2025屆北京外國語大學附屬中學數(shù)學高一下期末教學質量檢測試題含解析

2025屆北京外國語大學附屬中學數(shù)學高一下期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則（）A．-4 B．3 C．4 D．-32．在平面直角坐標系xoy中，橫、縱坐標均為整數(shù)的點叫做格點，若函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過個格點，則稱函數(shù)為階格點函數(shù).下列函數(shù)中為一階格點函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．若等差數(shù)列的前10項之和大于其前21項之和，則的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定4．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A． B． C． D．5．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．6．古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知點P(，)為角的終邊上一點，則（）A． B．- C． D．08．終邊在軸上的角的集合（）A． B．C． D．9．角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在區(qū)間上，與角終邊相同的角為__________．12．已知向量，，且，點在圓上，則等于．13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，點M為△ABC內(nèi)切圓的圓心，過點M作動直線l與線段AB，AC都相交，將△ABC沿動直線l翻折，使翻折后的點A在平面BCM上的射影P落在直線BC上，點A在直線l上的射影為Q，則的最小值為_____．14．已知點及其關于原點的對稱點均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是____．15．圓與圓的公共弦長為________.16．已知函數(shù)，（常數(shù)、），若當且僅當時，函數(shù)取得最大值1，則實數(shù)的數(shù)值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證．18．對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率2440.120.05合計1（1）求出表中，及圖中的值；（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．19．在中，的對邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，，求的值．20．已知，，．(1)求關于的表達式，并求的最小正周期；(2)若當時，的最小值為，求的值．21．為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校，，的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數(shù)據(jù)見下表（單位：人）.高校相關人員抽取人數(shù)A18B362C54（1）求，；（2）若從高校，抽取的人中選2人做專題發(fā)言，求這2人都來自高校的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

已知等式左邊用誘導公式變形后用正弦和二倍角公式化簡，右邊用切化弦法變形，再由二倍角公式化簡后可得．【詳解】，，∴，．故選：A．【點睛】本題考查誘導公式，考查二倍角公式，同角間的三角函數(shù)關系，掌握三角函數(shù)恒等變形公式，確定選用公式的順序是解題關鍵．2、A【解析】

根據(jù)題意得，我們逐個分析四個選項中函數(shù)的格點個數(shù)，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得：函數(shù)y＝sinx圖象上只有（0，0）點橫、縱坐標均為整數(shù)，故A為一階格點函數(shù)；函數(shù)沒有橫、縱坐標均為整數(shù)，故B為零階格點函數(shù)；函數(shù)y＝lgx的圖象有（1，0），（10，1），（100，2），…無數(shù)個點橫、縱坐標均為整數(shù)，故C為無窮階格點函數(shù)；函數(shù)y＝x2的圖象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…無數(shù)個點橫、縱坐標均為整數(shù)，故D為無窮階格點函數(shù).故選A．【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出函數(shù)的格點個數(shù)是解答本題的關鍵，屬于中檔題．3、C【解析】

根據(jù)條件得到不等式，化簡后可判斷的情況.【詳解】據(jù)題意：，則，所以，即，則：，故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的應用，難度較易.等差數(shù)列前項和之間的關系可以轉化為與的關系.4、D【解析】

由題意首先確定流程圖的功能，然后結合三角函數(shù)的性質求解所要輸出的結果即開即可.【詳解】根據(jù)程序框圖知，該算法的目標是計算和式：.又因為，注意到，故：.故選：D.【點睛】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．5、A【解析】

當直線與垂直時距離最大，進而可得直線的斜率，從而得到直線方程?！驹斀狻吭c坐標為，根據(jù)題意可知當直線與垂直時距離最大，由兩點斜率公式可得：所以所求直線的斜率為：故所求直線的方程為：，化簡可得：故答案選A【點睛】本題考查點到直線的距離公式，涉及直線的點斜式方程和一般方程，屬于基礎題。6、B【解析】試題分析：設該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點：等比數(shù)列的應用．7、A【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可直接得出結果.【詳解】因為點P(，)為角的終邊上一點，則.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，熟記概念即可，屬于基礎題型.8、D【解析】

根據(jù)軸線角的定義即可求解.【詳解】A項，是終邊在軸正半軸的角的集合；B項，是終邊在軸的角的集合；C項，是終邊在軸正半軸的角的集合；D項，是終邊在軸的角的集合；綜上，D正確.故選:D【點睛】本題主要考查了軸線角的判斷，屬于基礎題.9、C【解析】

