高中數(shù)學(xué) 第05講函數(shù)與方程綜合問題

第五講函數(shù)與方程綜合

A組

一、選擇題

pXY<0

1.(2018全國卷I)已知函數(shù)/(x)=''g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2個零點，則。的取值范圍

Inx,x>0,

是()

A.[—1,0)B.[0,+oo)C.[—1,+co)D.[l,+oo)

【答案】C

【解析】函數(shù)g(x)=/(x)+x+a存在2個零點，即關(guān)于x的方程/(x)=—X—。有2個不同的實根，

函數(shù)/(%)的圖象與直線y=-x-a有2個交點，作出直線y=-x-a與函數(shù)/(x)的圖象，

如圖所示，

-2才、

由圖可知，一aWl,解得故選C.

2.已知實數(shù)a,b滿足2a=3,3"=2,則函數(shù)/(x)=a*+x—Z?的零點所在的區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-l,0)C.(O,l)D.(l,2)

【解析】?.?2"=3,3h=2,a>\,0</?<1,又：/(力=優(yōu)+x—8,

/(0)=1-/7>0,從而由零點存在定理可知/(x)在區(qū)間(—1,0)上存在零點.故選B.

3.已知函數(shù)/(x)=|x-2|+l,g(x)=Zx.若方程〃x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)上的取值范圍是

A.(0,—)B.(—,1)C.(1,2)D.(2,+oo)

2,2

【答案】B

【解析】如圖所示，方程/(x)=g(x)有兩個不相等的實根等價于兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，結(jié)合圖象可

知，當(dāng)直線丁=依的斜率大于坐標(biāo)原點與點(2,1)的連續(xù)的斜率，且小于直線y=x-l的斜率時符合題意，故選

2

4.設(shè)函數(shù)/(x)=；x-lnx,則函數(shù)/(x)()

A.在區(qū)間(±1),(l,e)內(nèi)均有零點B.在區(qū)間(±1),(l,e)內(nèi)均無零點

ee

C.在區(qū)間(L1)內(nèi)有零點，在(l,e)內(nèi)無零點D.在區(qū)間上,1)內(nèi)無零點，在((l,e)內(nèi)有零點

ee

【解析】/(幻=』大一加工的定義域為(0,+00),故/(x)在(0,3)上遞減，又

33x

/(l)>0,/(l)>0,/(e)<0,故選D.

e

5.已知函數(shù)/(x)滿足：/(x+1)=-/(%),且/(X)是偶函數(shù)，當(dāng)x?0,l]時,/(x)=x2,若在區(qū)間[一1,3]內(nèi),

函數(shù)g(x)=/(x)-Ax-氏有4個零點，則實數(shù)攵的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.^0,—C.^0,—D.—

【解析】由/(x+l)=—/(x)n/(x)的周期為2,又/(力是偶函數(shù)，且xe[0,l]時，/(x)=f,故可示意/(幻

在[一1,3]上圖象，g(x)=/(x)-攵x-女有4個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x)與y=k0+1)在xe[-1,3]上有4個交點，

由圖象知Ze(0,L],故選C.

6.已知方程9,一2-3,+3左一1=0有兩個實根，則實數(shù)上的取值范圍為()

2,122

A.[y,l]B.(―,—]C.[y,+oo)D.[l,+oo)

【解析】設(shè)1=3*,原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(f)=y-2r+3左-1在fe(0,+oo)上有兩個零點(可以相同)，則

4—4(31)20

12

<2>0解得憶故選B.

32-1>0

JC+[

7.(2016高考新課標(biāo)2卷理)已知函數(shù)/'(x)(xeR)滿足/(—x)=2-/(x),若函數(shù)y=——與y=/(x)圖像的

x

交點為(不乂),(/，%)，…，(七則Z(%+%)=()

i=l

A.0B.mC.2mD.4m

【解析】由于/(—x)+/(x)=2,不妨設(shè)/(x)=x+l,與函數(shù)丁=三x+]=1+、1的交點為(1,2),(—1,0),故

X+[

%+赴+%+%=2,故選B.(客觀上函數(shù)y=/?(》)與丁=——有共同的對稱中心(0,1),所以它們的所有交點

x

關(guān)于(0,1)對稱

二、填空題

TT

8.(2018年全國卷IH)函數(shù)/(x)=cos(3x+—)在[0,%]的零點個數(shù)為_______.

