2018上海市青浦區(qū)高考數學一模的試卷

...wd......wd......wd...2018年上海市青浦區(qū)高考數學一模試卷一.填空題〔本大題總分值54分〕本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得分，否那么一律得零分.1．〔4分〕設全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么P∩CUM．2．〔4分〕復數〔i為虛數單位〕，那么=．3．〔4分〕不等式2＞〔〕3〔x﹣1〕的解集為．4．〔4分〕函數f〔x〕=sinxcosx+cos2x的最大值為．5．〔4分〕在平面直角坐標系xOy中，以直線y=±2x為漸近線，且經過橢圓x2+=1右頂點的雙曲線的方程是．6．〔4分〕將圓錐的側面展開后得到一個半徑為2的半圓，那么此圓錐的體積為．7．〔5分〕設等差數列{an}的公差d不為0，a1=9d．假設ak是a1與a2k的等比中項，那么k=．8．〔5分〕〔1+2x〕6展開式的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為b，那么=．9．〔5分〕同時擲兩枚質地均勻的骰子，那么兩個點數之積不小于4的概率為．10．〔5分〕函數f〔x〕=有三個不同的零點，那么實數a的取值范圍是．11．〔5分〕Sn為數列{an}的前n項和，a1=a2=1，平面內三個不共線的向量，，，滿足=〔an﹣1+an+1〕+〔1﹣an〕，n≥2，n∈N*，假設A，B，C在同一直線上，那么S2018=．12．〔5分〕函數f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕和g〔x〕=3x﹣3同時滿足以下兩個條件：①對任意實數x都有f〔x〕＜0或g〔x〕＜0；②總存在x0∈〔﹣∞，﹣2〕，使f〔x0〕g〔x0〕＜0成立．那么m的取值范圍是．二.選擇題〔本大題總分值20分〕本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否那么一律得零分.13．〔5分〕“a＞b〞是“〔〕2＞ab〞成立的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件14．〔5分〕函數f〔x〕=2sin〔x+〕，假設對任意實數x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，那么|x2﹣x1|的最小值是〔〕A．π B．2π C．2 D．415．〔5分〕和是互相垂直的單位向量，向量滿足：，，n∈N*，設θn為和的夾角，那么〔〕A．θn隨著n的增大而增大B．θn隨著n的增大而減小C．隨著n的增大，θn先增大后減小D．隨著n的增大，θn先減小后增大16．〔5分〕在平面直角坐標系xOy中，兩圓C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又點A坐標為〔3，﹣1〕，M、N是C1上的動點，Q為C2上的動點，那么四邊形AMQN能構成矩形的個數為〔〕A．0個 B．2個 C．4個 D．無數個三．解答題〔本大題總分值76分〕本大題共有5題，解答以下各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17．〔14分〕如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中點．〔1〕求三棱錐P﹣ABC的體積；〔2〕求異面直線EC和AD所成的角〔結果用反三角函數值表示〕．18．〔14分〕拋物線C：y2=2px過點P〔1，1〕．過點〔0，〕作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點．〔1〕求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；〔2〕求證：A為線段BM的中點．19．〔14分〕如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2千米處．〔1〕保安甲沿CA從值班室出發(fā)行至點P處，此時PC=1，求PB的距離；〔2〕保安甲沿CA從值班室C出發(fā)前往值班室A，保安乙沿AB從值班室A出發(fā)前往值班室B，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時，假設甲乙兩人通過對講機聯系，對講機在廠區(qū)內的最大通話距離為3千米〔含3千米〕，試問有多長時間兩人不能通話20．〔16分〕設集合A，B均為實數集R的子集，記A+B={a+b|a∈A，b∈B}．〔1〕A={0，1，2}，B={﹣1，3}，試用列舉法表示A+B；〔2〕設a1=，當n∈N*且n≥2時，曲線+=的焦距為an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，設A+B中的所有元素之和為Sn，求Sn的值；〔3〕在〔2〕的條件下，對于滿足m+n=3k，且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求實數λ的最大值．21．〔18分〕對于定義在[0，+∞〕上的函數f〔x〕，假設函數y=f〔x〕﹣〔ax+b〕滿足：①在區(qū)間[0，+∞〕上單調遞減，②存在常數p，使其值域為〔0，p]，那么稱函數g〔x〕=ax+b是函數f〔x〕的“逼進函數〞．〔1〕判斷函數g〔x〕=2x+5是不是函數f〔x〕=，x∈[0，+∞〕的“逼進函數〞；〔2〕求證：函數g〔x〕=x不是函數f〔x〕=〔〕x，x∈[0，+∞〕的“逼進函數〞〔3〕假設g〔x〕=ax是函數f〔x〕=x+，x∈[0，+∞〕的“逼進函數〞，求a的值．2018年上海市青浦區(qū)高考數學一模試卷參考答案與試題解析一.填空題〔本大題總分值54分〕本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得分，否那么一律得零分.1．〔4分〕設全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么P∩CUM{﹣2，﹣1，0}．【解答】解：CUM={﹣2，﹣1，0}，故P∩CUM={﹣2，﹣1，0}故答案為：{﹣2，﹣1，0}2．〔4分〕復數〔i為虛數單位〕，那么=．【解答】解：復數==，∴=，∴=?==，故答案為．3．〔4分〕不等式2＞〔〕3〔x﹣1〕的解集為〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．