數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

第4章數(shù)學(xué)教學(xué)的理論與實(shí)踐

專題一：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

一、數(shù)學(xué)概念

1.數(shù)學(xué)概念的意義

概念是客觀對(duì)象及其本質(zhì)在人們思維中的反映。

2.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延

概念的內(nèi)涵是指概念所反映的一切事物的本質(zhì)屬性。

概念的外延是指概念所反映事物的范圍(集合)。

3.概念的內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系

當(dāng)概念的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，其所得的新概念的外延縮??；當(dāng)概念的內(nèi)

涵縮小時(shí)，其所得的新概念的外延擴(kuò)大。反之，也成立。

矩形+一組鄰邊相等=>正方形

矩形-有一個(gè)角是直角=>平行四邊形

4.概念間的關(guān)系

(1)相容關(guān)系

如果兩個(gè)概念A(yù)和B的外延集合的交集非空,就稱這兩個(gè)概念的

關(guān)系為相容關(guān)系。相容關(guān)系又可分為下面三種情形。

,同一關(guān)系。

?交叉關(guān)系。

,從屬關(guān)系。

(2)不相容關(guān)系

如果兩個(gè)概念A(yù)和B是屬于同一屬概念下的種概念,并且它們的

外延集合的交集為空集，那么稱這兩個(gè)概念間的關(guān)系是不相容關(guān)系。

不相容關(guān)系又分成下面兩種。

?反對(duì)關(guān)系(對(duì)立關(guān)系)。

?矛盾關(guān)系。

5.概念的定義

(1)給概念下定義的意義和定義的結(jié)構(gòu)

任何定義都由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)三部分組成。

“二的三角形叫做等邊三解

定義聯(lián)項(xiàng)被定義項(xiàng)

(2)定義的方法

?鄰近的屬加種差定義法。“鄰近的屬+種差=被定義概念”

如果一個(gè)概念的屬概念中，其內(nèi)涵與這個(gè)概念的內(nèi)涵的差為最小

(內(nèi)涵最多)叫做這個(gè)概念的鄰近的屬。種差是指被定義概念與同一

屬概念之下其他種概念之間的差別，即被定義概念具有而它的屬概念

的其他種概念不具有的屬性。

例如，平行四邊形的概念鄰近的屬是四邊形，平行四邊形區(qū)別于

四邊形的其他種概念的屬性即種差是“一組對(duì)邊平行并且相等”，這

樣即可給平行四邊形下定義為“一組對(duì)邊平行并且相等的四邊形叫做

平行四邊形”。

利用鄰近的屬加種差定義方法給概念下定義，一般情況下，應(yīng)找

出被定義概念最鄰近的屬，這樣可使種差簡(jiǎn)單一些。

等邊的矩形叫做正方形；

等邊且等角的四邊形叫做正方形。

對(duì)于同一個(gè)概念，選擇同一個(gè)屬的不同種差，可以作出不同的定

義。

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫平行四邊形。

兩對(duì)角線互相平分的四邊形叫平行四邊形。

選擇的屬都是“四邊形”，但種差不同。

鄰近的屬加種差的定義方法有兩種特殊形式:一是發(fā)生式定義方

法。它是以被定義概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的過程作為種差來下

定義的。二是關(guān)系定義法。它是以被定義概念所反映的對(duì)象與另一對(duì)

象之間關(guān)系或它與另一對(duì)象對(duì)第三者的關(guān)系作為種差的一種定義方

式。

-揭示外延的定義方法。

6.定義的基本要求

(1)定義必須是相稱的。

(2)定義不得循環(huán)。

(3)定義應(yīng)簡(jiǎn)明，不能含糊不清。

(4)定義一般不用否定形式。

7.原始概念

二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程

根據(jù)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程及特征，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般分為

三個(gè)階段：引入概念；理解和明確概念；鞏固和應(yīng)用概念。

(-)引入方式

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，也是十分重要

的環(huán)節(jié)。概念引入得當(dāng)，就可以緊緊圍繞學(xué)習(xí)主題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)

興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為學(xué)生順利地掌握概念打好基礎(chǔ)。概念引入的方式

有很多種，如何根據(jù)各種概念的特點(diǎn)，并結(jié)合學(xué)生的具體情況，恰當(dāng)

地選取引入方式呢？必須要做適當(dāng)?shù)臍w類。

1.開門見山的方式

以定義的形式給出，由學(xué)生主動(dòng)地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)

概念相互聯(lián)系、相互作用以領(lǐng)會(huì)它的意義，從而獲得新概念。

案例：在講《二面角》的內(nèi)容時(shí)，這樣引入：“兩條直線所成的

角、直線和平面所成的角，我們已經(jīng)掌握了它們的度量方法，那么兩

個(gè)平面所成的角怎樣度量呢？這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容一一二

面角和它的平面角！”(板書課題)，這樣導(dǎo)入，直截了當(dāng)，促使

學(xué)生迅速地把精力集中到新知識(shí)的探索中。

案例：多項(xiàng)式

師：請(qǐng)看投影顯示的下列文字：

在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫

做常數(shù)項(xiàng)。

一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。

多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

理解之后再回答下列問題：

指出下列多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式，有沒有常數(shù)項(xiàng)？常數(shù)項(xiàng)是多

