人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例（導(dǎo)學(xué)案）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用相似三角形的知識(shí)，解決不能直接測(cè)量物體的高度和測(cè)量河寬等一些實(shí)際問(wèn)題.2.通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)突破★知識(shí)點(diǎn)1：利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的已知線(xiàn)段、已知角（3）利用相似三角形建立線(xiàn)段之間的關(guān)系，求出未知量（4）寫(xiě)出答案核心知識(shí)一、利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）根據(jù)題意畫(huà)出_________（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的_________________（3）利用相似三角形建立線(xiàn)段之間的關(guān)系，求出_______________（4）寫(xiě)出___________引入新課【提問(wèn)1】相似三角形的判定方法有哪幾種呢？【提問(wèn)2】簡(jiǎn)述相似三角形的性質(zhì)？新知探究【情景】胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測(cè)量金字塔的高度，你能根據(jù)圖示說(shuō)出他測(cè)量金字塔的原理嗎？你還有其它方法嗎？【問(wèn)題一】如圖，木桿長(zhǎng)2m，木桿的影長(zhǎng)為3m，測(cè)得金字塔底座中心到影子頂點(diǎn)的長(zhǎng)為201m，嘗試用多種方法求金字塔的高度．簡(jiǎn)述利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟？典例分析例1如圖，小明為了測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，他在距樹(shù)24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹(shù)相距27m的時(shí)候，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹(shù)的頂端在同一條直線(xiàn)上.已知小明的眼高1.6m，求樹(shù)的高度.例2為了測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，某同學(xué)利用手邊的工具（鏡子、皮尺）設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，①在距離樹(shù)AB底部15m的E處放下鏡子；②該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處，目高CD為1.5m；③觀(guān)察鏡面，恰好看到樹(shù)的頂端.你能幫助他計(jì)算出大樹(shù)的大約高度嗎？【針對(duì)訓(xùn)練】1．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作．其中有首歌謠：今有竿不知其長(zhǎng)，量得影長(zhǎng)一丈五尺．立一標(biāo)桿，長(zhǎng)一尺五寸，影長(zhǎng)五寸，問(wèn)竿長(zhǎng)幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺．同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，問(wèn)竹竿長(zhǎng)為幾丈幾尺？2.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線(xiàn)上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，EF＝30cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求樹(shù)高AB？3.在同一時(shí)刻兩根木桿在太陽(yáng)光下的影子如圖所示，其中木桿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木桿PQ的影子有一部分落在墻上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木桿PQ的長(zhǎng)度．4.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，求該古城墻的高度.新知探究【問(wèn)題二】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線(xiàn)且直線(xiàn)PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線(xiàn)a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線(xiàn)b的交點(diǎn)R．已測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬PQ．【問(wèn)題三】如圖，為了估算河的寬度，還有別的方法嗎？典例分析例3如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（）A．AB=24m B．MN∥ABC．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【針對(duì)訓(xùn)練】1.周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上選擇點(diǎn)D豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線(xiàn)．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測(cè)得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB．2.學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識(shí)后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過(guò)所學(xué)計(jì)算橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC=120米，DE=200米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長(zhǎng)度．探究新知【問(wèn)題四】如圖，左、右并排的兩棵大樹(shù)的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹(shù)底部的距離BD=5m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1.6m．她沿著正對(duì)這兩棵樹(shù)的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹(shù)的頂端C了？感受中考1．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指豎直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線(xiàn)上；第三步：閉上右眼，睜開(kāi)左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長(zhǎng)度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測(cè)物體離觀(guān)測(cè)，點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車(chē)到觀(guān)測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車(chē)的長(zhǎng)度大約為4米，則汽車(chē)到觀(guān)測(cè)點(diǎn)的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米2．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線(xiàn)上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（

