高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練11費馬教師版

專題11費馬一、單選題1．十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對隨意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程沒有正整數(shù)解”，閱歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（

）A．對隨意正整數(shù)n，關(guān)于x，y，z的方程都沒有正整數(shù)解B．對隨意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解【答案】D【解析】【分析】依據(jù)命題的否定形式，干脆寫出命題的否定即可【詳解】命題的否定形式為，原命題的題設(shè)不變，結(jié)論改否定；故只有D滿意題意；故選：D2．費馬數(shù)是以法國數(shù)學(xué)家費馬命名的一組自然數(shù)，具有形式為記做，其中為非負(fù)數(shù)．費馬對，，，，的情形做了檢驗，發(fā)覺這組費馬公式得到的數(shù)都是素數(shù)，便提出猜想：費馬數(shù)是質(zhì)數(shù)．直到年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺為合數(shù)，宣布費馬猜想不成立．?dāng)?shù)列滿意，則數(shù)列的前項和滿意的最小自然數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得到，利用等比數(shù)列的前項和公式求得，進而求得的最小自然數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，可得數(shù)列滿意，利用等比數(shù)列的前項和公式，可得數(shù)列的前項和，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，又由，所以單調(diào)遞增，所以的最小自然數(shù)為.故選：B.3．費馬小定理：若是質(zhì)數(shù)，且，互質(zhì)，那么的次方除以所得的余數(shù)恒等于1．依此定理，若在數(shù)集中任取兩個數(shù)，其中一個作為，另一個作為，則所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】樣本點表示，，余類推，則樣本空間，共有12個樣本點．記事務(wù)表示“所取的兩個數(shù)符合費馬小定理”，則事務(wù)所含的樣本點為，，，，，，，共7個．所以所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的概率．故選：A．4．皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)做出了重大貢獻．其中在1636年發(fā)覺了：若是質(zhì)數(shù)，且整數(shù)與互質(zhì)，那么的次方除以的余數(shù)恒為1．后來人們稱之為費馬小定理．以此定理，若在數(shù)集中任取兩個數(shù)，其中一個作為，另一個作為，則所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用列舉法求出所取兩個數(shù)全部結(jié)果，在選取符合費馬小定理包含的基本領(lǐng)件個的個數(shù)，由此能求出所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率．【詳解】解：在數(shù)集中任取兩個數(shù)，其中一個作為，另一個作為，基本領(lǐng)件總數(shù)有，所取兩個數(shù)符合費馬小定理包含的基本領(lǐng)件有：，，共3個，所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為．故選：C．5．?dāng)?shù)學(xué)家也有很多漂亮的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了(n＝0,1,2，…)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被擅長計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，表示數(shù)列的前項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系求得通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果．【詳解】因為(n＝0,1,2，…)，所以，所以{an}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，所以Sn＝＝2n－1所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，故選：B6．點在所在平面內(nèi)一點，當(dāng)取到最小值時，則稱該點為的“費馬點”.當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，費馬點滿意如下特征：.如圖，在中，，，則其費馬點到三點的距離之和為（