【解答】解：不等式2＞〔〕3〔x﹣1〕化為2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集為〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．故答案為：〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．4．〔4分〕函數f〔x〕=sinxcosx+cos2x的最大值為．【解答】解：函數f〔x〕=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin〔2x+〕+，當2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函數取得最大值1+=，故答案為：．5．〔4分〕在平面直角坐標系xOy中，以直線y=±2x為漸近線，且經過橢圓x2+=1右頂點的雙曲線的方程是x2﹣=1．【解答】解：設以直線y=±2x為漸近線的雙曲線的方程為x2﹣=λ〔λ≠0〕，∵雙曲線橢圓x2+=1右頂點〔1，0〕，∴1=λ，∴雙曲線方程為：x2﹣=1．故答案為：x2﹣=1．6．〔4分〕將圓錐的側面展開后得到一個半徑為2的半圓，那么此圓錐的體積為．【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，那么2πr=2π，∴r=1．∴圓錐的高h=．∴圓錐的體積V==．故答案為：．7．〔5分〕設等差數列{an}的公差d不為0，a1=9d．假設ak是a1與a2k的等比中項，那么k=4．【解答】解：因為ak是a1與a2k的等比中項，那么ak2=a1a2k，[9d+〔k﹣1〕d]2=9d?[9d+〔2k﹣1〕d]，又d≠0，那么k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2〔舍去〕．故答案為：4．8．〔5分〕〔1+2x〕6展開式的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為b，那么=12．【解答】解：由題意可得a==20，再根據，解得，即≤r≤，∴r=4，此時b=×24=240；∴==12．故答案為：12．9．〔5分〕同時擲兩枚質地均勻的骰子，那么兩個點數之積不小于4的概率為．【解答】解：同時擲兩枚質地均勻的骰子，基本領件總數n=6×6=36，兩個點數之積小于4包含的基本領件〔a，b〕有：〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，1〕，〔1，3〕，〔3，1〕，共5個，∴兩個點數之積不小于4的概率為p=1﹣=．故答案為：．10．〔5分〕函數f〔x〕=有三個不同的零點，那么實數a的取值范圍是[1，+∞〕．【解答】解：由題意可知：函數圖象的左半局部為單調遞增對數函數的局部，函數圖象的右半局部為開口向上的拋物線，對稱軸為x=，最多兩個零點，如上圖，要滿足題意，必須指數函數的局部向下平移到與x軸相交，由對數函數過點〔1，0〕，故需左移至少1個單位，故a≥1，還需保證拋物線與x軸由兩個交點，故最低點＜0，解得a＜0或a＞，綜合可得：a≥1，故答案為：[1，+∞〕．11．〔5分〕Sn為數列{an}的前n項和，a1=a2=1，平面內三個不共線的向量，，，滿足=〔an﹣1+an+1〕+〔1﹣an〕，n≥2，n∈N*，假設A，B，C在同一直線上，那么S2018=2．【解答】解：假設A，B，C三點共線，那么=x+〔1﹣x〕，∴根據條件“平面內三個不共線的向量，，，滿足=〔an﹣1+an+1〕+〔1﹣an〕，n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直線上，〞得出an﹣1+an+1+1﹣an=1，∴an﹣1+an+1=an，∵Sn為數列{an}的前n項和，a1=a2=1，∴數列{an}為：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即數列{an}是以6為周期的周期數列，前6項為1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×〔1+1+0﹣1﹣1+0〕+1+1=2．故答案為：2．12．〔5分〕函數f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕和g〔x〕=3x﹣3同時滿足以下兩個條件：①對任意實數x都有f〔x〕＜0或g〔x〕＜0；②總存在x0∈〔﹣∞，﹣2〕，使f〔x0〕g〔x0〕＜0成立．那么m的取值范圍是〔﹣3，﹣2〕．【解答】解：對于①∵g〔x〕=3x﹣3，當x＜1時，g〔x〕＜0，又∵①?x∈R，f〔x〕＜0或g〔x〕＜0∴f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕＜0在x≥1時恒成立那么由二次函數的性質可知開口只能向下，且二次函數與x軸交點都在〔1，0〕的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈〔﹣∞，﹣2〕，f〔x〕g〔x〕＜0∴此時g〔x〕=3x﹣3＜0恒成立∴f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕＞0在x∈〔﹣∞，﹣2〕有成立的可能，那么只要﹣2比x1，x2中的較小的根大即可，〔i〕當﹣1＜m＜0時，較小的根為﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，〔ii〕當m=﹣1時，兩個根同為﹣1＞﹣3，不成立，〔iii〕當﹣3＜m＜﹣1時，較小的根為m，即m＜﹣2成立．綜上可得①②成立時﹣3＜m＜﹣2．故答案為：〔﹣3，﹣2〕．二.選擇題〔本大題總分值20分〕本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否那么一律得零分.13．〔5分〕“a＞b〞是“〔〕2＞ab〞成立的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解答】解：由〔〕2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，那么a2﹣2ab+b2＞0，即〔a﹣b〕2＞0，那么a≠b，那么“a＞b〞是“〔〕2＞ab〞成立的充分不必要條件，應選：A．14．〔5分〕函數f〔x〕=2sin〔x+〕，假設對任意實數x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，那么|x2﹣x1|的最小值是〔〕A．