由，即可判斷.【詳解】，則與的終邊相同，則角的終邊落在第三象限故選：C【點睛】本題主要考查了判斷角的終邊所在象限，屬于基礎題.10、A【解析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數(shù)的圖像與性質【名師點睛】根據(jù)圖像求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖像的最高點、最低點確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖像上的一個特殊點確定φ值．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)與終邊相同的角可以表示為這一方法，即可得出結論．【詳解】因為，所以與角終邊相同的角為.【點睛】本題考查終邊相同的角的表示方法，考查對基本概念以及基本知識的熟練程度，考查了數(shù)學運算能力，是簡單題．12、【解析】試題分析：因為且在圓上，所以，解得，所以．考點：向量運算．【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．13、825【解析】

以AB，BC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，設直線l的斜率為k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【詳解】過點M作△ABC的三邊的垂線，設⊙M的半徑為r，則r2，以AB，BC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則M（2，2），A（0，8），因為A在平面BCM的射影在直線BC上，所以直線l必存在斜率，過A作AQ⊥l，垂足為Q，交直線BC于P，設直線l的方程為：y＝k（x﹣2）+2，則|AQ|，又直線AQ的方程為：yx+8，則P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①當k＞﹣3時，4（k+3）25≥825，當且僅當4（k+3），即k3時取等號；②當k＜﹣3時，則4（k+3）23≥823，當且僅當﹣4（k+3），即k3時取等號.故答案為：825【點睛】本題考查了考查空間距離的計算，考查基本不等式的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

根據(jù)題意，設與關于原點的對稱，分析可得的坐標，由二元一次不等式的幾何意義可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設與關于原點的對稱，則的坐標為，若、均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則有，解可得：，即的取值范圍為，；故答案為，．【點睛】本題考查二元一次不等式表示平面區(qū)域的問題，涉及不等式的解法，屬于基礎題．15、【解析】

先求出公共弦方程為，再求出弦心距后即可求解.【詳解】兩圓方程相減可得公共弦直線方程為，圓的圓心為，半徑為，圓心到的距離為，公共弦長為.故答案為：.【點睛】本題考查了圓的一般方程以及直線與圓位置關系的應用，屬于基礎題.16、-1【解析】

先將函數(shù)轉化成同名三角函數(shù)，再結合二次函數(shù)性質進行求解即可【詳解】令，，對稱軸為；當時，時函數(shù)值最大，，解得；當時，對稱軸為，函數(shù)在時取到最大值，與題設矛盾；當時，時函數(shù)值最大，，解得；故的數(shù)值為：-1故答案為：-1【點睛】本題考查換元法在三角函數(shù)中的應用，分類討論求解函數(shù)最值，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；；（2）【解析】

（1）先證明數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，從而，由此能求出的通項公式；（2）由（1）推導出，從而，利用錯位相減法求和，利用放縮法證明．【詳解】由，，得，，數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，從而，數(shù)列滿足，，，，兩式相減得：，，，【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項公式與求和公式，以及錯位相減法的應用，是中檔題．一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.18、(1)；；；(2)60人．(3)【解析】

（1）根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的值；（2）該校高三學生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人；（3）設在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，，寫出任選2人的所有基本事件，利用對立事件求得答案.【詳解】（1）由分組內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，，∴．∵頻數(shù)之和為40，∴，，．∵是對應分組的頻率與組距的商，∴；（2）因為該校高三學生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，∴估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人．（3）這個樣本參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生共有人，設在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，．則任選2人共有，，，，，，，，，，，，，，15種情況，而兩人都在內(nèi)只能是一種，∴所求概率為．【點睛】本題以圖表為背景，考查從圖表中提取信息，同時在統(tǒng)計的基礎上，考查古典概型的計算，考查基本數(shù)據(jù)處理能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）根據(jù)二倍角和誘導公式可得的值；（2）根據(jù)面積公式求，然后利用余弦定理求，最后根據(jù)正弦定理求的值.【詳解】（1）,，所以原式整理為,解得：（舍）或,;（2），解得，根據(jù)余弦定理,,，代入解得：,.【點睛】本題考查了根據(jù)正余弦定理解三角形，屬于簡單題.20、（1）,；（2）.【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算及輔助角公式得：，并求出最小正周期為；（2）由，得到，從而，再根據(jù)的最小值為，求得.【詳解】（1），所以.（2）當時，則，所以，所以，解得：.【點睛】本題考查向量與三角函數(shù)的交會，求函數(shù)的最值時，要注意整體思想的運用