少？

師：請(qǐng)同學(xué)試舉出一個(gè)二次三項(xiàng)式的例子。

這種概念是人為定義，不如直接給出定義，讓學(xué)生分析理解定義

的文字表述，訓(xùn)練學(xué)生的閱讀理解能力，也是很好的做法。

開門見山的引入方法，教學(xué)重點(diǎn)突出，能使學(xué)生很快地把注意力

集中在教學(xué)內(nèi)容最本質(zhì)、最重要的問題研究之上。一般來說，陳述性

概念中那些外延定義的概念、人為定義的概念和內(nèi)涵簡(jiǎn)單、外延清楚

的概念、難以借助舊知識(shí)引入的新概念，適用開門見山的方式。

另外，隨著學(xué)生抽象思維水平的提高，對(duì)高年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

概念可以適當(dāng)多采用這種方式。

2.溫故知新的方式

在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的基礎(chǔ)上提出新問題引入新的概念,是教學(xué)中被廣

泛應(yīng)用的一種方式。

(1)相關(guān)化的方式

案例：“乘法”的概念可從“加法”來引入，“整除”的概念可

從除法中的“除盡”來引入。

(2)特殊化的方式

案例：矩形

可以在平行四邊形概念的基礎(chǔ)上直接給出，“有一個(gè)角是直角的

平行四邊形是矩形。”這樣的定義實(shí)質(zhì)上是將平行四邊形概念特殊化,

使其內(nèi)涵擴(kuò)大，因此得到的新概念矩形的外延就縮小了。

(3)一般化的方式

案例：角的推廣

從圖形形狀來定義角，是一種靜態(tài)定義，角的范圍是［0。,360。］,

用旋轉(zhuǎn)來定義角，則是動(dòng)態(tài)定義，角的范圍突破了［0。,360。］,角不僅

可以任意大還有正負(fù)之分。

(4)類比遷移的方式

對(duì)于兩個(gè)平行或并列的概念，我們可以采用類比的方法，進(jìn)行新

概念的教學(xué)，一方面可以發(fā)現(xiàn)兩者相同之處，另一方面也會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者

的區(qū)別。

案例：分式乘除法的法則

242x4323x2

——x—=----------...—X—=----------

373x7595x9

24272x732393x9

—+—=—x—=---，…,一十一=-x—=

37343x459525x2

猜一猜：________

acac

你能總結(jié)分式乘除法的法則嗎？與同伴交流。

讓學(xué)生觀察運(yùn)算，通過小組討論交流，并與分?jǐn)?shù)的乘除法的法則類

比，讓學(xué)生自己總結(jié)出分式的乘除法的法則。

再如可類比有理數(shù)中的相關(guān)概念，建立實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕

對(duì)值等概念，但進(jìn)一步又會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者有不同之處，即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的

點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，而有理數(shù)不是。

利用學(xué)生已有概念引申、推導(dǎo)出新概念，可以強(qiáng)化新舊知識(shí)間的

內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生弄清知識(shí)的來龍去脈和前因后果，幫助學(xué)生建立

概念體系，使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)是系統(tǒng)的、完整的。一般來說，數(shù)學(xué)概

念前后知識(shí)邏輯關(guān)系比較緊密，適合采用溫故知新的方式引入。

3活動(dòng)建構(gòu)的方式

(1)抽象歸納的方式

多數(shù)抽象的概念，我們可以找到其具體的實(shí)例。在教學(xué)過程中，

我們可以通過呈現(xiàn)具體實(shí)例，讓學(xué)生通過觀察，進(jìn)一步歸納出抽象概

念的性質(zhì)和特點(diǎn)。

案例：角(宜昌市外國(guó)語學(xué)校胡建萍周西滔)

對(duì)于角，學(xué)生在小學(xué)就有接觸，但更多是一種直觀定義，如什么

什么都給人以角的感覺，所以在初中階段就可要求學(xué)生在小學(xué)直觀感

受的基礎(chǔ)上給出角的抽象定義。

問題：

(1)能從下面圖形中找到各種角嗎?

(2)找到的這些角有什么共同特點(diǎn)，你能依據(jù)這些給角下一個(gè)定義

嗎？

通過學(xué)生的觀察、對(duì)比、分析和討論，發(fā)現(xiàn)角的共同特征并在此

基礎(chǔ)上歸納角的定義，來培養(yǎng)學(xué)生的觀察力，鍛煉學(xué)生的抽象思維能

力和運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的表述能力。通過對(duì)定義的討論幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)角的

組成元素是共端點(diǎn)的射線，同時(shí)意識(shí)到幾何圖形的形成過程之一就是

由基本幾何元素由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的組合過程。

案例：軸對(duì)稱

請(qǐng)你仔細(xì)觀察下面的圖片，圖片上的這些圖案從幾何圖形的角度

有什么共同特征?

