新八年級數(shù)學(xué)講義第11講分式方程-基礎(chǔ)班(學(xué)生版+解析)

第11講分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.【例題精選】例1(2023春?鯉城區(qū)校級期中）在下列各式中，是關(guān)于x的分式方程的是（）A．2x﹣3y＝0 B． C． D．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?靜安區(qū)期末）下列方程中，是分式方程的為（）A． B． C． D．2．(2023春?南江縣期末）下列各式中是分式方程的是（）A． B．x2+1＝y(tǒng) C．+1＝0 D．2分式方程的解【例題精選】例1(2023春?淮陰區(qū)期中）已知關(guān)于x的分式方程＝3的解是5，則m的值為（）A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8【隨堂練習(xí)】1．(2023?滕州市一模）關(guān)于x的分式方程+＝0的解為x＝4，則常數(shù)a的值為（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)＝4 D．a(chǎn)＝103解分式方程解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【例題精選】例1(2023?道外區(qū)一模）方程＝的解為（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3例2(2023?成都模擬）分式方程的解是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．無解例3(2023?西城區(qū)二模）解方程：+1＝．【隨堂練習(xí)】1.(2023?埇橋區(qū)模擬）方程的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣32．(2023春?新蔡縣期中）把分式方程﹣＝0轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，方程兩邊需乘（）A．x B．x+4 C．x（x﹣4） D．x（x+4）3．(2023?安徽二模）方程的解是（）A．﹣1 B．1 C． D．﹣94分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.【例題精選】例1(2023?高州市模擬）2018年8月中國鐵路總公司宣布，京津高鐵將再次提速，擔(dān)任此次運(yùn)營任務(wù)是最新的復(fù)興號動車組，提速后車速是之前的1.5倍，100千米縮短了10分鐘，問提速前后的速度分別是多少千米與小時(shí)？例2(2023?岳陽一模）某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長為3000m的污水排放管道，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前30天完成這一任務(wù)，實(shí)際每天鋪設(shè)多長管道？【隨堂練習(xí)】1．(2023?武昌區(qū)模擬）某單位向一所希望小學(xué)贈送1080本課外書，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進(jìn)行包裝，單獨(dú)使用B型包裝箱比單獨(dú)使用A型包裝箱可少用6個(gè)；已知每個(gè)B型包裝箱比每個(gè)A型包裝箱可多裝15本課外書．若設(shè)每個(gè)A型包裝箱可以裝書x本，則根據(jù)題意列得方程為（）A． B． C． D．2．(2023?越秀區(qū)校級一模）一種商品原來的銷售利潤率是47%．現(xiàn)在由于進(jìn)價(jià)提高了5%，而售價(jià)沒變，所以該商品的銷售利潤率變成了_________．（注：銷售利潤率＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)）3．(2023?長春模擬）為中華人民共和國成立70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠計(jì)劃加工6000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)．求該燈具廠原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量．綜合練習(xí)一．選擇題（共2小題）1．解分式方程﹣＝時(shí)，去分母后得到的方程正確的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣12．某市為解決部分市民冬季集中取暖問題，需鋪設(shè)一條長4000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，施工時(shí)“…”，設(shè)實(shí)際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程﹣＝20，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為（）A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 B．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 C．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成二．解答題（共5小題）3．解方程：﹣＝14．某自動化車間計(jì)劃生產(chǎn)40個(gè)零件，當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)完成一半時(shí)，停止生產(chǎn)進(jìn)行自動化程序升級改造，用時(shí)20分鐘，恢復(fù)生產(chǎn)后工作效率比原來提高了，結(jié)果完成任務(wù)時(shí)比原計(jì)劃提前了40分鐘，求升級改造前每小時(shí)生產(chǎn)多少個(gè)零件？5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣36．某商店第一次用300元購進(jìn)2B鉛筆若干支，第二次又用300元購進(jìn)該款鉛筆，但這次每支的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的倍，購進(jìn)數(shù)量比第一次少了30支．（1）求第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)是多少元？（2）若要求這兩次購進(jìn)的鉛筆按同一價(jià)格全部銷售完畢后獲利不低于210元，問每支售價(jià)至少是多少元？7．服裝店去年10月以每套500元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批羽絨服，當(dāng)月以標(biāo)價(jià)銷售，銷售額14000元，進(jìn)入11月份搞促銷活動，每件降價(jià)50元，這樣銷售額比10月份增加了5500元，售出的件數(shù)是10月份的1.5倍．