高中數學函數解析(文)

函數

【知識點】

一、函數的概念：

1.映射：

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A

中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A7B

為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)7B(象”'

對于映射￡1-6來說，則應滿足：

(1)集合力中的每一個元素，在集合Z?中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合/中不同的元素，在集合8中對應的象可以是同一個；

(3)不要求集合6中的每一個元素在集合A中都有原象。

2.函數的概念：

設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個

數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B

的一個函數.記作：y=f(x),xGA.

其中，X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做

函數值，函數值的集合｛f(x)|xCA｝叫做函數的值域.

函數的三要素：定義域、對應關系、值域.

3.如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等.

4.函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

1.設函數/(X)對任意X、y滿足f(x+y)=f(x)+/(y),且〃2)=4,則〃-1)=(A)

A.-2B.±-C.±1D.2

2

2.下列各組函數中，表示同一函數的是(A)

x2-4[x(x>0)

A<x)=l,g(x)=x0B.J(x)=x+2,g(x尸...-C.7(jr)=|x|,g(x)=\尸尤,

x-21-x(x<0)

g(x)=(4)2

二、定義域及值域的求法：

1定義域的求法

能使函數式有意義的實數X的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時，列不等式

組的主要依據是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；

(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1；

(5)指數為零，底不可以等于零；

(6)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部

分都有意義的x的值組成的集合；

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

2值域的求法：

(1)觀察法：

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

(2)配方法:

(二次或四次)轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；

常轉化為含有自變量的平方式與常數的和，型如：/(幻=依2+法+,/€(加,〃)的形

式，然后根據變量的取值范圍確定函數的最值。

⑶換元法:

代數換元法通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的：三角代換法可將代數函數

的最值問題轉化為三角函數的最值問題，化歸思想。

(4)分離常數法：

對某些分式函數，可通過分離常數法，化成部分分式來求值域。

(5)反求法：

通過反解，用y來表示X,再由X的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；常

用來解，型如：y=

cx+d

(6)判別式法：

若函數產f(x)可以化成一個系數含有y的關于x的二次方程a(y)x+6(y)x^c(y)

=0,則在a(y)WO時，由于x、y為實數，故必須有4=爐(y)—4a(y)?c(y)》0,從

而確定函數的最值，檢驗這個最值在定義域內有相應的x值。

(7)最值法：

對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的極值，并與邊

界值f(a),f(b)作比較，求出函數的最值，可得到函數y的值域。

(8)基本不等式法：

k

轉化成型如：y=x+2(Z>0),利用基本不等式公式來求值域。

x

(9)單調性法：

函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

如果函數尸f(x)在區(qū)間[a,加上單調遞增，在區(qū)間"，c]上單調遞減則函數片在

x=b處有最大值；

如果函數片/'(x)在區(qū)間[a,6]上單調遞減，在區(qū)間"，c]上單調遞增則函數尸f(x)在

2b處有最小值F(力

(10)數形結合：

根據函數圖象或函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

(11)構造法：

根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。

(12)導數法：

利用導數求值域。

1.已知函數/(幻的定義域為[0,4],求函數y=/(x+3)+/(x2)的定義域為()

A.[-2,-1]B.[1,2]C.[-2,1]D.[-1,2]

2.函數y=43—的值域為[0,2]

3

邛-1,xW0,(一8,一

/(尤)=?_i，若/(%)>1,則無o的取值范圍是

0.

4.函數y=|x+l|+|x-2|的值域為-3,+8)

5、12012高考山東文3】函數〃x)=——+J4—W的定義域為

ln(x+l)

(A)[-2,0)U(0,2](B)(-1,0)U(0,2](C)[-2,2](D)(-l,2]

【答案】B

【解析】方法一：特值法，當％=-2時，/(x)=ln(x+l)無意義，排除A,C.當x=0時,

/(O)=ln(O+l)=lnl=O,不能充當分母，所以排除D,選B.

x+1>0x>-l

方法二：要使函數有意義則有Jn(x+1)HO,即(xHO，即一1<X<0或0<XK2,

4-x2>0-2<x<2

I、

選B.