）A．4 B．2C． D．【答案】A【解析】【分析】可依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及余弦定理即可進行求解．【詳解】依據(jù)題意，為等腰三角形，，，在中，由余弦定理可得：，即，解得：，在中，由余弦定理可得：，即，解得：，，其費馬點到，，三點距離之和為4．故選：A7．馬林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家．他在歐幾里得、費馬等人探討的基礎(chǔ)上深化地探討了型的數(shù)．人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如(其中是素數(shù))的素數(shù)，稱為梅森素數(shù)．在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】列舉法找出全部不超過20的素數(shù)和梅森素數(shù)，求出隨機取兩個數(shù)的種數(shù)，求出至少有一個為梅森素數(shù)的種數(shù)，即可得出概率..【詳解】可知不超過20的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，共8個，其中梅森素數(shù)有3，7共2個則在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)共有種，其中至少有一個為梅森素數(shù)有種，所以至少有一個為梅森素數(shù)的概率是.故選：C.【點睛】易錯點睛：（1）素數(shù)的定義：1不是素數(shù)也不是合數(shù)，2是素數(shù).（2）梅森素數(shù)即是在素數(shù)中符合的數(shù).8．皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)界做出了重大貢獻，其中在1636年發(fā)覺了：若p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的次方除以p的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費馬小定理，依此定理若在數(shù)集中任取兩個數(shù)，以其中一個作為p，另一個作為a，則所取兩個數(shù)不符合費馬小定理的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先列舉出全部的總數(shù)，依據(jù)費馬小定理找出兩個數(shù)符合費馬小定理的個數(shù)，求出兩個數(shù)符合費馬小定理的概率，再對立事務(wù)的概率的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】解：數(shù)集中，質(zhì)數(shù)的2，3，5，7，當(dāng)時，可以取3，5，7，共3種，當(dāng)時，可以取2，4，5，7，共4種，當(dāng)時，可以取2，3，4，6，7，共5種，當(dāng)時，可以取2，3，4，5，6，共5種，所以符合費馬小定理的狀況共有種，因為從中任取兩個數(shù)，且有序，共有種，所以所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為，所以所取兩個數(shù)不符合費馬小定理的概率為，故選：B9．概率論起源于博弈嬉戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金支配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?乙兩人進行博弈嬉戲每局競賽都能分出輸贏，沒有平局.雙方約定，各出賭金150枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但競賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.向這300枚金幣的賭金該如何支配？數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的學(xué)問，合理地給出了賭金支配方案.該支配方案是(

)A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚C．甲200枚，乙100枚 D．甲25枚，乙50枚【答案】B【解析】【分析】列舉出若嬉戲接著進行到結(jié)束的全部狀況，計算出甲乙各自勝出的概率，從而確定他們各自賭金的份額．【詳解】由題可知，對單獨每一局嬉戲，甲乙獲勝的概率均為.若嬉戲接著進行，最多再進行2局即可分出輸贏：①第四局甲贏，競賽結(jié)束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，競賽結(jié)束，甲勝出，概率為；③第四局乙贏，第五局乙贏，競賽結(jié)束，乙勝出，概率為；則甲勝出的概率為＋＝，則甲應(yīng)當(dāng)分得賭金的，即300×＝225枚，乙分得賭金75枚．故選：B．10．?dāng)?shù)學(xué)家也有很多漂亮的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出猜想：是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被擅長計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知條件可得，從而得，進而可求得，再由在上單調(diào)遞增，可求得答案【詳解】解：1，2，，由于，則，，因為在上單調(diào)遞增，，故．故選：B．11．費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°.依據(jù)以上性質(zhì)，已知，，，為內(nèi)一點，記，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由費馬點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，求出費馬點，再依據(jù)費馬點是與三角形三個頂點距離之和最小的點求出.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，由，，，知,且為銳角三角形，因此，費馬點M在線段上，設(shè)，如圖，則為頂角是120°的等腰三角形，故，所以，則的最小值為.故選：B12．費馬數(shù)列是以數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中．例如．因為．所以的整數(shù)部分是1位數(shù)；因為，所以的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（

）（）A．240 B．600 C．1200 D．2400【答案】D【解析】【分析】先表示出，作近似處理得，再取以10為底的對數(shù)化簡即可求解【詳解】由于，與1相比都特別大，所以，所以，故．又因為，的整數(shù)位數(shù)為位，所以的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位．故選：D．13．我們把叫“費馬數(shù)”（費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）．設(shè)，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求得，利用等比數(shù)列的求和公式可求得，利用分組求和法可求得，由已知條件可得出關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】，則，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則，所以，，由可得，，所以，即.故選：B.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可干脆求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.14．費馬數(shù)列是以數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中，例如．因為，所以的整數(shù)部分是1位數(shù)；因為，所以的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（）（