對(duì)上述圖片可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出這些圖片都是軸對(duì)稱圖

形，并認(rèn)識(shí)到軸對(duì)稱現(xiàn)象的特征是“對(duì)折”、“重合”，折痕就是對(duì)稱

軸。

一般來說，數(shù)學(xué)概念中的原始概念難以下定義，只能利用現(xiàn)實(shí)中

的大量豐富的實(shí)物去促進(jìn)學(xué)生理解，如點(diǎn)、線、面等，變化式數(shù)學(xué)概

念比較抽象，需要通過豐富的背景讓學(xué)生去尋找其共性，因此它們比

較適合采用抽象歸納的引入方式。

（2）操作活動(dòng)的方式

有些概念，僅靠抽象的思維活動(dòng)難以形成真正的理解，要讓學(xué)生

在操作性活動(dòng)中接觸概念，使用概念，體驗(yàn)概念。

案例：可能性

拋硬幣硬幣正面向上和反面向上的可能性都為1/2,必須要學(xué)生

自主去收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，在活動(dòng)中過程中體會(huì)1/2,否則不會(huì)真

正理解。

(3)數(shù)學(xué)探究的方式

有些概念要認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，不是靠教師的告訴，而是需要學(xué)生經(jīng)歷

數(shù)學(xué)探究的活動(dòng)方能體驗(yàn)。

案例：二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系

探究活動(dòng)1：二元一次方程和一次函數(shù)的圖像關(guān)系

1.方程廣尸5的解有多少個(gè)？[f=是這個(gè)方程

>=5;[y=0;[y=3

的解嗎？

2.點(diǎn)(0,5),(5,0),(2,3)在一次函數(shù)尸-x+5的圖像

上嗎？

3.在一次函數(shù)尸-x+5的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合方

程x+y=^嗎？

4.以方程x片5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與一次函數(shù)

尸-x+5的圖像相同嗎？

通過問題設(shè)置，讓學(xué)生感受方程犬,片6和一次函數(shù)尸-x+5相互

轉(zhuǎn)化，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)二元一次方程與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

探究活動(dòng)2：二元一次方程和相應(yīng)的兩條直線的關(guān)系以及二元一

次方程組的圖像解法

1.解方程組

2x-y=l.

2.上述方程移項(xiàng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次函數(shù)y=-x+5和廣2x-1,在

同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像.

3.方程組的解和這兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？

通過自主探索，使學(xué)生初步體會(huì)“數(shù)”（二元一次方程）與“形”

（兩條直線）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)打下基礎(chǔ).

（4）創(chuàng)設(shè)情境的方式

以問題的形式引入新概念，也是教學(xué)中常常采用的，往往是在解

決問題的過程中自然涉及到了一個(gè)新概念，問題可以是現(xiàn)實(shí)問題，也

可以是數(shù)學(xué)問題。

案例：直角坐標(biāo)系的引入（南京二十九中黎恒濤）

猜猜這是哪？

想去中山陵玩嗎?那么我們就去中山陵去呼吸秋天的味道。

那我們現(xiàn)在就出發(fā)到中山陵風(fēng)景區(qū),全班同學(xué)自由分成三個(gè)小組,

每組同學(xué)從不同的地方,最終要在11點(diǎn)整到中山陵頂集合。

在大家趕往中山陵的過程中，小明和小亮這兩個(gè)好朋友被分在了

不同組,中途，老師到達(dá)后用手機(jī)詢問各小組進(jìn)程。

老師有點(diǎn)糊涂,又是譚延愷墓正北方向3500米.又是中山植物園往

東走500米梅花山。

現(xiàn)在老師有點(diǎn)疑問，他們到底在哪？你能幫老師解決這個(gè)問題嗎？

在解決問題的過程中，學(xué)生自然要建立直角坐標(biāo)系，一個(gè)新概念的

引入就自然形成了。

一般來說，應(yīng)用性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念，更加適合活動(dòng)探究的方式。

上述的歸納整理，不是絕對(duì)的規(guī)律，究竟采用什么樣的方式引入

概念，需要考慮概念本身的特點(diǎn)、學(xué)生的情況以及概念學(xué)習(xí)的價(jià)值。

案例：無理數(shù)的引入

從概念本身來看，無理數(shù)屬于陳述性數(shù)學(xué)概念，可以開門見山引

入：“以前我們學(xué)習(xí)過的數(shù)都是有理數(shù)，我們今天要學(xué)習(xí)一種新的數(shù):

無理數(shù)。什么是無理數(shù)呢？定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)?！?/p>

這樣的教學(xué)處理，更多是想將無理數(shù)的概念告訴學(xué)生，學(xué)習(xí)的重心在

實(shí)數(shù)的運(yùn)算。但如果我們遵循歷史的發(fā)展，讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

過程，感受無理數(shù)引入的必要性和無理

數(shù)的意義，就會(huì)呈現(xiàn)活動(dòng)建構(gòu)的方

11

式。

11

有兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)

大的正方形.