三、解析式的求法：

1.待定系數法：

已知函數圖象，確定函數解析式，或已知函數的類型且函數滿足的方程時，常用待定

系數法。

2.函數性質法：

如果題目中給出函數的某些性質(如奇偶性、周期性)，則可利用這些性質求出解析式。

3.圖象變換法：

若給出函數圖象的變化過程，要求確定圖象所對應的函數解析式，則可用圖象變換法。

4.換元法：

5.配湊法：

6.賦值(式)法：

1.(07安徽)圖中的圖象所表示的函數的解析式為()

3

A.y=-\x-1\(0WxW2)

33

B.y=---\x-\\(0WxW2)

3

C.y=-—1x-11(0WxW2)

D.y=1—|X—11(0WxW2)

答案B

2.12012高考重慶文12】函數/(x)=(x+a)(x—4)為偶函數，則解析式為一一

【答案】/(—x)=/(x),a=4f(x)=(x+4)(x-4)

3.曲線y=d-尤+3在點(1,3)處的切線方程為.

3.2x-y+l=0

4.如果函數)的圖象與函數g(x)=3-2x的圖象關于坐標原點對稱，則)，=/")的表

達式為()

A.y=2x-3B,y=2x+3C.y=-2x+3D.y=-2x-3

四、函數圖象:

1.定義：

在平面直角坐標系中，以函數,&GA)中的x為橫坐標，函數值，為縱坐標

的點P4,力的集合C,叫做函數y=f(x),(xGA)的圖象.C上每一點的坐標底,力均滿足

函數關系產反過來，以滿足的每一組有序實數對八y為坐標的點小，y),

均在C上.

2.畫法：

(1)描點法：

(2)圖象變換法：

常用變換方法有三種：平移變換、伸縮變換、對稱變換

3.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數軸表示.

1.12012高考四川文4】函數)，="一。(。＞0,。工1)的圖象可能是()

【答案】C

【解析】當。＞1時單調遞增，一。＜0,故A不正確；因為

y=a*-a(a＞0,aHl)恒不過點(1,1),所以B不正確；當0＜。＜1時

單調遞減,，一1＜一。＜0故C正確；

2.(2012年高考(四川文))函數丁=優(yōu)一。(。＞0,。/1)的圖象可能是C

3.(2009山東卷文)函數y=-----的圖像大致為().

e-e

答案A.

解析函數有意義，需使/-e-,HO,其定義域為{x|xwo},排除C,D,又因為

y==三二」=1+-7=~,所以當x>0時函數為減函數，故選A.

ex-e-xe2x-\e2r-l

【命題立意】：本題考查了函數的圖象以及函數的定義域、值域、單調性等性質.本題的難點

在于給出的函數比較復雜，需要對其先變形,再在定義域內對其進行考察其余的性質.

4.(07安徽)圖中的圖象所表示的函數的解析式為

3

A.y-(0WxW2)

33

B.^=———|x-11(0WxW2)

3

C.^=--|x-l|(0WxW2)

D.^=l-|x-l|(0WxW2)

答案B

五、函數的單調性：

1.定義：

設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量

xi,x2,當xi〈X2時，都有f(xi)〈f(xz),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數.區(qū)間Q稱為y=f(x)

的單調增區(qū)間.

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值Xrxz,當xKx?時，都有f(xi)>f(xj,那

么就說/Y/在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間必稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.

注意：函數的單調性是函數的局部性旅

2.圖象的特點：

如果函數y=F⑨在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數在這一區(qū)間上具有

(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右

是下降的.

