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持MN⊥AE，則AM+NE的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，由“ASA”可證，可得，通過證明四邊形NEGM是平行四邊形，可得，由，可得當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)G三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為AG，由勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)D作DH∥MN，交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG∥MN，過點(diǎn)M作MG∥NE，兩直線交于點(diǎn)G，連接AG，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∵AB＝3BE＝3，∴BE＝1，∴，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四邊形DHNM是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四邊形NEGM是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)G三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為AG，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，連接，，則的最小值為（

）A．25 B．24 C． D．13【答案】A【分析】連接，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，可得四邊形是平行四邊形，從而問題轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)軸對(duì)稱求最值即可【詳解】如圖，連接，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱求線段和最值問題，轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且∠BAO＝30°，M、N是該直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝2，連接OM、ON，則△MON周長(zhǎng)的最小值為（

）A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋【答案】B【詳解】解：如圖作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)O’，作且，連接O’C交AB于點(diǎn)D，連接ON，MO，∴四邊形MNOC為平行四邊形，∴，，∴，在中，，即，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)D的位置時(shí)，即當(dāng)O’、M、C三點(diǎn)共線，取得最小值，∵，，設(shè)，則，，解得：，即：，，，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，即：，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱及平行線、平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，角的直角三角形性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．5．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，若D，E是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A．3 B． C． D．3【答案】A【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各邊的長(zhǎng)分別為，．因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，就是需要轉(zhuǎn)換成同一直線上求解，即求關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作．構(gòu)建平行四邊形，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．利用平行四邊形和對(duì)稱圖形的性質(zhì)，找出線段之間的關(guān)系,求出的長(zhǎng)度即為所求最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)N；過作，且，過作于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，即的最小值為，∵，，∴，∴，，過作，則，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，在中，，，∴，∴，∴’故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的線段中最小值問題，轉(zhuǎn)換成三點(diǎn)共線，并在垂直的時(shí)候最小，找到對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)建最短路徑是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，河的兩岸有，兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

【答案】18【分析】作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一條河岸，則且，于是為平行四邊形，故；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，最短，即最短，也就是最短，據(jù)此求解即可．【詳解】作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一條河岸，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則且，于是為平行四邊形，故，

當(dāng)時(shí)，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值為：（米）故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱－－－最短路徑問題、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．

【答案】【分析】由可知為定長(zhǎng)，在、間滑動(dòng)，故由造橋選址模型進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離加上定長(zhǎng)，再利用特殊角構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求出兩點(diǎn)間距離．【詳解】作交于點(diǎn)E，在取，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，作于點(diǎn)，如下圖：

，，為等邊三角形，，，，四邊形為平行四邊形，同理得四邊形與四邊形為平行四邊形，，，，，中，，中，，的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長(zhǎng)線段兩端到兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小，解題時(shí)需要理清楚是否含有定長(zhǎng)平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長(zhǎng)度時(shí)若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法．8．（2023.廣東省深圳市九年級(jí)期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BP、E′M．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____；（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____；【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；【分析】（1）由30°直角三角形的性質(zhì)求出OD的長(zhǎng)，再由平行四邊形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)即可解決問題；（2）首先證明四邊形OPME′是平行四邊形，可得OP=EM，因?yàn)镻M是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小時(shí)，BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小；【詳解】解：（1）如圖1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD=2，∴A（﹣2，2），∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；（2）如圖1中，連接OP．∵EF垂直平分線段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四邊形OMPE是矩形，∴PM=OE=．∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四邊形OPME′是平行四邊形，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小時(shí)，BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小，∴當(dāng)O、P、B共線時(shí)，BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小．∵直線OB的解析式為y=x，∴P（2，）．故答案為（2，）．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短，解決最短問題．9．（成都市2022-2023學(xué)年八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，即有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，將點(diǎn)沿軸向下平移個(gè)單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點(diǎn)，連接，是等腰直角三角形，，，將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，即有最小值，點(diǎn)，點(diǎn)，，折線的長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，則四邊形BEFC周長(zhǎng)的最小值為．【答案】14+2【詳解】如圖，將點(diǎn)B沿BC向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B'，作點(diǎn)B'關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接CB″，交AD于點(diǎn)F，在AD上截取EF=2，連接BE，B'F，∴BE=B'F，B″F=B'F，此時(shí)四邊形BEFC的周長(zhǎng)為BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．當(dāng)點(diǎn)C，F(xiàn)，B″三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形BEFC的周長(zhǎng)最?。逜B=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″經(jīng)過點(diǎn)A，∴AB'=2，∴B'B″=4．∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=2，∴B″C+EF+BC=14+2，∴四邊形BEFC周長(zhǎng)的最小值為14+2．11．（2023下·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，過點(diǎn)作的垂線，與邊交于點(diǎn)，連接．若，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，，，可證四邊形是平行四邊形，從而可得，求的最小值，求最小值即可，當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，最小值，即可求解．【詳解】解：連接，，，