）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）在《數(shù)書(shū)九章》（宋·秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線(xiàn)上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？2.簡(jiǎn)述利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟？【參考答案】新知探究【情景】胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測(cè)量金字塔的高度，你能根據(jù)圖示說(shuō)出他測(cè)量金字塔的原理嗎？你還有其它方法嗎？【方法一】下面是借助太陽(yáng)光線(xiàn)構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度的示意圖：原理：在同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下不同物體的高度之比與其影長(zhǎng)之比相等，即△ABO∽△DEF．【方法二】構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：方法：在金字塔影子處立一根木棍，使木棍影子的頂端恰好和金字塔影子頂端重合.原理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，即△ACD∽△AOB．【方法三】構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：原理：利用光的反射定律，入射角等于反射角，可以通過(guò)∠EAF=∠BAO，∠EFA=∠BOA證明△AFE∽△AOB【問(wèn)題一】如圖，木桿長(zhǎng)2m，木桿的影長(zhǎng)為3m，測(cè)得金字塔底座中心到影子頂點(diǎn)的長(zhǎng)為201m，嘗試用多種方法求金字塔的高度．【方法一】解：∵BF∥ED∴∠BAO=∠EDF，∠BOA=∠EFD=90°∴△ABO∽△DEF∴BOEF而AO=201m,EF=2m,FD=3m∴BO=AODF?因此金字塔的高度為134m【方法二】解：∵∠BAO=∠DAC，∠BOA=∠DCA∴△ABO∽△ADC∴DCBO而AO=201m,CD=2m,AC=3m∴BO=AOAC?因此金字塔的高度為134m【方法三】解：∵∠EAF=∠BAO，∠EFA=∠BOA∴△ABO∽△AEF∴EFBO而AO=201m,EF=2m,AF=3m∴BO=AOAF因此金字塔的高度為134m簡(jiǎn)述利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟？（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的已知線(xiàn)段、已知角（3）利用相似三角形建立線(xiàn)段之間的關(guān)系，求出未知量（4）寫(xiě)出答案典例分析例1如圖，小明為了測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，他在距樹(shù)24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹(shù)相距27m的時(shí)候，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹(shù)的頂端在同一條直線(xiàn)上.已知小明的眼高1.6m，求樹(shù)的高度.解：過(guò)點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因?yàn)槿?、?biāo)桿、樹(shù)都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴EMCN

∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,∴2?0.6CN故樹(shù)的高度為5.2m.例2為了測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，某同學(xué)利用手邊的工具（鏡子、皮尺）設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，①在距離樹(shù)AB底部15m的E處放下鏡子；②該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處，目高CD為1.5m；③觀(guān)察鏡面，恰好看到樹(shù)的頂端.你能幫助他計(jì)算出大樹(shù)的大約高度嗎？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.∴DCBA解得BA=18.75m.因此樹(shù)高約為18.75m.【針對(duì)訓(xùn)練】1．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作．其中有首歌謠：今有竿不知其長(zhǎng)，量得影長(zhǎng)一丈五尺．立一標(biāo)桿，長(zhǎng)一尺五寸，影長(zhǎng)五寸，問(wèn)竿長(zhǎng)幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺．同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，問(wèn)竹竿長(zhǎng)為幾丈幾尺？【詳解】設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為x尺，∵竹竿的影長(zhǎng)=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長(zhǎng)=一尺五寸=1.5尺，影長(zhǎng)五寸=0.5尺，∴x15=1.5答：竹竿的長(zhǎng)為四丈五尺．2.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線(xiàn)上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，EF＝30cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求樹(shù)高AB？【詳解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴BC0.3∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）答：樹(shù)高AB為16.5米3.在同一時(shí)刻兩根木桿在太陽(yáng)光下的影子如圖所示，其中木桿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木桿PQ的影子有一部分落在墻上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木桿PQ的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥PQ于D，則DN=PM，∴△ABC∽△QDN，∴AB∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，QD=AB?DNBC∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．答：木桿PQ的長(zhǎng)度為2.3米．4.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，求該古城墻的高度.【詳解】解：由鏡面反射原理知∠APB=∠CPD.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP.∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP.∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，∴CD=1.2×121.8答：該古城墻的高度是8米新知探究【問(wèn)題二】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線(xiàn)且直線(xiàn)PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線(xiàn)a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線(xiàn)b的交點(diǎn)R．已測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬PQ．解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST∴PQPS即PQPQ+QS

=QRST因此，河寬大約為90m【問(wèn)題三】如圖，為了估算河的寬度，還有別的方法嗎？提示：由于△ABD∽△ECD,得AB而B(niǎo)D故可以求得河寬長(zhǎng)度(方法不唯一)典例分析例3如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（D）A．AB=24m B．MN∥ABC．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【針對(duì)訓(xùn)練】1.周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上選擇點(diǎn)D豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線(xiàn)．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測(cè)得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB．【詳解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴?ABC∽?ADE，∴ADAB又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴AB+8.5AB=1.51，∴AB＝2.學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識(shí)后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過(guò)所學(xué)計(jì)算橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC=120米，DE=200米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖所示，過(guò)E作EG⊥BC于G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=∵AF⊥BC，EG⊥BC．∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴ACEC解得AF=90，答：橋AF的長(zhǎng)度為90米．探究新知【問(wèn)題四】如圖，左、右并排的兩棵大樹(shù)的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹(shù)底部的距離BD=5m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1.6m．她沿著正對(duì)這兩棵樹(shù)的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹(shù)的頂端C了？解：∵AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD∴△AEH∽△CEK．∴EH設(shè)EH長(zhǎng)為x，即xx+5

=8?1.612?1.6

，因此距左邊較低的樹(shù)為8m時(shí)，恰好看到兩樹(shù)頂端，若小于8m，則看不到右邊樹(shù)的頂端C點(diǎn)感受中考1．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指豎直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線(xiàn)上；第三步：閉上右眼，睜開(kāi)左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體