3.函數單調區(qū)間與單調性的判定方法：

(1)定義法：

①任取X1,X2GD,且X1〈X2；②作差f(X)-f(X2)；

③變形(通常是因式分解和配方)；(4)定號(即判斷差f(xj-f(x”的正負)；

⑤下結論(指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

(2)圖象法(從圖象上看升降)

4.函數單調性的常用結論：

⑴若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數,則/(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)

函數；

(2)若/(x)為增(減)函數，則—/(x)為減(增)函數；

⑶若/(x)與g(x)的單調性相同，則y=/［g(x)］是增函數；若/(x)與g(x)的單調性不

同，則y=/［g(x)］是減函數；其規(guī)律：“同增異減”

(4)奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反；

(5)常用函數的單調性解答：比較大小、求值域與最值、解不等式、證不等式、作函數圖象;

(6)函數的單調區(qū)間只能是定義域的子區(qū)間，不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成并集。

1.下列四個函數：①y=---;②y=③y=-(x+l)2；@y=----+2,其

x-1\-x

中在(90,0)上為減函數的是(A)o

(A)①(B)④(C)①、④(D)①、②、④

2.已知/(幻=(x-2)2,xe［-1,3］,函數/(x+1)的單調遞減區(qū)間為「一2,11

3.(07天津)在R上定義的函數/(x)是偶函數，且/(x)=/(2—x),若/(X)在區(qū)間［1,2］

是減函數，則函數/(%)()

A.在區(qū)間［-2,—1］上是增函數，區(qū)間［3,4］上是增函數

B.在區(qū)間［-2,-1］上是增函數，區(qū)間［3,4］上是減函數

C.在區(qū)間上是減函數，區(qū)間［3,4］上是增函數

I).在區(qū)間［-2,—1］上是減函數，區(qū)間［3,4］上是減函數

答案B

4.(2005年上海13)若函數/(x)=w，u，則該函數在(-8,2)上是()

A.單調遞減；無最小值B.單調遞減；有最小值

C.單調遞增；無最大值D.單調遞增；有最大值

答案A

5.(2009廣東三校一模)設函數/(x)=(l+x)2—21n(l+x).

⑴求/(x)的單調區(qū)間；

解(1)函數的定義域為(-I,y),/'(x)=2(》+1)-+=當/.

由/'(九)>0得x>0；

由廣(x)<0得一1<x<0,則增區(qū)間為(0,+8)，減區(qū)間為(一1,0).

6函數y='x2-lnx的單調遞減區(qū)間為(B)

2

A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+8)D.(0,+8)

7.(2012年高考(山東文))已知函數，(幻=虹些"為常數,e=2.71828是自然對數的底

ex

數)，曲線y=/*)在點處的切線與x軸平行.

(I)求力的值；

(II)求f(x)的單調區(qū)間；

1,,

--uXX—K.,

71.解：(I)f\x)=^--------，由己知，/(1)=-=0,A^=1.

ee

1?t

(ID由(D知，f\x)=^-------.

e

設k(x)=1-InX-1,則N(x)=即k(x)在(0,+oo)上是減函數，

XXX

由MD=0知，當0<x<l時k(x)>0,從而f\x)>0,

當x>1時k(x)<0,從而/'(x)<0.

綜上可知，/(X)的單調遞增區(qū)間是(0,1),單調遞減區(qū)間是(l,+oo).

六、函數的奇偶性：

1.定義：

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫

做偶函數.

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就

叫做奇函數

2.具有奇偶性的函數的圖象的特征：

偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.

3.判斷函數奇偶性的步驟：

①首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；

②確定f(-x)與f(x)的關系；

③作出相應結論：若f(一x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數；

若f(—X)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.

4.函數奇偶性的常用結論：

(1)如果一個奇函數在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個函數y=/(x)既是奇函數

又是偶函數，則/(x)=0(反之不成立)

(2)兩個奇(偶)函數之和(差)為奇(偶)函數；之積(商)為偶函數。

(3)一個奇函數與一個偶函數的積(商)為奇函數。

(4)兩個函數>=/(〃)和〃=g(x)復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該

復合函數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。

(5)若函數/(x)的定義域關于原點對稱，則/(x)可以表示為

/(x)=；"(》)+/(-^)]+|[/W-/(-初，

該式的特點是：右端為一個奇函數和一個偶函數的和。

(6)若函數y=/(x)是偶函數，則/'(x+a)=/(—x-a)；

若函數y=/(x+4)是偶函數，則/(x+a)=f(-x-\-d).

