小學五年長方體與正方體的表面積與體積

長方體和正方體的表面積和體積米的小正方體若干塊，問：在這些小正方體中，三面涂有紅漆的有多少塊？兩

面涂紅色有多少塊？一面涂有紅色的有多少塊？沒有涂上紅色有多少塊？

【知能大展臺】

1.長方體和正方體的特征:【分析】

面棱頂面的形狀面積大小棱長先看這個正方體可以切多少塊小正方體。如圖：一共可以切成5=125

點

塊小正方體。為方便起見，我們用不同的陰影表示不同涂色情況

長6128都是長方相對的兩個面的面積相對的4條棱

方個條個形(也可能相等長度相等網(wǎng)影表示三面涂有紅色的小正方體。三面涂有的小正方體位于頂點處，每

體有兩個相

對的面是個頂點上有一塊。

正方形)點影表示兩面涂有紅色的小正方體。兩面涂色的小正方體位于棱長，每條棱上

正6128都是正方6個面的面積相等12條棱長度相

有塊。

方個條個形等(5-2)

體斜影表示一面涂有紅色的小正方體。一面涂色的小正方體位于面中，沒個

2.長方體和正方體的表面積

面中間有(5-2)2塊。

(1)定義：長方體和正方體六個面的總面積叫做它們的表面積。

(2)計算公式：沒有涂上紅色的小正方體位于大正方體內部，共有(5-2)3塊。

長方體的表面積S=2(AB+AH+BH)

【解答】

2

正方體的表面積S=6A

三面涂有紅色的正方體有8塊。

(3)長方體和正方體的體積

兩面涂有紅色的小正方體有：

(1)定義：物體所占空間的大小叫做物體的體積。

(2)長方體的體積V=ABH(5-2)X12=36(塊)

正方體的體積3

(3)V=A一面涂有紅色的小正方體有：

長方體或正方體的體積還可以這樣計算：V=S?H2

(5-2)X6=54(坡)

【試金石】

沒有涂上紅色的小正方體有:

例1一個正方體的棱長5厘米，表面涂滿了紅漆，4它切成棱長為1厘

3

(5-2)=27(塊)

【智力加油站】

焊接后的長方體鐵盒的長為30-5X2=20厘米，高為5厘米，已知鐵盒容

積是1500立方厘米可以先求出鐵盒的寬，再求原來長方形鐵皮的面積。

【針對性訓練】

【解答】

一個正方體的棱長4分米，表面涂滿了紅漆，4它切成棱長為1分米

長方體鐵盒的寬為：

的小正方體若干塊，問：在這些小正方體中，三面涂有紅漆的有多少塊？兩面

15004-(30-5X2)+=15厘米

涂紅色有多少塊？一面涂有紅色的有多少塊？沒有涂上紅色有多少塊？

原來長方形鐵皮的面積為：

【試金石】

30X(15+5X2)=750(平方厘米)

例2把一塊長30厘米的長方形鐵皮，在四個角上剪去邊長為5厘米的正

答：原來長方形鐵皮的面積是750平方厘米。

方形，在焊接成一個無蓋的長方體鐵盒，這個鐵盒的容積是1500立方厘米。

【智力加油站】

求原來長方形鐵皮的面積。

【分析】

根據(jù)題意可以畫出下圖：

【針對性訓練】

把一塊長方形鐵皮，長為20厘米，寬為16厘米?，F(xiàn)在把它的四角分別減

去邊長為2厘米的正方形，然后焊接成一個無蓋的長方體鐵盒，這個鐵盒的容

積是多少立方厘米？

【試金石】

例3一個正方體形狀的木塊，棱長1米，沿水平方向將它鋸成3片，每片一個正方體形狀的木塊，棱長1米，沿水平方向將它鋸成4片，每片又鋸

有鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊（如右圖），這60塊長方體的成5長條，每條有鋸成6小塊，共得到大大小小的長方體120塊，這120塊長