(1)設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a,a滿足什么條件？

(2)a可能是整數(shù)嗎？說說你的理由

(3)a可能是以2為分母的分?jǐn)?shù)嗎？可能是以3為分母的分?jǐn)?shù)

嗎？說說你的理由.

(4)a可能是分?jǐn)?shù)嗎？說說你的理由，并與同伴交流.

活動(dòng)2：面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a究竟是多少呢?

1

a

2

(1)如上圖，3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的

理由。

(2)邊長(zhǎng)a的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位

呢？……借助計(jì)算器進(jìn)行探索。

(3)小明根據(jù)他的探索過程整理出如下的表格，你的結(jié)果呢？

邊長(zhǎng)a面積s

l<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<l.421.988KS<2.0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1,41431.99996164<S<2.000

22449

還可以繼續(xù)算下去嗎?

a可能是有限小數(shù)嗎？

(二)明確和理解概念

概念引入后，要對(duì)概念加以明確和理解。對(duì)于不同的概念，由于

在相關(guān)學(xué)習(xí)主題的地位和作用是不同的,所以在教學(xué)中給予的關(guān)注點(diǎn)

是不同的。

1.在定義的辨析中明確和理解概念

有些概念本身的性質(zhì)是解題的依據(jù)或是進(jìn)行判斷、推理和建立定

理的依據(jù)，對(duì)此在概念教學(xué)中，從正面揭示概念的內(nèi)涵以后，為了強(qiáng)

化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解,可以采用定義辨析的方式去突出概念

的本質(zhì)屬性。

如算術(shù)平方根的概念，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是：疹=|4為了幫助

學(xué)生理解“非負(fù)”的內(nèi)涵，可以提出一系列問題，如a為何值時(shí)，

a,>-a?等等。

案例：相似多邊形的定義（貴陽市花溪五中唐世誨）

相似多邊形的定義既是最基本、最重要的的判定方法，也是最基

本、最重要的性質(zhì)，因此要從正反兩方面幫助學(xué)生理解相似多邊形的

本質(zhì)特征。

問題：

1.觀察下面兩組圖形，它們相似嗎？為什么？

8矩形

2.如果兩個(gè)多邊形不相似，那么它們的各角可能對(duì)應(yīng)相等嗎?

它們的各邊可能對(duì)應(yīng)成比例嗎?

3.一塊長(zhǎng)3m,寬1.5m的矩形黑

板，如圖所示，鑲在其外圍的木制邊

框?qū)?.5cm,邊框的內(nèi)外邊緣所成的

矩形相似嗎？為什么？

問題1和2是通過反例分析,使學(xué)生進(jìn)一步理解相似多邊形的本

質(zhì)特征。對(duì)問題2學(xué)生歸納出如果兩個(gè)多邊形不相似，它們的對(duì)應(yīng)角

可能都相等；如果兩個(gè)多邊形不相似，對(duì)應(yīng)邊也可能成比例。但如果

兩個(gè)多邊形不相似,那么它們不可能各角對(duì)應(yīng)相等且各邊對(duì)應(yīng)成比

例。因此各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例是兩個(gè)多邊形相似的本質(zhì)特

征。

問題3是一個(gè)容易出錯(cuò)的問題，因?yàn)槿藗兺鶗?huì)憑直觀去判斷這

兩個(gè)矩形形狀相同，通過實(shí)例使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到：直觀有時(shí)是不可靠

的，使學(xué)生在實(shí)際情景中更深層次認(rèn)識(shí)相似多邊形的基本涵義。

目前，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，有兩種不同的觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)是

要“淡化概念，注重實(shí)質(zhì)”，另一種觀點(diǎn)是要保持概念闡述的科學(xué)性

和嚴(yán)謹(jǐn)性。事實(shí)上對(duì)此不能一概而論。對(duì)一些次要或只是形式定義但

又必須引入的概念，在教學(xué)中必須對(duì)其定義作淡化的處理，因而定義

的辨析也就顯得沒有價(jià)值了，如二是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，x2+3x+l=

x?+5是一次方程還是二次方程，就沒有意義了。對(duì)另一些概念，在知

識(shí)體系中有重要的地位和作用，例如，全等相似的概念，函數(shù)等概念,

是人們從豐富的情境中抽象而得,在學(xué)習(xí)過程要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概念在

現(xiàn)實(shí)世界的廣泛性，學(xué)習(xí)獲得概念的抽象歸納方法。因此對(duì)于數(shù)學(xué)概

念，應(yīng)該注意到不同數(shù)學(xué)概念的重要性具有層次之分。

2在實(shí)例的尋找中明確和理解概念

概念是抽象的，又是具體的，讓學(xué)生自行舉例是幫助學(xué)生較好地

理解與掌握抽象的數(shù)學(xué)概念一種手段。

案例：一次函數(shù)

生活中有許多一次函數(shù)的實(shí)例，你能舉出一些嗎？

其實(shí)，這也可以看作是對(duì)概念性變式的關(guān)注，因?yàn)樵谟脤?shí)例引進(jìn)