(7)多項式函數的奇偶性

多項式函數P(x)是奇函數=P(x)的偶次項(即奇數項)的系數全為零.

多項式函數P(x)是偶函數=P(x)的奇次項(即偶數項)的系數全為零.

I.12012高考陜西文2】下列函數中，既是奇函數又是增函數的為()

,,1.?

A.y=x+lB.y=-x'C.y=—D.y=x|九|

x

【答案】D.

【解析】根據奇偶性的定義和基本初等函數的性質易知A非奇非偶的增函數；B是奇函數

無2r>0

且是減函數;C是奇函數且在(—8,0),(0,+8)上是減函數;D中函數可化為y=4；一

-x,x<0

易知是奇函數且是增函數.故選D.

2.(2012年高考(上海文))已知y=/(x)是奇函數.若g(x)=/(尤)+2且g⑴=1.，則

g(T)=______12.g(T)=4-g⑴=3

3.試判斷下列函數的奇偶性：

(1)/(x)=|x+2|+|x-2|;(2)/(加四三；(3)/(x)=^(x-l)°.

|x+3|-3x

3.ft?：(1)函數的定義域為R,x)=|—x+2|+|—x—2|=|x—2|+|x+2|=/(x),

故為偶函數.

(2)由(一八得：—14x41且XH0,定義域為[-1,0)U(0,1],關于原點對稱，

[|x+3|-3Ho

/(x)=j—;二」—―，/(-X)=X=-f(x)?故/(X)為奇函數.

(3)函數的定義域為(-8,0)U(0,1)U(1,+8),它不關于原點對稱，故函數既非奇函數,

又非偶函數.

七、函數的周期性：

1.定義：

一般地，對于函數/(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值

時，都有/(x+T)=/(x),那么函數/(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做函數的周期。

2.函數周期性的性質：

(1)對于非零常數A,若函數y=/(x)滿足/(x+A)=-/(x),則函數y=/(x)必有一個

周期為2A。

(2)對于非零常數A,函數y=/(x)滿足/(x+A)=」一，則函數y=/(x)的一個周期為

/(x)

2A。

(3)對于非零常數A,函數y=〃x)滿足〃幻=---,則函數y=〃x)的一個周期為2A。

/(x)

3.對稱性和周期性之間的聯系：

(1)函數y=f(x)有兩根對稱軸產a,產6時，那么該函數必是周期函數，且對稱軸之間距

離的兩倍必是函數的一個周期。

(2)函數y=/(x)滿足/(4+#+/(4—幻=0和/3+*)+/仍一幻=0(aW6)時，函數

y=/(x)是周期函數。

(函數y=/(x)圖象有兩個對稱中心(a,￡)、"，-)時，函數y=/(x)是周期函數，

且對稱中心距離的兩倍，是函數的一個周期。)

(3)函數y=/(x)有一個對稱中心(a,c)和一個對稱軸x=。)(a#8)時，該函數也是

周期函數，且一個周期是4S-“)

1.(2009山東卷理)定義在R上的函數fi(x)滿足出x)=4°g2(l-“)，x"°,

則f(2009)的值為()

A.-lB.0C.lD.2

答案C

解析由已知得/(-i)=iog22=1,y(o)=o,/(i)=/(o)-/(-i)=-i,

/(2)=/(1)-/(0)=-l,/(3)=/(2)一/⑴=—1—(—1)=o,

/(4)=./?⑶-/(2)=0-(T)=1,〃5)=/(4)-/⑶=1,/(6)=〃5)-/(4)=0,

所以函數f(x)的值以6為周期重復性出現.，所以f(2009)=f(5)=1,故選C.

【命題立意】：本題考查歸納推理以及函數的周期性和對數的運算.