）A．240 B．600 C．900 D．1200【答案】D【解析】【分析】由的整數(shù)部分位數(shù)近似于的整數(shù)部分位數(shù)，對取對數(shù)，求得其近似值，再依據(jù)的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位求解.【詳解】因為與1相比都特別大，所以的整數(shù)部分位數(shù)近似于的整數(shù)部分位數(shù)，而，，，所以，而，因為的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位，所以的整數(shù)部分位數(shù)是1233位，的整數(shù)部分位數(shù)是1234位，所以的整數(shù)部分位數(shù)最接近1200位，即的整數(shù)部分位數(shù)最接近1200位，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位而得解.15．形如的數(shù)被稱為費馬數(shù)，費馬完成了,,,,的驗證后，于1640年提出猜想：費馬數(shù)都是質(zhì)數(shù)，但由于及之后的費馬數(shù)都實在太大了，費馬也未能完成驗證及證明.直到1732年才被數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù)，從而宣告了費馬數(shù)的猜想不成立.現(xiàn)設(shè)，若隨意，使不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．【答案】B【解析】【分析】由題知，，進而依據(jù)裂項求和得，進而依據(jù)不等式恒成立即可得答案.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以，因為，，所以所以，對隨意，使不等式恒成立，則.所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：B16．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬猜想形如“（）”是素數(shù)，我們稱為“費馬數(shù)”．設(shè)，，，數(shù)列與的前n項和分別為與，則下列不等關(guān)系確定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)題意求出，從而可求出與，再分析推斷即可【詳解】因為（），所以，所以，，當(dāng)時，，所以AB錯誤，因為，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，是以2為公差，2為首項的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此可得當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，明顯成立，假設(shè)當(dāng)（）時，成立，即，則當(dāng)時，，即，綜上，當(dāng)時，，所以，所以C錯誤，D正確，故選：D二、多選題17．費馬數(shù)是以數(shù)學(xué)家費馬命名的一組自然數(shù)，具有如下形式：（，1，2，…）．若，則（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最大項為C．?dāng)?shù)列的最小項為 D．?dāng)?shù)列的最小項為【答案】BD【解析】【分析】先求出，利用單調(diào)性求出最大項和最小項.【詳解】，因為函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以數(shù)列的最大項為，數(shù)列的最小項為．故選：BD18．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上隨意一點P（異于A，B兩點）向長軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說法正確的是（

）A．M的值與Р點在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小【答案】BD【解析】【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，求出和橢圓的離心率后，可得答案.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，則，所以，，，所以，因為為定值，所以M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)，故A不正確，B正確；橢圓的離心率，所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.故選：BD19．我們把()叫作“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】CD【解析】【分析】由題可得，利用等比數(shù)列得前n項和公式可得，利用分組求和可得，化簡不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】()，，，，，.當(dāng)時，左邊，不滿意題意；當(dāng)時，左邊，滿意題意，故最小正整數(shù)的值為9.故選：CD.20．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程，表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)．若從橢圓上隨意一點異于兩點）向長軸引垂線，垂足為，記，則（

）A．方程表示的橢圖的焦點落在軸上B．M的值與P點在橢圓上的位置無關(guān)C．D．M越來越小，橢圓越來越扁【答案】BD【解析】【分析】A.當(dāng)時，，所以橢圓的焦點在軸上，所以該選項錯誤；B.設(shè)，所以（常數(shù)），所以的值與點在橢圓上的位置無關(guān)，故B正確；C.離心率，所以選項C錯誤；D.M越來越小，橢圓的離心率越大，橢圓越來越扁，所以選項D正確.【詳解】解：A.由題得，當(dāng)時，，所以橢圓的焦點在軸上；當(dāng)時，，所以橢圓的焦點在軸上.所以該選項錯誤；B.設(shè)，不妨設(shè)橢圓的長軸在軸上，則，，所以（常數(shù)），所以的值與點在橢圓上的位置無關(guān)，故B正確；C.又由方程方得，所以是橢圓的短軸長與長軸長的比值的平方，即，所以離心率，同理可得橢圓的長軸在軸上時結(jié)論一樣．所以選項C錯誤；D.M越來越小，橢圓的離心率越大，橢圓越來越扁，所以選項D正確.故選：BD三、填空題21．?dāng)?shù)學(xué)家也有很多漂亮的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被擅長計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出.