概念時(shí)，總是個(gè)別的實(shí)例，學(xué)生有時(shí)會(huì)將其中的一些非本質(zhì)屬性誤認(rèn)

為是概念的本質(zhì)屬性，通過舉例，可以豐富例證，同時(shí)突出概念的本

質(zhì)屬性。

“變式”是指本質(zhì)屬性不變而非本質(zhì)屬性發(fā)生變化。

(1)正例變式。用多角度、多側(cè)面的變式例子直觀引入概念。數(shù)

學(xué)概念的基本特征是抽象，但許多概念來源于現(xiàn)實(shí)世界的物理背景。

因此，概念引入的方法之一是：通過組織日常生活中的材料，喚起學(xué)

生自身具有的、潛在的感性經(jīng)驗(yàn)，來理解概念的具體含義。

(2)反例變式、增刪變式。反例變式即改變一些能混淆概念外延

的屬性，主要是在學(xué)生面對(duì)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)定義時(shí)，不能透徹理解概念內(nèi)

涵的情況下采用；增刪變式是改變概念的外延，例如，從相似性入手,

引入相似三角形的概念。

(3)非標(biāo)準(zhǔn)形式變式。既然數(shù)學(xué)概念都包含清晰的外延，掌握一

個(gè)概念就意味著能夠分辨一個(gè)對(duì)象是否屬于概念的外延集合。但對(duì)于

一些對(duì)象，學(xué)生易受到感性經(jīng)驗(yàn)的影響，定勢(shì)于某種相關(guān)概念的標(biāo)準(zhǔn)

形式。因此，教概念的一種有效途徑就是通過同化不同變式的共同屬

性而突出概念的本質(zhì)屬性。非標(biāo)準(zhǔn)形式變式可以歸納為三種變化：①

變圖形。如三角形的高的概念，不僅要有銳角三角形的，也要變式到

鈍角三角形、直角三角形，頂角、底角的概念也是如此。②變數(shù)據(jù)。

有時(shí)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)圖形的誤導(dǎo)或理解的偏差，學(xué)生自覺或不自覺地?cái)U(kuò)大、

縮小概念的外延。這時(shí)，可聚焦數(shù)據(jù)，用變換數(shù)據(jù)的辦法彌補(bǔ)。如扇

形、弓形的概念，有的學(xué)生以為半圓以及超出半圓（圓心角大于180

度）的扇形、弓形就不屬于扇形、弓形范疇，那么我們就需要通過變

換角度數(shù)來澄清、辨別。③變文字。利用等價(jià)條件來替換已知全部條

件或部分條件，以拓展學(xué)生對(duì)題意的理解。如等價(jià)替換“有一個(gè)角是

直角，有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形”，文字可變成：既是

矩形又是菱形的四邊形是正方形;對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊

形是正方形；有三個(gè)角是直角且四條邊相等的四邊形是正方形；對(duì)角

線互相垂直、相等、互相平分的四邊形是正方形。相反數(shù)、絕對(duì)值、

方程、函數(shù)概念也都有多種表述。

3在操作活動(dòng)中明確和理解概念（更多用于幾何）

在學(xué)習(xí)獲得數(shù)學(xué)概念之后，可要求學(xué)生根據(jù)自己的理解用不同的

方式（畫、折、剪、拼）重現(xiàn)概念，進(jìn)一步豐富學(xué)習(xí)對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)。

案例：畫垂線

在有了垂直的概念之后，可以讓學(xué)生進(jìn)行下面的活動(dòng)：

⑴你能借助三角尺畫出兩條互相垂直的直線嗎？

⑵如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?

pm

圖心圖Y⑶利用下面的方法可以折

出互相垂直的線，試試看！

口口口

圖4-29

試用量角器量出折痕所成角的度數(shù)，并與同伴討論這種折法的合

理性。

問題的設(shè)置由易到難，由直觀畫圖到需要理性的思考，操作過程

始終抓住“為什么”，在學(xué)生思考和表述的過程中增進(jìn)了對(duì)垂直的認(rèn)

識(shí)。

4在模型的認(rèn)識(shí)中明確和理解概念

對(duì)數(shù)學(xué)模型尤其是重要的數(shù)學(xué)模型，我們不能僅僅關(guān)注如何利

用模型去解決實(shí)際問題，首先要關(guān)注對(duì)模型本身的認(rèn)識(shí)，這樣才能

在教學(xué)中準(zhǔn)確把握。同樣，如果一個(gè)新概念本身就是一個(gè)重要的數(shù)

學(xué)模型，那么在新概念引入過程中以及其后，應(yīng)關(guān)注對(duì)模型本身的

認(rèn)識(shí)。

如方程，它是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以幫助

人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。

因此，在方程的學(xué)習(xí)中，應(yīng)關(guān)注建模和應(yīng)用過程，以培養(yǎng)學(xué)生良好

的方程觀念等，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，這些應(yīng)是方程教學(xué)的最