6

【答案】3

jrjrjrjrk^TT

【解析】由題意知，cos(3x+—)=0,所以3x+—=—+A萬，k",所以1=—+—,ZeZ,當(dāng)人=0時,

66293

jr47r

%=-；當(dāng)攵=1時，x=—；當(dāng)攵=2時，x=—,均滿足題意，所以函數(shù)/(幻在[0,1]的零點個數(shù)為3.

999

9.(2017年高考全國3卷理)設(shè)函數(shù)f(x)=pL則滿足八x)+/(x」)>l的x的取值范圍是__________

2Sx>0,2

【答案】V

3

2xH—，冗W0

2

【解析】由題意：g(x)=/(x)+/(x—g]=.2*+x+；,0<x?g

函數(shù)g(x)在區(qū)間

(V2+l)2x-,,x>1

-00,0],[o,g],[g,+8)三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增，且:8(一；卜1,2。+0+；>1,(0+1卜2。7>

據(jù)此X的取值范圍是：(-：，+8

10.若函數(shù)氏0=6=N-x-m無零點，則實數(shù)，〃的取值范圍是.

【解析】原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)了=/1=7所表示的上半圓與斜率為1的平行線系y=x+加沒有公共點的問題,

畫圖，可得"2V—1或根>J5.

11.設(shè)常數(shù)4使方程Sinx+Gcosx=〃在閉區(qū)間［0,21］上恰有三個解X］,%2，%3，則玉+X2+X3=-

【解析】原方程可變?yōu)閍=2sin(x+7Tg),作出函數(shù)y=2sin(x+T1T)的圖象，再作直線y=a,從圖象可知

函數(shù)y=2sin(x+工)在［0,生］上遞增，在［巳,二］上遞減，在「生,2%］上遞增，只有當(dāng)。=百時，才有

36666

JI

三個交點，X］=0,工2=—，&=2乃，所以玉+工2+入3=一

33,

12.(2016高考山東卷理)已知函數(shù)f(x)=P：l'X~m其中機(jī)>0,若存在實數(shù)b,使得關(guān)于X的方程

［x~-2mx+4機(jī),x>m

/(x)=。有三個不同的根，則機(jī)的取值范圍是.

【解析】畫出函數(shù)圖象如下圖所示:

由圖所示，要/(x)=匕有三個不同的根，需要紅色部分圖像在深藍(lán)色圖像的下方，即

|/?i|>nr-2m-m+4m,m2-3m>0,解得加>3.

13.(2018年高考上海卷)某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地

上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)S中x%(0<x<100)的成員自駕時，自駕群體的人均

通勤時間為

30,0<xW30,

f(x)=\1800(單位：分鐘),

2x+-^-90,30<x<100

而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:

⑴當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

⑵求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達(dá)式；討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實際意義.

【解析】(1)當(dāng)0<x<30時，/(x)=30<40恒成立，公交群體的人均通勤時間不可能少于自駕群體的人

均通勤時間；當(dāng)30<x<100時，若40</(力，即2x+幽-90>40,解得x<20(舍)或x>45；

X

???當(dāng)45Vx<100時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；

⑵設(shè)該地上班族總?cè)藬?shù)為〃，則自駕人數(shù)為〃?x%,乘公交人數(shù)為〃?(1-1％).

30?〃?x0/o+40?〃?（1-x%）

0<%W30

n

因此人均通勤時間g(x)='1800，整理得

（2xH---------90）-n?X0/Q+40?〃?（1一x%）

-----------------------------------------------,30<x<100

n

X

40一一0<xW30

,、10

gQ)=j，

表(x-32.5)2+36.875,30<x<100

則當(dāng)xe(0,30]U(30,32.5],即xe(0,32.5]時，g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(32.5,100)時，g(x)單調(diào)遞增.

實際意義：當(dāng)有32.5%的上班族采用自駕方式時，上班族整體的人均通勤時間最短.

適當(dāng)?shù)脑黾幼择{比例，可以充分的利用道路交通，實現(xiàn).整體效率提升；但自駕人數(shù)過多，則容易導(dǎo)致交通擁堵，使

得整體效率下降.

B組

一、選擇題

1.設(shè)函數(shù)/(x)=L,g(x)=-x2+bx.若y=/(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點

X

A(%，M),BC3y2)，則下列判斷正確的是()

A.X)+x2>o,y+%>°B.%+工2>°，為+y2Vo

C.%1+x2<0,X+>2>°D.X,4-X2<0,凹+>2<°

【解析】依題意，示意圖象，可知玉+々>0,且和馬異號，而X+〉2=±j<0,故選B.