表面積的和是多少平方米？方體的表面積的和是多少平方米？

【分析】【試金石】

原來的正方體有6個面，每個面的面積都是IX1=1（平方米），無論后例4一個棱長為4厘米的正方形，如果分別在它的前、后、左、右、

來鋸成多少塊，這6個面的總面積總是被計入后來小木塊的表面積。再考慮到上、下各面的中心位置挖去一個棱長為1厘米的小正方形，做成一個積木，這

每鋸一刀就會增加兩個面，每個面的面積都是1平方米，現(xiàn)在一共鋸了2+3=4=9個積木的表面積和體積是多少？

（刀）,一共增加2X9=18平方米?！痉治觥?/p>

【解答】因為大正方形的棱長為4厘米，挖去的小正方形的棱長為1厘米，因此，

每鋸一刀，就會增加兩個1平方米的表面，即：大正方形沒有挖通。從而每挖去一個小正方體，大正方體的表面積將比原來增

1X1X2=2（平方米）加“小洞”內的4個（1X1）的正方形面積。這個積木的體積等于大正方體的

現(xiàn)在一共鋸了：2+3+4=9（刀）體積減去6個小正方體的體積。

因此，這大大小小的60塊長方體的表面積的的和為：【解答】

1X1X6+2X9=24（1）積木的表面積為：

答：這60塊長方體表面積的和為24平方米。4X4X6+1X1X4X6=120（平方米）

【智力加油站】（2）積木的體積為：4X4X4-（1X1X1）X6=58（立方厘米）

答：這個積木的表面積是120平方厘米，體積是50立方厘米。

【智力加油站】

【針對性訓練】【針對性訓練】

一個棱長為10厘米的正方形，如果分別在它的前、后、左、右、上、下3X3X0.04=0.36立方米,

各面的中心位置挖去一個棱長為2厘米的小正方形，做成一個積木，這個積木

2X2X0.11=0.44立方米.

的表面積和體積是多少？

0.36+0.44=0.8立方米.

【試金石】0.8+16=1■米=5厘米.

例5有大、中、小三個正方形水池，它們的內邊長分別是4米、3米、2

【智力加油站】

米，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個容器的水面分別生高了4

厘米和11厘米。如果將這兩堆鐵塊都沉沒在大水池中，大水池的水面將升高

多少厘米？

【分析】

【針對性訓練】

水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的碎石體積，沉入中、小水池

有甲、乙、丙三個正方形水容器，它們的內邊長分別是8分米、6分米、4

中的碎石的體積分別是：

分米，把兩堆鐵塊分別沉沒在甲、丙水容器的水中，兩個容器的水面分別升高

3X3X0.04=0.36立方米，

了1分米和2分米。如果將這兩堆鐵塊都沉沒在乙容器中，乙容器的水面將升

2X2X0.11=0.44立方米

高多少分米？

它們的和是：

【試金石】

0.36+0.44=0.8立方米

例6一個長、寬和高分別為21厘米、15厘米和12厘米的長方體現(xiàn)

把它們都沉入大池里，大池水面升高部分水的體積也應當是0.8立方米，而大

從它的上面可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一

水池的底面面積是4X4=16平方米。所以，大水池的水面升高：0.8+16=0.05

個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體

米=5厘米。

積是多少立方厘米？

【解答】

【分析】

根據(jù)長方體的長、寬和高分別為21厘米、15厘米和12厘米的條件，可知

第一次切下盡可能大的正方體的棱長是12厘米，其體積是12X12X12=1728少立方厘米？

(立方厘米)?！局悄芴崴儆柧殸I】(黃皮書77)

這時剩余立方的底面形狀如右圖(1),其高是12厘米。這樣，第二次切1.一個長方體棱長和是72厘米，長是寬的3倍，寬是高的2倍，它的表面

下盡可能大的正方體的棱長是9厘米，其體積是9X9X9=729(立方厘米)積是多少？體積是多少？

這時剩余立方分割成兩種：底面形狀應是右圖(2),其高是12厘米；底2.一個正方體的表面涂滿了紅色，然后切成大小相同的27個小正方體。⑴

面形狀(3),其高是3厘米。這樣，第三次切下盡可能大的正方體的棱長是6三個面有紅色的有幾個？⑵二個面有紅色的有幾個？⑶一個面有紅色的

厘米，其體積是6X6X6=216(立方厘米)。有幾個？⑷六個面都沒有紅色的有幾個？

【解答】3.一個長方體，它的表面積是94平方厘米，底面積是20平方厘米，底面

21X15X12-(123+93+63)周長是18厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？

=3780-(1727+729+216)4.一塊長方形鐵皮，長38厘米，寬31厘米?，F(xiàn)在把它的四角分別剪去邊

=3780-2673長為3厘米的正方形，然后焊成一個無蓋的長方體鐵盒。這個鐵盒的容

=1107(立方厘米)積是多少升？

答：剩下的體積是1107立方厘米。5.一個正方體的木塊，表面積是96平方厘米，如果把它鋸成體積相等的8

【智力加油站】個小正方體木塊，那么每個小正方體木塊的表面積是多少平方厘米？

6.一個長方體水箱，長30厘米，寬42厘米，水箱里裝滿了水，并有一個

長21厘米，寬15厘米的小正方體完全浸沒在水中，當把水中小長方體

【針對性訓練】取出后，水面下降1厘米。小長方體高多少厘米？

一個長、寬和高分別為10厘米、20厘米和20厘米的長方體現(xiàn)從它的上7.一個長方體如果長增加5厘米，則體積增加150立方厘米；如果寬增加4

面可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方厘米，則體積增加160立方厘米；如果高增加3