重要的目標(biāo)。

方程觀念是什么？目前沒有一致公認(rèn)的說法。但可以肯定的是，

方程的觀念絕不僅僅是方程的求解。張奠宙先生指出：方程觀念的

核心是對(duì)某些實(shí)際問題創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情景，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，列出方程求

解。學(xué)習(xí)方程，難就難在用方程的“觀點(diǎn)”去分析問題，用數(shù)學(xué)思

想構(gòu)造模型，而不在解方程。因此方程觀念可以說是通過方程和方

程組來溝通已知和未知的聯(lián)系，從而使問題獲得解決的思想方法，

也是一種數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立方程模型——解方程——解釋”

的全過程，從“問題情境——建立方程模型”目的是讓學(xué)生體會(huì)方

程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，這是方程觀念的首要方

面。

案例：方程的引入

為了體現(xiàn)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型及次方程在表

示和解決實(shí)際問題中的重要作用，在學(xué)習(xí)具體方程內(nèi)容之前，可以通

過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生首先體會(huì)方程模型的思想：

情境1：小彬的年齡乘2減5等于21,那么小彬今年幾歲？

如果設(shè)小彬的年齡為x歲，那么可以得到等

工C:0

情境2：小穎種了一株樹苗，開始時(shí)樹苗高為40厘米，栽種后每周

樹苗長(zhǎng)高約5厘米，大約幾周后樹苗長(zhǎng)高到1米？

如果設(shè)X周后樹苗長(zhǎng)高到1米，那么可以得到等

式：0

情境3：甲乙兩地相距22千米，小明從甲地出發(fā)到乙地，每小時(shí)比

原計(jì)劃多行走1千米，因此提前12分鐘到達(dá)乙地，小明原計(jì)劃每小

時(shí)行走多少千米？

設(shè)小明原計(jì)劃每小時(shí)行走x千米，可以得到等

式：0

情境4：截至2000年11月1日0時(shí)，全國(guó)每10萬人中具有大學(xué)文

化程度的人數(shù)為3611人,比1990年7月1日0時(shí)增長(zhǎng)了153.94%。

1990年6月底每10萬人中約有多少人具有大學(xué)文化程度？

設(shè)1990年6月底每10萬人中約有x人具有大學(xué)文化程度,可以得到

等式：o(可能有學(xué)生得到：^1=1+153.94%)

X

情境5：某長(zhǎng)方形足球場(chǎng)的面積是5850平方米，長(zhǎng)和寬之差為25米,

這個(gè)足球場(chǎng)的長(zhǎng)與寬分別是多少米？

如果設(shè)這個(gè)足球場(chǎng)的寬為x米，那么長(zhǎng)為(x+25)米。由此可以得到等

式：。

上面的2x-5=21，40+5%=100，--------=0.5

XX+1

x(l+153.94%)=3611,x(x+25)=5850,這些含有未知數(shù)的等式都是方程

(equation),,使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的

解。

(三)概念的應(yīng)用

概念的獲得，還不能離開概念的應(yīng)用，只有達(dá)到對(duì)概念的應(yīng)用水

平，才能認(rèn)為是掌握和鞏固了概念。

1.概念應(yīng)用的形式

(1)根據(jù)概念填空。

(2)應(yīng)用概念進(jìn)行判斷。

(3)應(yīng)用概念進(jìn)行推理。

(4)應(yīng)用概念解決問題。

2.概念應(yīng)用的水平

從內(nèi)容緯度來分，可分為數(shù)學(xué)上的應(yīng)用和實(shí)際上(包括相鄰學(xué)科)

的應(yīng)用。從難度緯度來分，心理學(xué)上將概念的應(yīng)用分為知覺水平上的

應(yīng)用和思維水平上的應(yīng)用。所謂知覺水平上應(yīng)用，指學(xué)生獲得同類事

物的概念以后，當(dāng)遇到這類事物的特例時(shí)，就能立即把它看作是這類

事物中的具體例子，將其歸入一定的知覺類型。概念在思維水平上應(yīng)

用，指學(xué)生學(xué)習(xí)的新概念被類屬于包攝水平較高的原有概念中，因而

新概念的應(yīng)用必須對(duì)原有概念進(jìn)行重新組織和加工，以滿足解當(dāng)前問

題的需要。對(duì)數(shù)學(xué)概念來說，知覺水平上的應(yīng)用就相當(dāng)于相關(guān)基礎(chǔ)知

識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而思維水平上的應(yīng)用相當(dāng)于一定的變式或拓展。這兩

種水平上的應(yīng)用都是必須的。

案例：平行條件的應(yīng)用(濟(jì)南第二十七中學(xué)褚愛華)

1.圖中各角分別滿足下列條件時(shí)，你能判斷哪兩條直線平行嗎？

mb

n

1

(1)Z1=Z4；(2)Z2=Z4；(3)Z1+Z3-1800

(a//b.l//m.l//n.)

2.小明有一塊小畫板，他想知道它的上下邊緣是否平行，你能幫

幫他嗎？

小明只有一個(gè)量角器，他通過測(cè)量某些角的大小就能知道這個(gè)畫

板的上下邊緣是否平行，你知道他是怎樣做的嗎?