中2

2.己知函數(shù)/(x)=xe'-ax-\,則關(guān)于/(x)的零點敘述正確的是()

A.當(dāng)a=0時，函數(shù)/(幻有兩個零點B.函數(shù)/(x)必有一個零點是正數(shù)

C.當(dāng)a<0時，函數(shù)/(幻有兩個零點D.當(dāng)a>0時，函數(shù)/(幻只有一個零點

【解析】函數(shù)/(x)=x/—ax—1的零點可轉(zhuǎn)化為函數(shù)丫=產(chǎn)與曠=。+'圖象的交點情況研究，選B.

X

3.己知函數(shù)_/(x)=2/nN—2(4—m)x+l,g{x)=mx,若對于任意實數(shù)x,/(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù),

則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-oo,0)

【解析】依題意，加=0不符；m<0時，則對于Vxe[0,+8),當(dāng)xf+DO時，顯然/(x)<0,不符；加>0時，

4-m,八

4--m----0

則對于V%￡(—8,0],/(x)>0,由/(0)=1>0,需對稱軸：％=-----〉0或〈2m,

2mo

4(4-m)~~Sm<0

解得xc(0,8),故選B.

4.函數(shù)/(尤)=電(兇+1)—51!12%的零點個數(shù)為()

A.9B.10C.11D.12

【解析】示意函數(shù)y=lg(|x|+1)與y=sin2x的圖象可確定選D.

.71

5.已知函數(shù)/(x)=/(萬工)-1，"<°的圖象上關(guān)于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是

log“x(a>0,aw1),x>0

()

A.(0,爭B.g」)C哼，D.D.(0,當(dāng))

jrx

【解析】依題意，需要/(x)在y軸左側(cè)圖象對稱到y(tǒng)軸右側(cè)，即廣=sin(—卷)—l(x>0),需要其圖象與

/(%)原y軸右側(cè)圖象至少有3個公共點，a>1不能滿足條件,只有0<a<l,如圖，

:〕」；:

-1

此時，只需在x=5時，y=log“x的縱坐標(biāo)大于一2,即log“5>-2,得0<。<方一.

6.已知實數(shù)f(x)=1e*'X->(')若關(guān)于x的方程/2(元)+/(外+^=0有三個不同的實根，則f的取值范圍為

lg(-x),x<0,

()A.(-oo,-2]B.[l,+oo)C.[-2,1]D.(-oo,-2]U[l,+°o)

【解析】做出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)機(jī)21時直線y=m與/(x)的圖象有兩個交點，當(dāng)機(jī)<1

時直線y=m與/(幻的圖象有一個交點，題意要求方程/2(幻+/(幻+，=0有三個不同的實根，則方程

M+機(jī)+/=0必有兩不等實根，且一根小于1,一根不小于1,當(dāng)l+l+f=0,即r=—2時，方程相z+m―2=0

的兩根為1和一2,符合題意；當(dāng)1+1+/<0,即r<—2時，方程機(jī)2+m+/=0有兩個不等實根，且一根小于1,

一根大于1,符合題意.綜上由，<一2.

2

7.(2018年江蘇卷)若函數(shù)/(X)=2--ax+l(aeR)在(0,不?)內(nèi)有且只有一個零點，則/(x)在[-1,1]上的最大

值與最小值的和為.

【答案】-3

a/a、

>2A~?L//A———-I-?v

【解析】由f(x)=6x-2ax=0得3,因為函數(shù)f(x)在(0,+8)上有且僅有一個零點且f(o)=l,所以3⑶，

aa

2(-)3-a(-)2+l=0,a=3.._“小

因此33從而函數(shù)f(x)在-1，0】上單調(diào)遞增，在10』上單調(diào)遞減，所以ftl兇max-t(U)，

f(x)mm=rnin{f(-l),f(l)}=ff-l),f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-i)=1-4=-3.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=<2"，x<l.

4(x-a)(x-2a),x>1

(1)若。=1,則/(x)的最小值為；(2)若/(幻恰有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【解析】(1)當(dāng)a=l時，若x<l,/(x)e(-l,l)；當(dāng)時xNl,/(X)=4(X2-3X+2)=4(X--)2-1,則x=2

時，/(x)min=-L(2)aw。時，/(x)無零點；不符；0<a<；時，/(x)有一個零點；;4。<1,符合；lWa<2,

/(x)有3個零點；a>2,符合.綜上得;4a<1或aN2.

