重慶市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期周考試題四

Page9一、單選題（本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）。1．已知集合，則滿意的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿意，則的模為（

）A．1 B．2 C．5 D．3．有一組樣本數(shù)據(jù)，則（

）A．這組樣本數(shù)據(jù)的極差不小于4 B．這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不小于4C．這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不小于3 D．這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于34．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，則（

）A．B．C．D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象如圖所示，且在與處取得極值，則下列說法正確的是（

）A． B．C．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) D．過點(diǎn)的圖象的切線有且只有1條8．已知點(diǎn)在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動(dòng)，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（

）A．-2 B．-8 C．-1 D．0二、多選題（本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分）。9．已知函數(shù)，直線為圖象的一條對稱軸，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的最小正周期為 B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱10．已知AB為圓的直徑，直線與y軸交于點(diǎn)M（A，B，M三點(diǎn)不共線），則（

）A．l與C恒有公共點(diǎn)B．是鈍角三角形C．的面積的最大值為lD．l被C截得的弦的長度最小值為11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則在正方體中存在棱與平面平行C．直線與平面所成角的正切值的最小值為D．當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則過，，三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為五邊形12．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于y軸對稱 B．在上單調(diào)遞增C．的最大值為 D．沒有最小值三、填空題（本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分）。13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則.14．已知，滿意，，則.15．有甲、乙兩個(gè)加工廠加工同一型號零件，甲廠加工的次品率為，乙廠加工的次品率為，已知甲乙兩個(gè)加工廠加工的零件數(shù)分別占當(dāng)?shù)厥袌隹倲?shù)的45%，55%，現(xiàn)從當(dāng)?shù)厥袌錾想S意買一件這種型號的零件、則買到的零件是次品，且是甲廠加工的概率為．16．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且它們的和為0，則的取值范圍是.四、解答題（本題共有6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）。17．在平面四邊形ABCD中，(1)若，求；(2)若求.18．隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮．某社團(tuán)為調(diào)查高校生對于“中華詩詞”的喜好，從甲、乙兩所高校各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間，依據(jù)，，，，，分組，并整理得到如下頻率分布直方圖：

依據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間，可以將學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個(gè)等級：學(xué)習(xí)時(shí)間：（分鐘/天）等級一般愛好癡迷(1)從甲高校中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計(jì)其“愛好”中華詩詞的概率；(2)從這兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記ξ為選出的兩人中甲高校的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)試推斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”時(shí)間的平均值與的大小，及方差與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）19．已知數(shù)列滿意，且.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿意，求的前項(xiàng)和.20．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折至，使二面角為直二面角.

(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值.21．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是3．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)，(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若是的微小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．開州中學(xué)高2025屆數(shù)學(xué)周考試卷（四）參考答案1-4．BDAC5-8．BBCA9．ABD10．ABD11．ACD12．AC13．014．15．16．17．（1）在中，，所以，所以，在中，由余弦定理得.因?yàn)?，解?（2）如圖所示：

設(shè)，則，在中，因?yàn)椋?，在中，，由正弦定理，得，即，所以，即，整理得，所以，?18．（1）解：甲高校隨機(jī)選取的40名學(xué)生中，“愛好”中華詩詞的頻率為：，所以從甲高校中隨機(jī)選出一名學(xué)生，“愛好”中華詩詞的概率為0.65．（2）解：由題知：甲高校隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有人，乙高校隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有人，所以，隨機(jī)變量ξ的取值為，1，2．所以，，，．所以ξ的分布列為012ξ的數(shù)學(xué)期望為（3）解：由甲乙高校的頻率分布直方圖可知，乙高校的學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間相對較長，且集中，所以，；19．（1）由，得，，，，，則是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，由是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則，，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，，則；（2），則.20．（1）因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)椋?，因二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）

取的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)使，由得，，故，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由得，故，又，，則，故，，，，則，，由題知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，即二面角的正弦值為.21．（1）由題意得，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)橢圓上一點(diǎn)，，則，故，，因?yàn)?，所以，，故，故橢圓上的點(diǎn)到又焦點(diǎn)的最小距離是，所以，聯(lián)立與，解得，故，故橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，直線方程為，即．所以存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為．22．（1）若，則，的定義域是．．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．（2）的定義域?yàn)椋桑?