方案1：用Nl、Z4；或N2、Z3；

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

方案2：用Nl、Z3；或N2、N4；

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

從內(nèi)容維度來看，案例中的問題1屬于數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，而問題2

屬于實(shí)際上的應(yīng)用。

從難度維度來看，案例中問題1屬于知覺水平的應(yīng)用，而問題2

屬于思維水平的應(yīng)用。

3.概念應(yīng)用應(yīng)注意的問題

教學(xué)中主要是通過練習(xí)達(dá)到概念應(yīng)用的目的。練習(xí)時(shí)需要注意以

下幾點(diǎn)：

(1)練習(xí)的目的要明確。在練習(xí)時(shí)必須明確每項(xiàng)練習(xí)的目的，使

每項(xiàng)練習(xí)都突出重點(diǎn)，充分體現(xiàn)練習(xí)的意圖，做到有的放矢，使練習(xí)

真正有助于學(xué)生理解新學(xué)概念，有利于發(fā)展學(xué)生的思維。如為了幫助

學(xué)生鞏固新學(xué)概念和形成基本技能，可以設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)；為了幫助

學(xué)生克服定式的干擾，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延，可以設(shè)計(jì)變式

練習(xí)；為了幫助學(xué)生分清容易混淆的概念，可以設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)；為了

幫助學(xué)生擴(kuò)展知識(shí)的應(yīng)用范圍，加深學(xué)生對(duì)新學(xué)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)

生的創(chuàng)造性思維，可以設(shè)計(jì)開放性練習(xí)；為了幫助學(xué)生溝通新學(xué)概念

與其他知識(shí)的橫向、縱向聯(lián)系，促進(jìn)概念系統(tǒng)的形成，培養(yǎng)學(xué)生綜合

運(yùn)用知識(shí)的能力，可以設(shè)計(jì)綜合性練習(xí)等。

（2）練習(xí)的層次要清楚。學(xué)生認(rèn)識(shí)事物往往不能一次完成，需要

一個(gè)逐步深化和提高的過程。因此練習(xí)時(shí)要按照由簡(jiǎn)到繁、由易到難、

由淺入深的原則，逐步加深練習(xí)的難度。

①基本練習(xí)，在剛學(xué)完新課之后的單項(xiàng)的、帶有模仿性的練習(xí)，

它可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

②發(fā)展練習(xí)，在學(xué)生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之

后的練習(xí)，它可以幫助學(xué)生形成熟練的技能技巧。

③綜合練習(xí)，可以使學(xué)生進(jìn)一步深化概念，提高解題的靈活性，

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)現(xiàn)由技能到能力的轉(zhuǎn)化。

案例：同類二次根式

基本練習(xí)：下列各組二次根式中，同類二次根式是（）

A-V6,3V2;B3V5,V15;C-V12,J-;D返,J，.

32V3V3

發(fā)展練習(xí)：請(qǐng)你寫出一個(gè)二次根式使它與屈為同類二次根式。

綜合練習(xí)：如果最簡(jiǎn)二次根式3“即4a+3力和中2a+46+1是同類根

式，求a、b的值。

（3）要注意引導(dǎo)學(xué)生形成概念體系。數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)

科，任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都存在于一定的體系之中，并與其它有關(guān)概念

有著區(qū)別與聯(lián)系。因此在進(jìn)行概念應(yīng)用的教學(xué)時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生將

所獲得的每一新概念及時(shí)地納入相應(yīng)的概念體系，這樣新舊概念才能

融會(huì)貫通，才能真正透徹地理解新概念，才能使相關(guān)聯(lián)的概念形成概

念體系。這樣做也有利于學(xué)生所獲得的概念的保持與運(yùn)用，有利于學(xué)

生概念體系的形成，有利于學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的形成。

三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本模式

(-)概念同化教學(xué)模式

以定義的形式給出，由學(xué)生主動(dòng)地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)

概念相互聯(lián)系、相互作用以領(lǐng)會(huì)它的意義，從而獲得新概念，這種獲

得概念的方式叫做概念同化。該模式被稱為“是學(xué)生獲得概念的最基

本方式”。采用這種模式教學(xué)過程簡(jiǎn)明，使學(xué)生能夠比較直接的學(xué)習(xí)

概念，是一種省時(shí)，省力，見效快的概念教學(xué)模式。該模式的基本操

作步驟如下：

(1)揭示本質(zhì)屬性。給出概念的定義、名稱和符號(hào)，揭示概念

的本質(zhì)屬性。例如，學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念，先學(xué)習(xí)它的定義：“如果

y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),aWO),那么y叫做x的二次函數(shù)?！?/p>

(2)討論特例。對(duì)概念進(jìn)行特殊分類，討論各種特例，突出概念

的本質(zhì)屬性。例如，二次函數(shù)的特例是：y=ax>y=ax，c,y=ax2+bx

等。

(3)新舊概念聯(lián)系o使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立聯(lián)

