云南省元江縣民族中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

云南省元江縣民族中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，已知三個內(nèi)角為，，滿足，則（）．A． B．C． D．2．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列命題錯誤的是（）A．異面直線和所成的角為定值 B．直線和平面平行C．三棱錐的體積為定值 D．直線和平面所成的角為定值4．采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為.抽到的人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為（）A． B． C． D．5．若一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則等于()A．1 B．2 C． D．47．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位8．在中，已知，且滿足，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．9．“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓上的點到直線的距離的最小值是______.12．在中，若，點，分別是，的中點，則的取值范圍為___________.13．若，且，則=_______.14．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，且的面積是，___________.15．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個三角形頂角的正弦值為________．16．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，．(1)求及的值；(2)求的值．18．某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費用萬元，滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件，該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？19．?dāng)?shù)列滿足，.（1）試求出，，；（2）猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.20．已知冪函數(shù)的圖像過點.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.21．已知圓以原點為圓心且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于、兩點，過、兩點分別作直線的垂線交軸于、兩點，求線段的長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【詳解】由正弦定理，以及，得，不妨取，則，又，.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

設(shè)與的夾角為，計算出、、的值，再利用公式結(jié)合角的取值范圍可求出的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算平面向量的夾角，解題的關(guān)鍵就是計算出、、的值，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解析】

結(jié)合條件和各知識點對四個選項逐個進行分析，即可得解.【詳解】，在棱長為的正方體中，點在線段上運動易得平面，平面，，故這兩個異面直線所成的角為定值，故正確，直線和平面平行，所以直線和平面平行，故正確，三棱錐的體積還等于三棱錐的體積，而平面為固定平面且大小一定，，而平面點到平面的距離即為點到該平面的距離，三棱錐的體積為定值，故正確，由線面夾角的定義，令與的交點為，可得即為直線和平面所成的角，當(dāng)移動時這個角是變化的，故錯誤故選【點睛】本題考查了異面直線所成角的概念、線面平行及線面角等，三棱錐的體積的計算可以進行頂點輪換及線面平行時，直線上任意一點到平面的距離都相等這一結(jié)論，即等體積法的轉(zhuǎn)換．4、C【解析】從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則抽樣距為k＝，因為第一組號碼為9，則第二組號碼為9＋1×30＝39，…，第n組號碼為9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．考點：系統(tǒng)抽樣.5、A【解析】

該不等式為一元二次不等式，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，的圖象是開口向下且與x軸沒有交點，從而可得關(guān)于參數(shù)的不等式組，解之可得結(jié)果.【詳解】不等式為一元二次不等式，故，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，的圖象是開口向下且與x軸沒有交點，則，解不等式組，得.故本題正確答案為A.【點睛】本題考查一元二次不等式恒成立問題，考查一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合的運用，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

直接利用正弦定理得到，帶入化簡得到答案.【詳解】正弦定理：即：故選D【點睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.7、B【解析】試題分析：記函數(shù)，則函數(shù)∵函數(shù)f（x）圖象向右平移單位，可得函數(shù)的圖象∴把函數(shù)的圖象右平移單位，得到函數(shù)的圖象,故選B.考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．8、D【解析】

根據(jù)正弦定理先進行化簡，然后根據(jù)余弦定理求出C的大小，結(jié)合三角形的面積公式進行計算即可．【詳解】在中，已知，∴由正弦定理得，即，∴＝＝，即＝.∵，∴的面積．故選D．【點睛】本題主要考查三角形面積的計算，結(jié)合正弦定理余弦定理進行化簡是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】試題分析：當(dāng)時，直線為和直線，斜率之積等于，所以垂直；當(dāng)兩直線垂直時，，解得：或，根據(jù)充分條件必要條件概念知，“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要條件，故選B．考點：1、充分條件、必要條件；2、兩條直線垂直的關(guān)系．10、D【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對應(yīng)的點是最值點，然后再對應(yīng)圖象取值.【詳解】，因為正弦函數(shù)對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點，因為，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【點睛】本題考查圓上的點到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.12、【解析】

記，，，根據(jù)正弦定理得到，再由題意，得到，，推出，再由題意，確定的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】記，，，由得，所以，即，因此，因為，分別是，的中點，所以，同理：，所以，因為且，所以，則，所以，則，所以.即的取值范圍為.故答案為【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理，以及兩角和的正弦公式即可，屬于?？碱}型.13、【解析】

由的值及，可得的值，計算可得的值.【詳解】解：由，且，由，可得，故，故答案為：.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握其基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

利用同角三角函數(shù)計算出的值，利用三角形的面積公式和條件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【詳解】，，，且的面積是，，，，，由余弦定理得，.故答案為．【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角形面積公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內(nèi)角和為，建立底角和頂角之間的關(guān)系，再求解三角函數(shù)值．【詳解】設(shè)此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【點睛】給值求值的關(guān)鍵是找準角與角之間的關(guān)系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．16、.【解析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由已知，，利用，可得的值，再利用及二倍角公式，分別求得及的值；（2）利用倍角公式、誘導(dǎo)公式，可得原式的值為.【詳解】（1）因為，，所以，所以，.（2）原式【點睛】若三個中，只要知道其中一個，則另外兩個都可求出，即知一求二.18、（1）；（2）廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【解析】

（1）由不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，可求k的值，再求出每件產(chǎn)品銷售價格的代數(shù)式，則利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數(shù)可求.（2）由（1）得，再根據(jù)均值不等式可解.注意取等號.【詳解】（1）由題意知,當(dāng)時,所以,每件產(chǎn)品的銷售價格為元.所以2020年的利潤；(2)由(1)知,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【點睛】考查均值不等式的應(yīng)用以及給定值求函數(shù)的參數(shù)及解析式.題目較易，考查的均值不等式，要注意取等號.19、（1）,,（2），證明見詳解.【解析】

（1）由題意得,在中分別令可求結(jié)果；（2）由數(shù)列前四項可猜想,運用數(shù)學(xué)歸納法可證明.【詳解】解：（1）,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,所以,,（2）猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：假設(shè)時,有成立,則當(dāng)時,有,故對成立.【點睛】該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的項、通項公式,考查數(shù)學(xué)歸納法,考查學(xué)生的運算求解能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用冪函數(shù)過點即可求出函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為的圖像過點，所以，則，所以函數(shù)的解析式為：；（2）由（1）得，所以函數(shù)的對稱軸為，若函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則或，即或，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了冪函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系，屬于一般題.21、（1）；（2）.