新教材2024高考數學二輪專題復習分冊一專題三數列第二講數列的通項與求和-大題備考微專題4數列重組問題

微專題4數列重組問題1.已知公差不為0的等差數列{an}中，a1＝1，a4是a2和a8的等比中項．(1)求數列{an}的通項公式；(2)保持數列{an}中各項先后依次不變，在ak與ak＋1(k＝1，2，…)之間插入2k，使它們和原數列的項構成一個新的數列{bn}，記{bn}的前n項和為Tn，求T20的值．2．[2024·安徽蕪湖模擬]已知等差數列{an}，等比數列{bn}，且a1＝＝2n＋1－1.(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；(2)將數列{an}和{bn}中的項合并，按從小到大的依次重新排列構成新數列{cn}，求{cn}的前100項和．4.[2024·河北石家莊一模]已知等差數列{an}的前n項和記為Sn(n∈N*)，滿意3a2＋2a3＝S5＋6.(1)若數列{Sn}為單調遞減數列，求a1的取值范圍；(2)若a1＝1，在數列{an}的第n項與第n＋1項之間插入首項為1，公比為2的等比數列的前n項，形成新數列{bn}，記數列{bn}的前n項和為Tn，求T95.技法領悟通過題目表達確立關鍵信息或關系，找準新數列與原數列的關系，是解題的關鍵．[鞏固訓練4][2024·廣東汕頭三模]等差數列{an}和各項均為正數的等比數列{bn}滿意：a1＝b1＝2，a3＝b3＝8.(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；(2)數列{cn}是由數列{an}和{bn}中不同的項依據從小到大的依次排列得到的新數列，記數列{cn}的前n項和為Sn，求S100.微專題4數列重組問題保分題1．(1)解析：設數列{an}的公差為d(d≠0)，因為a4是a2和a8的等比中項，所以＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，因為a1＝1，所以d＝1或d＝0(舍)，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，所以通項公式an＝n.(2)解析：由(1)得an＝n，因為ak與ak＋1(k＝1，2，3…)之間插入2k，所以在數列{bn}前20項中有10項來自{an}，10項來自{2n}，所以T20＝1＋21＋2＋22＋…＋10＋210＝×10＋＝2101.2．(1)解析：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，＝a1＋(bn－1)d＝2n＋1－1，∴bnd＋1－d＝2n＋1－1，bn＝b1qn－1，∴1－d＝－1，bnd＝2n＋1，∴d＝2，bn＝2n，又a1＝1，∴an＝2n－1.(2)解析：因為a100＝199，b7＝128，b8＝256，所以{cn}的前100項中，有數列{an}的前93項，數列{bn}的前7項，記{an}，{bn}，{cn}的前n項和分別為An，Bn，Cn.∴C100＝A93＋B7＝93＋×2＋＝8649＋254＝8903.提分題[例4](1)解析：設等差數列{an}的公差為d，由于3a2＋2a3＝S5＋6，所以3(a1＋d)＋2(a1＋2d)＝5a1＋10d＋6，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋(a1＋1)n，若數列{Sn}為單調遞減數列，則Sn＋1－Sn<0對于n∈N*恒成立，所以Sn＋1－Sn＝[－(n＋1)2＋(a1＋1)(n＋1)]－[－n2＋(a1＋1)n]＝a1－2n<0在n∈N*上恒成立，則a1<2n，所以a1<(2n)min，又數列{2n}為遞增數列，所以(2n)min＝2×1＝2，即a1<2，故a1的取值范圍為(－∞，2)．(2)解析：若a1＝1，則an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，依據題意可將數列{bn}分組為第一組為：1，20；其次組為：－1，20，21；第三組為：－3，20，21，22；……第k組為：－2k＋3，20，21，22，…，2k－1；則前k組一共有2＋3＋4＋…＋(k＋1)＝項，當k＝12時，項數為90.故T95相當于是前12組的和再加上－23，20，21，22，23這五項，即：T95＝[1＋(－1)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋20＋21＋22＋23)，設cn＝2n－1，則20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是數列{cn}的前12項和，所以T95＝－12－23＋1＋2＋4＋8＝213－142＝8050.[鞏固訓練4](1)解析：依據條件，設an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d，bn＝b1qn－1＝2qn－1，又2＋2d＝2q2＝8(q>0)，解得d＝3，q＝2，故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*)．(2)解析：當n＝100時，a100＝299，由2n<299，得n≤8，n∈N*，又b1＝a1，b3＝a3，b5＝a11，b7＝a43，故在數列{an}的前100項