2.(2009廣東三校一模)定義在火上的函數/(x)是奇函數又是以2為周期的周期函數，則

/⑴+/(4)+/(7)等于()

A.-lB.0C.1D.4

答案B

八、一次函數：

形如y=kx+b,k,bwR,kW0的函數

九、二次函數：

1.一般式：f(x)=ax~++C,6Z0

2

2.頂點式：f(x)=a(x—m)+n9a^0

3.零點式：f(x)=a(x-Xj)(x-x2),a^0

十、反比例函數：

k

形如y=—WO的函數

X

1.我們常用分離常數的方法將一個分式型函數轉化為反比例函數來研究:

a,adbad

(zcx+d)+b-

ax-Vhccacr1

=—+---M(〃,CWO)

cx+dcx-Vdc.d

x-\——

與bb_d_?)

a(x+%+一a(

aax-\rbaa(a

或：)=_(1+一)，+cac3*0)

cx+d,dcd,cl

c(x+)x+X+%+

ccc

-\^一■、指數函數:

1根式的性質：

①(必)"=a；

②當〃為奇數時，折=a；

當〃為偶數時，底7=|a|=("(a~0)

l-tz(a<0)

2.指數函數:

函數名稱指數函數

定義函數y=a'(a>0且aH1)叫做指數函數

a>10<a<l

J[21r

圖象

(0,1)

2__.

AX

定義域R

值域(0,+8)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=l

奇偶性非奇非偶

單調性在R上是增函數在火上是減函數

ax>1(x>0)ax<1(x>0)

函數值的

優(yōu)=](=0)ax=1(x=0)

變化情況x

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

a變化

對圖象在第一象限內，。越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低

的影響

十二、對數函數：

1.對數：

①定義：如果a（a>0,且。聲1）的b次嘉等于N,就是a〃=N,那么數b稱以a為底N的

對數，記作log。N=b，其中a稱對數的底，N稱真數

1）以10為底的對數稱常用對數，logioN記作IgN；

2）以無理數e（e=2.71828…）為底的對數稱自然對數，log,N,記作InN

②基本性質：

1）真數N為正數（負數和零無對數）；

h

2）對數恒等式：log01=0,log,,a=l,。嚏"N=N,logaa=b

3）對數式與指數式的互化：x=log“Naa'=N（a>0,aHl,N>0）

③運算性質：

如果a>0,a，l,M>0,N>0,那么

1）加法：log“M+log?N=log"（MN）

M

2）減法：logaM-log“N=log?—

3）數乘：nlogrtM=log“M"（nGR）

4）換底公式：log“N=?（a>0,aH0,m>0/nH1,N>0）；

log,”a

ll

log“b10g,<7=1；logb"=—log?b

zm

2.對數函數：

logflx>0(x>l)log?x<0(x>l)

函數值的logx=0(x=l)logx=0(x=l)

變化情況aa

log。x<0(0<JC<1)log“x>0(0<x<1)

a變化

對圖象在第一象限內，。越大圖象越靠低；在第四象限內，。越大圖象越靠高

的影響

十三、幕函數:

1.某函數的定義

一般地，函數y=/叫做事函數，其中x為自變量，。是常數.

2.暴函數的圖象|

3.幕函數的性質

①圖象分布：

幕函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數是偶函數時，圖象分布

在第一、二象限（圖象關于y軸對稱）；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限（圖象關于原點

對稱）；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：

所有的暴函數在（0,+°。）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）

③單調性：

如果a>0,則募函數的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數.如果a<0,則塞

函數的圖象在（0,+8）上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：

當a為奇數時，幕函數為奇函數，當a為偶數時，幕函數為偶函數.當儀=幺（其中p心

P

互質，”和qeZ）,若“為奇數q為奇數時，則〉=》"是奇函數，若p為奇數（7為偶數時,

幺1

則y=x°是偶函數，若P為偶數令為奇數時，則y=x0是非奇非偶函數.

⑤圖象特征：

幕函數y=xa,xe(0,+8),當&>1時，若其圖象在直線y=x下方，若

x>l,其圖象在直線y=x上方，當a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若

x>l,其圖象在直線y=x下方.