（1）求每件羽絨服的標(biāo)價(jià)是多少元；（2）進(jìn)入l2月份，服裝店決定把剩余羽絨服按10月份標(biāo)價(jià)的八折銷售，結(jié)果全部賣掉，而且這批羽絨服總獲利不少于15000元，問這批羽絨服至少購進(jìn)多少件？第11講分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.【例題精選】例1(2023春?鯉城區(qū)校級期中）在下列各式中，是關(guān)于x的分式方程的是（）A．2x﹣3y＝0 B． C． D．分析：根據(jù)分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程逐一判斷可得．【解答】解：A．此方程是二元一次方程，不符合題意；B．此方程是一元一次方程，不符合題意；C．是代數(shù)式，不是方程，不符合題意；D．此方程是分式方程；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?靜安區(qū)期末）下列方程中，是分式方程的為（）A． B． C． D．【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、該方程是無理方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、該方程符合分式方程的定義，故本選項(xiàng)正確；D、該方程是無理方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．2．(2023春?南江縣期末）下列各式中是分式方程的是（）A． B．x2+1＝y(tǒng) C．+1＝0 D．【解答】解：A、不是方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、方程x2+1＝y(tǒng)的分母中不含未知數(shù)x，所以它不是分式方程．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、方程+1＝0的分母中不含未知數(shù)x，所以它不是分式方程．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、方程的分母中含有未知數(shù)，所以它是分式方程．故本選項(xiàng)正確；故選：D．2分式方程的解【例題精選】例1(2023春?淮陰區(qū)期中）已知關(guān)于x的分式方程＝3的解是5，則m的值為（）A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8分析：把x＝5代入分式方程求得m的值即可．【解答】解：把m＝5代入關(guān)于x的分式方程＝3得：＝3，解得：m＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【隨堂練習(xí)】1．(2023?滕州市一模）關(guān)于x的分式方程+＝0的解為x＝4，則常數(shù)a的值為（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)＝4 D．a(chǎn)＝10【解答】解：把x＝4代入分式方程+＝0，得+＝0，解得a＝10，經(jīng)檢驗(yàn)a＝10是方程的解，故選：D．3解分式方程解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【例題精選】例1(2023?道外區(qū)一模）方程＝的解為（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3分析：方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（x﹣2）＝5x，去括號得：3x﹣6＝5x，移項(xiàng)合并得：﹣2x＝6，解得：x＝﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣3是分式方程的解．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．例2(2023?成都模擬）分式方程的解是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．無解分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+1）2＝1，開方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0或x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2是增根，分式方程的解為x＝0，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，解完注意要檢驗(yàn)．例3(2023?西城區(qū)二模）解方程：+1＝．分析：根據(jù)解分式方程的步驟解答即可．【解答】解：+1＝，方程的兩邊同乘3（x﹣1）得：3x+3x﹣3＝2x，解這個(gè)方程得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．【點(diǎn)評】本題主要考查了解分式方程，會把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解答本題的關(guān)鍵，注意，解分式方程需要驗(yàn)根．【隨堂練習(xí)】1.(2023?埇橋區(qū)模擬）方程的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3【解答】解：去分母得：2x﹣1＝x+2，解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是分式方程的根，故選：C．2．(2023春?新蔡縣期中）把分式方程﹣＝0轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，方程兩邊需乘（）A．x B．x+4 C．x（x﹣4） D．x（x+4）【解答】解：把分式方程﹣＝0轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，方程兩邊需乘x（x+4）．故選：D．3．(2023?安徽二模）方程的解是（）A．﹣1 B．1 C． D．﹣9【解答】解：方程兩邊乘x﹣3，得2x+6＝﹣x+3，解得：x＝﹣1，檢驗(yàn)：x＝﹣1時(shí)，x﹣3≠0，則x＝﹣1是原分式方程的解．故選：A．4分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.【例題精選】例1(2023?高州市模擬）2018年8月中國鐵路總公司宣布，京津高鐵將再次提速，擔(dān)任此次運(yùn)營任務(wù)是最新的復(fù)興號動車組，提速后車速是之前的1.5倍，100千米縮短了10分鐘，問提速前后的速度分別是多少千米與小時(shí)？