新工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三 線性代數(shù)及Python實(shí)現(xiàn) 課件 4.1 -4.3 向量及其線性運(yùn)算

第四章

向量組的相關(guān)性§4.1

向量及其線性運(yùn)算定義1：n個(gè)有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量．分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量．分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．備注：本書一般只討論實(shí)向量（特別說明的除外）．行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量．所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量．列向量用黑色小寫字母a,b,a,b等表示，行向量則用aT,bT,aT,bT

表示．

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為一個(gè)向量組.

§4.2

向量的線性關(guān)系定義6：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實(shí)數(shù)

k1,k2,…,km

，表達(dá)式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個(gè)線性組合．k1,k2,…,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定義7：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實(shí)數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱向量b能由向量組

A

線性表示．4.2.1向量組的線性組合例：設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維基本單位向量．含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.80定理1的結(jié)論：4.2.2向量組的線性相關(guān)性定義8：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m備注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個(gè)向量：當(dāng)

a

是零向量時(shí)，線性相關(guān)；當(dāng)

a不是零向量時(shí)，線性無關(guān)．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關(guān)，也就是向量組A

中，至少有一個(gè)向量能由其余m－1個(gè)向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線．a(chǎn)1,a2,a3

線性相關(guān)的幾何意義是三個(gè)向量共面．4.2.3向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中至少有一個(gè)向量能由其余m－1個(gè)向量線性 表示．(P108定理1)向量組線性無關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中任何一個(gè)向量都不能由其余m－1個(gè)向量線 性表示．(P108定理1)向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中至少有一個(gè)向量能由其余m－1個(gè)向量線性 表示．向量組線性無關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中任何一個(gè)向量都不能由其余m－1個(gè)向量線 性表示．(P109定理1’)定理2：設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．推論：設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，且向量b

不能由向量組A

線性表示，則向量組B：a1,a2,…,am,b

線性無關(guān).定理3：若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)．定理3’：若向量組B線性無關(guān)，則向量組A線性無關(guān)．定理4：若向量組線性無關(guān)，則在各向量中相應(yīng)增加分量后仍線性無關(guān)．定理4’：若向量組線性相關(guān)，則在各向量中相應(yīng)減少分量后仍線性相關(guān)．

§4.3

向量組的秩4.3.1極大線性無關(guān)組定義10：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A

的一個(gè)極大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組（極大無關(guān)組）．極大無關(guān)組的等價(jià)定義定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；【改為下面的一句話】向量組A

中任意一個(gè)向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個(gè)極大無關(guān)組．定理6：任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).推論1：向量組的任何兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).推論2：向量組的任何兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同.4.3.2向量組的秩定義11：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r

個(gè)向量a1,a2,…,ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0

是向量組A

的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組（極大無關(guān)組）．

最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r

稱為向量組A

的秩，記作R(A)或R(a1,a2,…,ar).

n元線性方程組

Ax=b其中A是m×n

矩陣矩陣(A,b)向量組A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量組A線性表示？無解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是線性組合的系數(shù)唯一解R(A)=R(A,b)

=未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式唯一無窮解R(A)=R(A,b)

<未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式不唯一矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．4.3.3矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系回顧矩陣的秩第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．事實(shí)上，根據(jù)

R(A0)=3

可知：A0的

3個(gè)列向量就是矩陣A

的列向量組的一個(gè)線性無關(guān)的部分組．在矩陣A任取4個(gè)列向量，根據(jù)

R(A)=3

可知：A中所有4階子式都等于零，從而這4個(gè)列向量所對應(yīng)的矩陣的秩小于

4，即這4個(gè)列向量線性相關(guān)．A0的

3個(gè)列向量就是矩陣A

的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組．矩陣A

的列向量組的秩等于3．同理可證，矩陣A

的行向量組的秩也等于3．一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.115定理8）若Dr

是矩陣A

的一個(gè)最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組．向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)，同時(shí)，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個(gè)最大無關(guān)組．事實(shí)上，a1,a3

和a2,a3也是最大無關(guān)組．最大無關(guān)組的意義結(jié)論：向量組A

和它自己的最大無關(guān)組A0是等價(jià)的．用A0來代表A，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體．

例：全體n維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個(gè)最大無關(guān)組及Rn的秩．解：

n階單位矩陣的列向量組是Rn的一個(gè)最大無關(guān)組，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩陣的列向量組是Rn的一個(gè)最大無關(guān)組嗎？(是)例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．例：設(shè)矩陣求矩陣A

的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．A0的

3個(gè)列向量就是矩陣A

的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合？思路1：思路2：利用矩陣A

的行最簡形矩陣．向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解令A(yù)0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（續(xù)）：為把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關(guān)系.可以看出：

b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4小結(jié)向量

b

能由向量組

A線性表示線性方程組

Ax=b

有解向量組

B

能由向量組

A線性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組

A

與向量組

B等價(jià)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖n維向量向量組向量組與矩陣的對應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價(jià)判定定理及必要條件判定定理例：設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A,b)．因?yàn)镽(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時(shí)，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．

例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因?yàn)閨K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數(shù)矩陣設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對于b1，存在一組實(shí)數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；對于b2，存在一組實(shí)數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……對于bl，存在一組實(shí)數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，

B

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，

A

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．口訣：左乘變行，右乘變列！定理：設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對