π B．2π C．2 D．4【解答】解：對于函數f〔x〕=2sin〔x+〕，假設對任意實數x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，那么|x2﹣x1|的最小值為函數f〔x〕的半個周期，即===2，應選：C．15．〔5分〕和是互相垂直的單位向量，向量滿足：，，n∈N*，設θn為和的夾角，那么〔〕A．θn隨著n的增大而增大B．θn隨著n的增大而減小C．隨著n的增大，θn先增大后減小D．隨著n的增大，θn先減小后增大【解答】解：分別以和所在的直線為x軸，y軸建設坐標系，那么=〔1，0〕，=〔0，1〕，設=〔xn，yn〕，∵，，n∈N*，∴xn=n，yn=2n+1，n∈N*，∴=〔n，2n+1〕，n∈N*，∵θn為和的夾角，∴tanθn===2+∴y=tanθn為減函數，∴θn隨著n的增大而減?。畱x：B．16．〔5分〕在平面直角坐標系xOy中，兩圓C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又點A坐標為〔3，﹣1〕，M、N是C1上的動點，Q為C2上的動點，那么四邊形AMQN能構成矩形的個數為〔〕A．0個 B．2個 C．4個 D．無數個【解答】解：如以以下圖，任取圓C2上一點Q，以AQ為直徑畫圓，交圓C1與M、N兩點，那么四邊形AMQN能構成矩形，由作圖知，四邊形AMQN能構成矩形的個數為無數個．應選：D．三．解答題〔本大題總分值76分〕本大題共有5題，解答以下各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17．〔14分〕如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中點．〔1〕求三棱錐P﹣ABC的體積；〔2〕求異面直線EC和AD所成的角〔結果用反三角函數值表示〕．【解答】解：〔1〕∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，∴S△ABC==1．故VP﹣ABC==．〔2〕∵BC∥AD，∴∠ECB或其補角為異面直線EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴異面直線EC和AD所成的角是arctan．18．〔14分〕拋物線C：y2=2px過點P〔1，1〕．過點〔0，〕作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點．〔1〕求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；〔2〕求證：A為線段BM的中點．【解答】解：〔1〕∵y2=2px過點P〔1，1〕，∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦點坐標為〔，0〕，準線為x=﹣，〔2〕證明：設過點〔0，〕的直線方程為y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，∴直線OP為y=x，直線ON為：y=x，由題意知A〔x1，x1〕，B〔x1，〕，由，可得k2x2+〔k﹣1〕x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+〔1﹣k〕?2x1=2x1，∴A為線段BM的中點．19．〔14分〕如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2千米處．〔1〕保安甲沿CA從值班室出發(fā)行至點P處，此時PC=1，求PB的距離；〔2〕保安甲沿CA從值班室C出發(fā)前往值班室A，保安乙沿AB從值班室A出發(fā)前往值班室B，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時，假設甲乙兩人通過對講機聯系，對講機在廠區(qū)內的最大通話距離為3千米〔含3千米〕，試問有多長時間兩人不能通話【解答】解：〔1〕在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC?PCcos30°=〔2〕2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；〔2〕在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，設甲出發(fā)后的時間為t小時，那么由題意可知0≤t≤4，設甲在線段CA上的位置為點M，那么AM=4﹣t，①當0≤t≤1時，設乙在線段AB上的位置為點Q，那么AQ=2t，如以以下圖，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=〔4﹣t〕2+〔2t〕2﹣2?2t?〔4﹣t〕cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②當1≤t≤4時，乙在值班室B處，在△ABM中，由余弦定理得MB2=〔4﹣t〕2+4﹣2?2t?〔4﹣t〕cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合題意舍去．綜上所述0≤t≤時，甲乙間的距離大于3千米，所以兩人不能通話的時間為小時．20．〔16分〕設集合A，B均為實數集R的子集，記A+B={a+b|a∈A，b∈B}．〔1〕A={0，1，2}，B={﹣1，3}，試用列舉法表示A+B；〔2〕設a1=，當n∈N*且n≥2時，曲線+=的焦距為an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，設A+B中的所有元素之和為Sn，求Sn的值；〔3〕在〔2〕的條件下，對于滿足m+n=3k，且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求實數λ的最大值．【解答】解：〔1〕∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；當A={0，1，2}，B={﹣1，3}時，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；〔2〕曲線+=，即﹣=，在n≥2時表示雙曲線，故an=2=n，∴a1+a2+a3+…+an=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和為Sn=3〔a1+a2+a3+…+an〕+n〔﹣﹣﹣〕=3?+n〔﹣﹣﹣〕