系，把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，同化新概念。例如，把二次

函數(shù)與一次函數(shù)、函數(shù)等聯(lián)系起來，把它納入到函數(shù)概念體系中。

(4)實(shí)例辨認(rèn)。辨認(rèn)肯定例證和否定例證，確認(rèn)新概念的本質(zhì)屬

性，使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念精確分化。例如，舉出

y=2x?+3,y=3x2-x+5,y=-2x2-4等讓學(xué)生辨認(rèn)。

(5)具體運(yùn)用。通過各種形式運(yùn)用概念，加深對(duì)新概念的理解,

使有關(guān)概念融會(huì)貫通成整體結(jié)構(gòu)。

(二)概念形成教學(xué)模式

通過對(duì)概念所反映的事物的不同例子中，讓學(xué)生積極主動(dòng)地去發(fā)

現(xiàn)其本質(zhì)屬性，從而形成新概念，這種獲得概念的方式叫概念形成。

概念形成也就是學(xué)生通過觀察同類事物中許多不同的例子，以歸納的

方式抽象出這類事物的本質(zhì)屬性而獲得新概念。這一模式的主要操作

步驟為：

(1)觀察實(shí)例。觀察數(shù)學(xué)概念的各種不同的肯定例證，可以是日

常生活中的經(jīng)驗(yàn)或事物，也可以是教師提供的典型事例。

(2)分析共同屬性，分析所觀察實(shí)例的屬性，通過比較得出各實(shí)

例的共同屬性。

(3)抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的

假設(shè)。

(4)確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過比較肯定例證和否定例證檢驗(yàn)假設(shè)，

確認(rèn)本質(zhì)屬性。

(5)概括定義。在驗(yàn)證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實(shí)例中抽象出本

質(zhì)屬性，推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。

(6)符號(hào)表示。

(7)具體運(yùn)用。通過舉出概念的實(shí)例，在一類事物中辯認(rèn)出概

念，或運(yùn)用概念解答數(shù)學(xué)問題，使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概

念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系

中。

這一模式在目前的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中有較大的影響,較之同化模式

它強(qiáng)調(diào)了概念的來龍去脈；強(qiáng)調(diào)了概念體系；強(qiáng)調(diào)了對(duì)概念學(xué)習(xí)過程

的認(rèn)識(shí)。

(三)APOS概念教學(xué)理論模型

這一模型是由美國(guó)的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中發(fā)展起來

的一種數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，其理論基礎(chǔ)是建構(gòu)主義教學(xué)理論，在我國(guó)

尚屬推薦階段。該模型強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)中學(xué)生要積極主動(dòng)建構(gòu),并要經(jīng)

歷以下四個(gè)階段：(1)活動(dòng)(Action)階段：理解概念需要進(jìn)行活動(dòng)；

⑵過程(Process)階段：對(duì)概念的操作綜合成概念過程；(3)對(duì)象

(Object)階段：過程階段后可把概念上升為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象來處理;

(4)圖式(Scheme)階段：此時(shí)的數(shù)學(xué)概念，以一種綜合的心理圖式而

存在于腦海中,在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有特定的地位。這一心理圖式含

有具體的概念實(shí)例、抽象的過程、完整的定義及和其它概念的區(qū)別和

聯(lián)系。

案例：平面直角坐標(biāo)系

活動(dòng)階段-----創(chuàng)設(shè)情境，確定位置

過程階段------問題聚焦：平面上點(diǎn)的位置的確定

對(duì)多階段------對(duì)直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)：點(diǎn)*=＞坐標(biāo)

V

圖式階段-----建立綜合心理圖式：現(xiàn)實(shí)生活中直角坐標(biāo)系思想的

應(yīng)用也U如進(jìn)電影院找座位、到公園找景點(diǎn)等）、直角坐標(biāo)系的作用

度！J畫平面上點(diǎn)的位置）、在直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的過程及其與數(shù)軸

的區(qū)別和聯(lián)系等等.

從此案例中，我們可以發(fā)現(xiàn)APOS概念教學(xué)理論模型與其他兩種

教學(xué)模式的最明顯區(qū)別是它更為強(qiáng)調(diào)學(xué)生的活動(dòng)體驗(yàn)過程，而不是抽

象的過程，更為強(qiáng)調(diào)概念的全面理解，而不是概念的邏輯結(jié)構(gòu)。

四、案例評(píng)析

案例：三角形角平分線

師：本節(jié)課我們來學(xué)習(xí)三角形中的一些重要線段，請(qǐng)大家打開教

材143頁，找到三角形角平分線的定義，齊聲朗誦三遍。

生（齊讀）：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交,

這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

師：我們接著學(xué)習(xí)三角形的中線，請(qǐng)大家看教材第143頁，把三

角形中線的定義齊聲朗誦三遍。

生（齊讀）：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫

做這個(gè)三角形的中線。

師：今天我們學(xué)習(xí)了三角形的角平分線和中線，它們是三角形中

的兩種非常重要的線段。請(qǐng)大家再一次齊聲朗誦它們的定