高中數(shù)學(xué)-正弦定理教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：

(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算

有關(guān)的實際問題

2.過程與方法：

通過對定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；

通過對定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力和體會分類

討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

3.情感、態(tài)度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動的過程,

體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和

創(chuàng)新意識；

(2)通過本節(jié)學(xué)習(xí)和運用實踐，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，

學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認識世界,進而領(lǐng)會數(shù)學(xué)的人文價

值、美學(xué)價值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).

教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：1.正弦定理的推導(dǎo).2.正弦定理的運用

教學(xué)難點：1.正弦定理的推導(dǎo).2.正弦定理的運用.

學(xué)情分析

本節(jié)授課對象是高二學(xué)生，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修④基本初等函數(shù)

n和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，由實際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關(guān)

系，得出正弦定理。高二學(xué)生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實際問

題出發(fā)可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生探索研究的愿望。

1.在aABC中，A=60。，a=43,b=42,則（）

A.B=45。或135。B.B=135°

C.B=45°D.以上答案都不對

2.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2,b=6,B=120。，貝i]a等于（）

A.6B.2

C.3D.2

3.在AABC中，a=5,b=3,C=120°.則sinA：sinB的值是（）

A.5：3B.3：5

C.3：7D.5：7

4.在aABC中，若sinAa=cosCc,則C的值為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在aABC中，a=bsinA,則AABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

6.（2011年天津質(zhì)檢）在AABC中，如果A=60。，C=4,a=4,則此三角形有（）

A.兩解B.一解

C.無解D.無窮多解

二、填空題

7.在aABC中，已知BC=5,sinC=2sinA,則AB=.

8.在AABC中，B=30°,C=120°,則a：b：c=.

三、解答題

9.在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=4：5：6,且a+b+c=30,求a.

10.在AABC中，角A,B,C所對的三邊分別為a,b,c.已知a=5,b=2,B=120°,

解此三角形.

1o這是一節(jié)師生互動好、教師有激情的課。教師講解清楚，透徹，由于教師的親和力

大，學(xué)生積極性調(diào)動得較充分，感覺到課堂的一種和諧的氛圍。

2。教師有鉆研，課堂條理清晰，但重點處理有偏頗。本節(jié)課教學(xué)重點是正弦定理的證

明與定理的簡單應(yīng)用。

3。正弦定理的證明方法講哪種更好呢？有老師認為，用三角形面積法證明更易于學(xué)生

理解和接受，能夠更好地進行定理應(yīng)用的例題講解；有老師認為，定理證明的幾種應(yīng)該都介

紹給學(xué)生，讓學(xué)生更好掌握定理的形成過程，這更符合新課標(biāo)的要求；有老師認為，定理講

解就針對不同層次學(xué)生，對于基礎(chǔ)較好班級可以更深入去挖掘一下，拓展學(xué)生思維，反之，

不提倡講得太多；有老師認為，定理推導(dǎo)要創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、類比等。

教材分析

正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的內(nèi)容。在

初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系；同時在必修4,

學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理

提供了堅實的基礎(chǔ)。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三

角形邊、角之間數(shù)量關(guān)系的重要公式，本節(jié)內(nèi)容同時又是學(xué)生學(xué)習(xí)解

三角形，幾何計算等后續(xù)知識的基礎(chǔ)，而且在物理學(xué)等其它學(xué)科、工

業(yè)生產(chǎn)以及日常生活等常常涉及解三角形的問題。

正弦定理

1.問題的引入：

(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,

會有無限遐想,不禁會問，

月亮離我們地球有多遠呢?科學(xué)家們是怎樣測出來的呢？

(2)設(shè)A,B兩點在河的兩岸，只給你米尺和量角設(shè)備,不過河你可

以測出它們之間的距離嗎？

我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具.

這節(jié)課我們就要從正弦這個側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦

定理。

【師】：請同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣

表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA=—,sinB=—,sinC=1

【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來?

【生】：邊C可以把他們聯(lián)系起來，即c=q,c=上,c=，，也

sinAsinBsinC

就是說在RtAABC中，-=―絲=—J

sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個

直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立

呢？

通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的

角的正弦值相等。在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三

個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的

驗證是不夠的，那能不能對這個定理給出一個證明呢？

2.定理的推導(dǎo)

回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系？

a=csinAZ>=csin區(qū)兩等式間有聯(lián)系嗎？

B

b

sinAsin

sjnc=1」sinAsin8sinC

思考:

對一般的三角形，這個結(jié)論還能成立嗎?

⑴當(dāng)AABC是銳角三角形時,結(jié)論是否還成立呢?

如圖:作A3上的高是C僅根據(jù)

三角形的定義，得到

CD=asinB,CD=bsinA

所以asinB=bsmAB

a_b

得到

sinAsin8

同理，作A￡1BC.有——=——

sinBsinC

a?____b—____c—____

sinAsinBsinC

3.正弦定理

⑵當(dāng)AABC是鈍角三角形時，以上等式是否仍然成立?

正弦定理:

a_b_c

sinAsinBsinC

(1)文字敘述

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角

的正弦的比相等,

(2)結(jié)枸特點和諧美、對稱美.

(3)方程的觀點

正弦定理實際上是已知其中三個,求另一個.

能否運用向量的方法來證明正弦定理呢?

在銳看角形中兩邊同取寫的數(shù)量積得

J(AC+CB)=JAB

(根據(jù)向量的數(shù)量積的定義)

|)|-|AC|?cos90+p|.|CB|-COS(900-C)

=|)|-Afi|-cos(90'-A)

］與前的夾角為—",即。?sinC=c?siiiA

］與曰的夾角為9(r-c,sinAsinC

］與標(biāo)的夾角為型二.同理過C點作，?垂直于國可得

由向量加法的三角形法則?.在銳角三角形目

sinCSinn

b_c

AC+CB=AJB也有

sinAsinBsinC

在鈍角三角形中

設(shè)NA>90"

過點4作與菽垂直的里位向量］,

則］與蒜的夾角為

］與赤的夾角為""C

具體證明過程

課下完成！

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，

并且得到了正弦定理對于直角、銳角、鈍角三角形都是成立

的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于

一個比例式來說，如果我們知道其中的三項，那么就可以根

據(jù)比例的運算性質(zhì)得到第四項。因此正弦定理的應(yīng)用主要有

哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或

者兩角一邊求出另外一邊。

【師】：其實大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實只要有上

面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊

和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

回扣引入

4.例題講解

例1.在AA5C中，已知c=10,A=45。,C=30°.

求角5和瓦

例2.在aABC中，已知a=2,b=2M,A=45°,

求B和c。

變式1：在AABC中，已知a=4,b=2G,A=45°,

一

變式2：在AABC中，已知a=-V3,b=272，

5.課堂練習(xí)3

1.在AA5C中

(1)已知)=12,4=30°,5=120°,求〃；

(2)已知義二退,。=1,5=60°,求。,和不C;

6.課堂小結(jié)

知識：1.正弦定理的內(nèi)容

2.正弦定理的應(yīng)