新工科數(shù)學基礎三 線性代數(shù)及Python實現(xiàn) 課件 4.1 -4.3 向量及其線性運算

第四章

向量組的相關性§4.1

向量及其線性運算定義1：n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量．分量全為實數(shù)的向量稱為實向量．分量為復數(shù)的向量稱為復向量．備注：本書一般只討論實向量（特別說明的除外）．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量．所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當作列向量．列向量用黑色小寫字母a,b,a,b等表示，行向量則用aT,bT,aT,bT

表示．

若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為一個向量組.

§4.2

向量的線性關系定義6：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)

k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．定義7：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

線性表示．4.2.1向量組的線性組合例：設那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維基本單位向量．含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.80定理1的結論：4.2.2向量組的線性相關性定義8：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關的，否則稱它是線性無關的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m備注：給定向量組A，不是線性相關，就是線性無關，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個向量：當

a

是零向量時，線性相關；當

a不是零向量時，線性無關．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關，也就是向量組A

中，至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關當且僅當a1,a2的分量對應成比例，其幾何意義是兩向量共線．a(chǎn)1,a2,a3

線性相關的幾何意義是三個向量共面．4.2.3向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．(P108定理1)向量組線性無關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．(P108定理1)向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．(P109定理1’)定理2：設向量組A：a1,a2,…,am線性無關，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．推論：設向量組A：a1,a2,…,am線性無關，且向量b

不能由向量組A

線性表示，則向量組B：a1,a2,…,am,b

線性無關.定理3：若向量組A：a1,a2,…,am線性相關，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關．定理3’：若向量組B線性無關，則向量組A線性無關．定理4：若向量組線性無關，則在各向量中相應增加分量后仍線性無關．定理4’：若向量組線性相關，則在各向量中相應減少分量后仍線性相關．

§4.3

向量組的秩4.3.1極大線性無關組定義10：設有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；那么稱向量組A0是向量組A

的一個極大線性無關向量組，簡稱最大無關組（極大無關組）．極大無關組的等價定義定義：設有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；【改為下面的一句話】向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個極大無關組．定理6：任一向量組和它的極大無關組等價.推論1：向量組的任何兩個極大無關組等價.推論2：向量組的任何兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相同.4.3.2向量組的秩定義11：設有向量組A

，如果在A

中能選出r

個向量a1,a2,…,ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；那么稱向量組A0

是向量組A

的一個最大線性無關向量組，簡稱最大無關組（極大無關組）．

最大無關組所含向量個數(shù)r

稱為向量組A

的秩，記作R(A)或R(a1,a2,…,ar).

n元線性方程組

Ax=b其中A是m×n

矩陣矩陣(A,b)向量組A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量組A線性表示？無解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是線性組合的系數(shù)唯一解R(A)=R(A,b)

=未知數(shù)個數(shù)表達式唯一無窮解R(A)=R(A,b)

<未知數(shù)個數(shù)表達式不唯一矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應Ax=b

有解當且僅當向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．4.3.3矩陣的秩和向量組的秩的關系回顧矩陣的秩第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．R(A0)=3，計算

A0的前

3行構成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．結論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．事實上，根據(jù)

R(A0)=3

可知：A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個線性無關的部分組．在矩陣A任取4個列向量，根據(jù)

R(A)=3

可知：A中所有4階子式都等于零，從而這4個列向量所對應的矩陣的秩小于

4，即這4個列向量線性相關．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大線性無關組．矩陣A

的列向量組的秩等于3．同理可證，矩陣A

的行向量組的秩也等于3．一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.115定理8）若Dr

是矩陣A

的一個最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個最大無關組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個最大無關組．向量組的最大無關組一般是不唯一的．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關性．解：可見R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關，同時，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個最大無關組．事實上，a1,a3

和a2,a3也是最大無關組．最大無關組的意義結論：向量組A

和它自己的最大無關組A0是等價的．用A0來代表A，掌握了最大無關組，就掌握了向量組的全體．

例：全體n維向量構成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關組及Rn的秩．解：

n階單位矩陣的列向量組是Rn的一個最大無關組，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩陣的列向量組是Rn的一個最大無關組嗎？(是)例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．例：設矩陣求矩陣A

的列向量組的一個最大無關組，并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．R(A0)=3，計算

A0的前

3行構成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大無關組．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合？思路1：思路2：利用矩陣A

的行最簡形矩陣．向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解令A0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（續(xù)）：為把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關系.可以看出：

b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4小結向量

b

能由向量組

A線性表示線性方程組

Ax=b

有解向量組

B

能由向量組

A線性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組

A

與向量組

B等價知識結構圖n維向量向量組向量組與矩陣的對應向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價判定定理及必要條件判定定理例：設證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當且僅當R(A)=R(A,b)．因為R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．行最簡形矩陣對應的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解題思路：轉化為齊次線性方程組的問題；轉化為矩陣的秩的問題．

例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解法2：轉化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因為|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關．設有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數(shù)矩陣設有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對于b1，存在一組實數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；對于b2，存在一組實數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……對于bl，存在一組實數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結論：矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，

B

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結論：矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，

A

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．口訣：左乘變行，右乘變列！定理：設A是一個m×n矩陣，對