四邊形是菱形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，求的最小值，求最小值即可，如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，最小值，

，，，解得：；，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)最值問題，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，找出取得最小值的滿足的條件，再根據(jù)相關(guān)的判定方法及性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．

【答案】13【分析】如圖所示，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，連接，過點(diǎn)G作于H，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，證明四邊形是平行四邊形，得到，進(jìn)而推出當(dāng)A、M、G三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為的長(zhǎng)，再證明四邊形是矩形，求出，，則，即的最小值為13．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，連接，過點(diǎn)G作于H，∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)A、M、G三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為的長(zhǎng)，∵，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴的最小值為13，故答案為：13．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等等，正確作出輔助線確定最小時(shí)的情形是解題的關(guān)鍵．13．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，在的左側(cè)，，連接，，則周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，再作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值，即取最小值，則此時(shí)的周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，，，再作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值，即取最小值，則此時(shí)的周長(zhǎng)最?。^點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，

，，連接，，，四邊形為矩形，

，，，周長(zhǎng)的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于移動(dòng)線段中三角形周長(zhǎng)最小值問題，添加合適的輔助線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離問題是解題關(guān)鍵．14．（2023上·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)，在上，且，連接，，則的最小值為【答案】【分析】解連接，過作，且，連接．所以四邊形是平行四邊形，因此，則，即的最小值為，據(jù)此解答即可．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，過作，且，連接．四邊形是平行四邊形，，，即的最小值為，四邊形是菱形，，，又，在中，，，，在中，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱，勾股定理及平行四邊形的判定等知識(shí)的綜合應(yīng)用．關(guān)鍵是掌握菱形是軸對(duì)稱圖形，菱形對(duì)角線互相垂直且平分．15．（2022下·江蘇·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為【答案】45【分析】連接，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)成點(diǎn)T，連接、、．首先證明B、A、T共線，求出，證明四邊形EGCD是平行四邊形，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接、，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)成點(diǎn)T，連接、、．∵，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，∵，∴B、A、T共線，∴，∵，，∴四邊形EGCD是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，則的最小值為45．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．16．（2023·福建·校聯(lián)考一模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F為矩形內(nèi)部的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足EF∥BC，EF＝4，S四邊形BEFC＝26，則BE+EF+FC的最小值等于．【答案】4+．【分析】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，證出四邊形BEFH是平行四邊形，得出FH=BE，BH=EF=4，得出CH=BC-BH=5，由梯形面積求出EG=4，若BE+EF+FC最小，則BE+FC=FH+FC最小，作點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接HC'交直線EF于F'，則FH+FC的最小值為F'H+F'C=HC'，在Rt△HCC'中，CC'=8，由勾股定理求出HC'，即可得出結(jié)果．【詳解】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，如圖所示：∵EF∥BC，F(xiàn)H∥BE，∴四邊形BEFH是平行四邊形，∴FH＝BE，BH＝EF＝4，∴CH＝BC﹣BH＝5，BE+FC＝FH+FC，∵EF∥BC，EF＝4，S四邊形BEFC＝26，∴（4+9）×EG＝26，解得：EG＝4，若BE+EF+FC最小，則BE+FC＝FH+FC最小，作點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接HC'交直線EF于F'，連接F'C，則FH+FC的最小值為F'H+F'C＝HC'，在Rt△HCC'中，CC'＝4+4＝8，由勾股定理得：HC'＝，∴BE+EF+FC的最小值＝4+；故答案為4+．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路線問題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、梯形面積等知識(shí)；通過作軸對(duì)稱得出FH+FC的最小值為F'H+F'C=HC'是解題的關(guān)鍵．17．（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，?qǐng)確定兩座橋的位置．

【答案】見解析【分析】由于含有固定線段“橋”，需要將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，使的長(zhǎng)等于河寬，將點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，使的長(zhǎng)等于河寬；連接，與河岸相交于點(diǎn)，；過點(diǎn)作于點(diǎn)D，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即為兩橋的位置．

，【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問題，由于有固定的長(zhǎng)度的線段，常用的方法通過平移，構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答．18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）問題提出如圖①，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對(duì)該問題展開討論，小旭同學(xué)認(rèn)為：過A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點(diǎn)N，此時(shí)在點(diǎn)N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認(rèn)為小旭的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長(zhǎng)為10的正方形在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)取值最小時(shí)，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）3；（2）小旭的說法正確，理由見解析；（3）38或14【分析】（1）連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)