3

X'X<〃

9.已知/(x)="{.J-，若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=/(x)-b有兩個零點，則。的取值范圍是.

x,x>a

【解析】由題意，問題等價于方程/=伙140)與方程/二/》〉.)的根的個數(shù)和為2,

‘￡

<a

若兩個方程各有一個根：則可知關(guān)于。的不等式組]、歷>。有解，???。2<匕</,從而。>聯(lián)

-\[b<a

若方程無解，方程12=伙工>〃)有2個根：則可知關(guān)于人的不等式組有解，從而

-4h>a

〃<o,綜上，實數(shù)。的取值范圍是(一8,o)ua+8).

10.已知函數(shù)〃x)=I九2+3耳，xeR.若方程/(x)-a\x-[=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍

為.

【解析】在同一坐標(biāo)系中畫f(x)=\x2+3x|和g(x)=小-1|的圖象(如圖)，問題轉(zhuǎn)化為

/(X)與g(x)圖象恰有四個交點?當(dāng)y=a(x-1)與y=/2+3犬(或y=-a(x-1)與y=-3x)相切時，

/(x)與g(x)圖象恰有三個交點.把y=a(x-1)代入y=x2+3x,得x2+3x=a{x-1),即

x2+(3-a)x+a=O,由△=(),得(3-a)~-4a=0,解得a=l或Q=9.又當(dāng)a=0時，/'(x)與g(x)僅

兩個交點，或Q>9.

三、解答題

ex2

1L設(shè)函數(shù)/(%)=一"-左(一+lnx)(%為常數(shù)，6=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).

xx

(I)當(dāng)后WO時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點，求攵的取值范圍.

【解析】(I)函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),

k(x-2)_(x-2)(eA-kx)

/(x)=

由ZWO可得，—京〉0,所以當(dāng)xe(0,2)時，/(x)<0,函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(2,”)時，/,(x)>0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(II)由(I)知,攵<0時，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,

故/(幻在(0,2)內(nèi)不存在極值點；當(dāng)％>0時，設(shè)函數(shù)g(x)=e*-丘,xe[0,+oo),

因為g(x)=e—=產(chǎn)--

當(dāng)0<女<1時，當(dāng)xe(0,2)時，g'(x)=e'—左>0,y=g(x)單調(diào)遞增，故/(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點;

當(dāng)%>1時，得xe(0,ln6時，g'(x)<0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減，

xe(In-+oo)時,g(x)>0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(lnk)=k(l—In/:),函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點；

'g(0)〉0

g(lnk)<02

當(dāng)且僅當(dāng)4,解得e(人<e幺，

g⑵>02

0<InA:<2

e1

綜上所述，函數(shù)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為(e,—).

2

C組

一、選擇題

222

1.記方程①:x+a^x+\=0,方程②：x+ax+2=0,方程③：x+a3x+4=0,其中4,外,%是正實數(shù).當(dāng)q,生,外

成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程③無實根的是()

A.方程①有實根，且②有實根B.方程①有實根，且②無實根

C.方程①無實根，且②有實根D.方程①無實根，且②無實根

ar4<Q

24

【解析】按D考慮，則由n<把=16=>〃；一16<0,故選D.

=a''

4，。2，。3〉0

2.若。力是函數(shù)/6)=/一〃彳+4(〃〉0國>0)的兩個不同的零點，且兄。,_2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,

也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則〃+4的值等于()

A.6B.7C.8D.9

a+b=p

【解析】依題=q得。>0/>0,則。力,一2這三個數(shù)適當(dāng)排序排成等比數(shù)列必有次?=4,

p,q>0

。=43a=\

a.b-2這三個數(shù)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列應(yīng)有。一2=2b^b-2=2a,解得,或<

bf=\b=4

則〃=5,q=4,故p+q=9,選D.

2-|x|,x<2,

3.己知函數(shù)={2函數(shù)g(x)=8-/(2_x)，其中若函數(shù)y=/(x)_g(x)恰有4

(x-2)~,x>2,

個零點，則h的取值范圍是()

-2—|x|,x<2>,2得T2—12-x|,x0

【解析】由/(x)=<

x2,x<0

2-國+x2,x<0x-x+2,x<0

即

所以y-/(x)+/(2—x)=<4-|x|-|2-x|,0<x<2,y=/(X)+f(2_x)=(2,0<x<2

2-12-x|+(x-2)~,元〉2x2-5x+8,x>2

y=f(x)-g(x)=/(%)+/(2-x)-。,所以y=/(x)-g(x)恰有4個零點等價于方程

/(幻+/(2-％)-力=0有4個不同的解，即函數(shù)y=b與函數(shù)y=/(尤)+/(2—X)的圖象的4個公共點，由圖象

7

可知一<匕<2.故選D.