分析：設(shè)列車提速前的速度為x千米每小時(shí)和列車提速后的速度為1.5千米每小時(shí)，根據(jù)關(guān)鍵語句“100千米縮短了10分鐘”可列方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)提速前后的速度分別為x千米每小時(shí)和1.5x千米每小時(shí)，根據(jù)題意得，﹣＝，解得：x＝200，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝200是原方程的根，∴1.5x＝300，答：提速前后的速度分別是200千米每小時(shí)和300千米每小時(shí)．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄懂題意，根據(jù)時(shí)間關(guān)系列出方程．例2(2023?岳陽一模）某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長為3000m的污水排放管道，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前30天完成這一任務(wù)，實(shí)際每天鋪設(shè)多長管道？分析：首先設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)x米，則實(shí)際每天鋪設(shè)（1+25%）x米，由題意找出等量關(guān)系：原計(jì)劃的工作時(shí)間﹣實(shí)際的工作時(shí)間＝30，然后列出方程可求出結(jié)果，最后檢驗(yàn)并作答．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)x米，依題意得：＝+30，解得：x＝20米，經(jīng)檢驗(yàn)x＝20是原方程式的根，實(shí)際每天鋪設(shè)1.25x＝1.25×20＝25（米）．答：實(shí)際每天鋪設(shè)25米長管道．【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題應(yīng)用了工作時(shí)間＝工作總量÷工效這個(gè)等量關(guān)系．【隨堂練習(xí)】1．(2023?武昌區(qū)模擬）某單位向一所希望小學(xué)贈送1080本課外書，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進(jìn)行包裝，單獨(dú)使用B型包裝箱比單獨(dú)使用A型包裝箱可少用6個(gè)；已知每個(gè)B型包裝箱比每個(gè)A型包裝箱可多裝15本課外書．若設(shè)每個(gè)A型包裝箱可以裝書x本，則根據(jù)題意列得方程為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，得：．故選：C．2．(2023?越秀區(qū)校級一模）一種商品原來的銷售利潤率是47%．現(xiàn)在由于進(jìn)價(jià)提高了5%，而售價(jià)沒變，所以該商品的銷售利潤率變成了_________．（注：銷售利潤率＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)）【解答】解：設(shè)原來的售價(jià)是b，進(jìn)價(jià)是a，×100%＝47%b＝1.47a．×100%＝40%．故答案為：40%．3．(2023?長春模擬）為中華人民共和國成立70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠計(jì)劃加工6000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)．求該燈具廠原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天加工x個(gè)，根據(jù)題意，得，解得：x＝400，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝400是原方程的解且符合題意．答：原計(jì)劃每天加工400個(gè)．綜合練習(xí)一．選擇題（共2小題）1．解分式方程﹣＝時(shí)，去分母后得到的方程正確的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣1【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，故選：C．2．某市為解決部分市民冬季集中取暖問題，需鋪設(shè)一條長4000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，施工時(shí)“…”，設(shè)實(shí)際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程﹣＝20，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為（）A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 B．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 C．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成【解答】解：∵利用工作時(shí)間列出方程：﹣＝20，∴缺失的條件為：每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成．故選：C．二．解答題（共5小題）3．解方程：﹣＝1【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣16x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣是原方程的根，所以原方程的解為：x＝﹣．4．某自動化車間計(jì)劃生產(chǎn)40個(gè)零件，當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)完成一半時(shí)，停止生產(chǎn)進(jìn)行自動化程序升級改造，用時(shí)20分鐘，恢復(fù)生產(chǎn)后工作效率比原來提高了，結(jié)果完成任務(wù)時(shí)比原計(jì)劃提前了40分鐘，求升級改造前每小時(shí)生產(chǎn)多少個(gè)零件？【解答】解：設(shè)升級改造前每小時(shí)生產(chǎn)x個(gè)零件，則升級改造前每小時(shí)生產(chǎn)（1+）x個(gè)零件，依題意，得：﹣＝+，解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是所列分式方程的解，且符合題意．答：升級改造前每小時(shí)生產(chǎn)10個(gè)零件．5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣3【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是