也就是說不是質(zhì)數(shù)，這個猜想不成立．設(shè)是數(shù)列前n項和，若對恒成立，則m的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)條件化簡得，再求前n項和，依據(jù)不等式恒成立可求解.【詳解】由題意可知，，，明顯當(dāng)時，m取到最大值為．故答案為：22．十七世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“當(dāng)正整數(shù)時，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，閱歷三百多年，1995年英國數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則下列四個命題：①對隨意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解；②當(dāng)正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解；③當(dāng)正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解；④若關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解，則正整數(shù)；真命題的序號是_________（寫出全部真命題的序號）【答案】③④【解析】【分析】通過舉反例，可推斷①錯；依據(jù)題中條件，可推斷②錯；通過舉例，可推斷③正確；依據(jù)互為逆否命題的命題真假性之間關(guān)系，可推斷④正確.【詳解】①中，當(dāng)時，方程即有正整數(shù)解（如），故①錯；②依據(jù)費馬大定理可得：“當(dāng)正整數(shù)時，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，故②錯；③當(dāng)時，方程即有多數(shù)正整數(shù)解（如）；當(dāng)時，方程即也有多數(shù)正整數(shù)解（如為直角三角形的兩直角邊長，為斜邊長，其中三邊長均取正整數(shù)）；因此當(dāng)正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解；故③正確；④互為逆否命題的兩命題，真假性相同，“若關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解，則正整數(shù)”是題干中所給命題的逆否命題，故④正確.故答案為：③④.23．?dāng)?shù)學(xué)中有很多猜想，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想：質(zhì)數(shù)，直到1732年才被擅長計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出F5不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)（n∈N*），bn＝，則數(shù)列{bn}的前21項和為__________．【答案】【解析】【分析】先對進行化簡，再以裂項相消法求數(shù)列{bn}的前21項和.【詳解】＝＝＝n＋1，所以bn＝＝＝－，則＝－＋－＋＋－＝－＝．故答案為：24．學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛質(zhì)疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃.欲將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩的名篇，講解并描述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的成功豪情.這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問，當(dāng)代聞名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)覺了此詩的一些疑點，并寫詩質(zhì)疑，詩云：“北方大雪時，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？”但是，數(shù)學(xué)家也有很多漂亮的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被擅長計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)記，則數(shù)列的前項和___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，化簡數(shù)列通項公式，利用分組求和的方法求解即可.【詳解】依題意有代入得，所以則有故答案為：25．在一個三角形中，到三個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點，經(jīng)證明它也滿意，因此費馬點也稱為三角形的等角中心，如圖，在外作等邊，再作的外接圓，則外接圓與線段的交點即為費馬點.若，則___________.【答案】【解析】【分析】由費馬點的性質(zhì)及的邊角關(guān)系，證得，從而有，然后在中，由余弦定理求得的長，從而求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)費馬點的性質(zhì)有，則，又，故，，即所以，從而有則，則，在中，由余弦定理知，，解得，則，故答案為：26．我們把叫“費馬數(shù)”（費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家），設(shè)，表示數(shù)列的前n項之和，則使不等式成立的最大正整數(shù)n的值是_______【答案】5【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)求得，由等比數(shù)列的求和公式可得，再由數(shù)列的裂項相消求和，解不等式可得所求最大值.【詳解】解：由題意得，，所以，則，所以，由，可得，解得，所以最大正整數(shù)n的值為5，故答案為：5【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及數(shù)列的裂項相消求和法，解題的關(guān)鍵是由已知條件求出，從而可得，進而可求出，考查轉(zhuǎn)化思想和計算實力，屬于中檔題.27．聞名的費馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾德費馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，不妨設(shè)，故，進而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在結(jié)合三角恒等變換化簡整理求函數(shù)最值即可.【詳解】依據(jù)題意,點為的費馬點，的三個內(nèi)角均小于,所以，設(shè)，所以在和中，，且均為銳角，所以所以由正弦定理得：，，所以，，因為所以，因為，所以，所以，所以故實數(shù)的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查數(shù)學(xué)文化背景下的解三角形，三角恒等變換解決三角函數(shù)取值范圍問題，考查運算求解實力，數(shù)學(xué)建模實力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題目背景，通過設(shè)，進而建立解三角形的模型，再依據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡求最值即可.28．法國數(shù)學(xué)家費馬被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)之王，很多數(shù)學(xué)定理以他的名字命名．對而言，若其內(nèi)部的點P滿意，則稱P為的費馬點．如圖所示，在中，已知，設(shè)P為的費馬點，且滿意．則的外接圓直徑長為_________．【答案】【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的內(nèi)角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得PB的值,在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外