4

4.定義在(l,+oo)上的函數(shù)/(x)滿足下列兩個條.件：(1)對任意的xe(I,+o。)恒有/(2x)=2f(x)成立；(2)當(dāng)xe(1,2］

時，f(x)=2-x.記函數(shù)g(x)=f(x)-k(x-i),若函數(shù)g(x)恰有兩個零點，則實數(shù)%的取值范圍是()

A[1,2)

【解析】,對任意的xe(l,+8)恒有/(2x)=2/(x)成立，且當(dāng)xe(l,2］時，/(x)=2-x,

/(*)=一1+2"犬6(女》］.由題意得/(幻=左?！?)的函數(shù)圖象是過定點(1,0)的直線，如圖所示紅色的直線與線

4

段AB相交即可(可以與B點重合但不能與A點重合)，可得k的范圍為A<2.

3

5.設(shè)函數(shù)/(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)尸(x),VxeR,W/(-%)+f(x)=x2,在(0,+8)上f(x)<x,若

/(4-m)-/(m)>8-4m,則實數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[—2,2]B.[2,-Ko)C.[0,4-00)D.(―oo,-~2]|J[2,+00)

10

【解析】設(shè)g(x)=/(幻―5/,依題g(_x)+g*)=O,則g(x)是奇函數(shù)，又在。+8)上/(x)<x,可判斷g(x)

在R上遞減，不等式/(4一根)-/(〃?)之8-4〃z可轉(zhuǎn)化為g(4。2g(m),則4一加工機(jī)，得mN2,

故選B.

logi(x+l),xe[0,2)

6.定義在R上的奇函數(shù)/(x),當(dāng)x?0時，/(%)={3,則關(guān)于％的函數(shù)

l-|x-4|,xe[2,+oo)

/(幻=/(幻一。(0<。<1)的所有零點之和為()

A.3"-1B.1-3"C.3一"一1D.1一3一"

log,(x+1)e(-1,0],x6[0,2)

3

【解析】由題意得：/U)=l-|x-4|e(-co,l],xe[2,+oo)，所以當(dāng)時y=f(x)與y=a有五個交點，

log3(l-x)e(0,l),xe(-2,0)

|X+4|-1G[-l,+oo),x€(-00,-2)

其中丫=1-|X一4|/€[2,??)與'=4的兩個交點關(guān)于；<：=4對稱，和為8；y=|x+4|-l,x€(T?,-2)與y=a的

兩個交點關(guān)于x=T對稱，和為-8；y=1og3(l-x),xw(-2,0)與y="的一個交點，值為]_3"；因此

所有零點之和為1_3"，故選民

二、填空題

[x-4,x>A

7.(2018年高考浙江卷)已知/ISR,函數(shù)/(x)=2，當(dāng)M2時，不等式/(x)<0的解集是

[x2-4x+3,x<A.

.若函數(shù)/(x)恰有2個零點，則入的取值范圍是.

【答案】(1,4)(l,3]u(4,+oo)

x-4.x>2

【解析】"2,"加人-2

當(dāng)xN2時,x-4<0^2<x<4.

當(dāng)x<2時，x1-4x+3<Q,^§l<x<2.

綜上不等式的解集為l<x<4.

當(dāng))，=/一4乂+3有2個零點時，A>4.

當(dāng))，=/一4x+3有1個零點時，y=x-4有1個零點，1<之工3.

.?.1<A<3=^A>4.

-l,0<x<2,

8.已知函數(shù)f(x)是定義在(—8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，/1(x)=4l二、一二，則函數(shù)

-f(x-2),x>2,

g(x)=2/(x)—1的零點個數(shù)為個.

【解析】函數(shù)g(x)=2/(x)-l的零點個數(shù)等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=；的圖象的交點的個數(shù).由己知

條件作出函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=g的圖象，如下圖.由圖可知，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y的圖

象有6個交點.

9.已知函數(shù)/(%)=加-3/+1,若存在唯一的零點/,且%>0，則a的取值范圍是.

【解析】令內(nèi)3—3/+1=0,得。=_(上1)3+巳3，設(shè)上1=f,即“=—尸+3￡,原問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函