十四、復合函數：

1.定義：

設y=f(u)的定義域為A,u=g(x)的值域為B,若A2B,則y關于x函數的y=fEg(x)］

叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.

2.定義域：

⑴已知CO的定義域為(a,b),求用劭的定義域的方法：

實際上是已知中間變量的〃的取值范圍，即空w(a,*),昉，

通過解不等式a<B(x)<五求得義的范圍，即為及底》的定義域。

(2)已知/38)的定義域為(a,b),求的定義域的方法：

實際上是已知直接變量X的取值范圍，即xwQfc協。先利用avxv,求得gG)的

范圍，則&G)的范圍即是/(x)的定義域。

3.值域：

關鍵是由里向外，逐層解決。

4.解析式：

(1)己知/(X)求復合函數加的解析式，直接把了(X)中的X換成g)即可.

⑵已知mo)］求/⑸的常用方法有：配湊法和換元法。

1、配湊法就是在加0)］中把關于變量X的表達式先湊成身。)整體的表達式，再直接把

的)換成戈而得了(X)

2、換元法就是先設雙X)='，從中解出文(即用t表示M),再把M(關于t的式子)

直接代入力X*)］中消去“得到了(0,最后把/夕)中的，直接換成x即得了G)

5.單調性：

(1)引理證明：

已知函數y=/(g(x)).若〃=g(x)在區(qū)間)上是減函數，其值域為(c,d),又

函數y=/(〃)在區(qū)間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數y=/(g(x))在區(qū)間(。為)上

是增函數.

(2)復合函數單調性的判斷：

復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表:

y=/(?)增/減、

u=g(x)增/減、增/減、

y=/(g(x))增/減、減、增/

以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.

(3)復合函數)，=/(g(x))的單調性判斷步驟：

1、確定函數的定義域；

2、將復合函數分解成兩個簡單函數：>=/(“)與“=8(幻。

3、分別確定分解成的兩個函數的單調性；

4、若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相同(即都是增函數，或都是減函數)，則復合后

的函數y=/(g(x))為增函數；若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相異(即一個是增函數,

而另一個是減函數)，則復合后的函數y=/(g(x))為減函數。

6.奇偶性：

(1)若內函數為偶函數，那么復合函數的奇偶性與外函數無關，必為偶函數；

(2)若內與外函數都為奇函數，那么復合函數也是奇函數；

(3)若內函數為奇函數，外函數為偶函數，那么復合函數必為偶函數。

除以上類型外，其它類復合函數的奇偶性和須嚴格按函數奇偶性定義來判斷。

十五、反函數：

1.定義：

一般地，對于函數y=f(x),設它的定義域為D,值域為A。如果對于A中的任意一

個值丁，在D中總有惟一確定的x值與它對應，使y=/(x),這樣得到x關于丁的函

數叫函數J=f(X)的反函數。記作X=f-'(y).習慣上，把它改寫為J=f-'(x)(XGA)。

2.求反函數的基本步驟：

(1)求值域：求原函數的值域

(2)反解：視y為常量，從y=/(x)中解出唯一表達式x=/T(y),

(3)對換：將x與y互換，得y=/T(x),并注明定義域。

3.反函數丁=.尸(力與原函數y=/(x)的關系：

(1)y=/T(x)的定義域、值域分別為y=/(x)的值域、定義域。

(2)若y=存在反函數，且y=/(x)為奇函數，則y=/T(x)也為奇函數。

(3)若＞="X)為單調函數，則了=/T(X)同y=〃x)有相同的單調性。

(4)丫=/(九)和丁=廣|(刈在同一直角坐標系中，圖像關于y=x對稱。

4.存在反函數的條件是：函數為單調函數(或一一對應)

例【2012高考全國文2】函數y=Jx+l(xN-l)的反函數為

(A)y-x1-l(x>0)(B)y-x2-l(x>1)

(C)y=x2+l(x>0)(D)y=x2+l(x>1)

【答案】B

函數練習

一、選擇題(本大題共12小題，每小題4分，共48分)

1.己知集合A={x|x<3},B={X|2"T>1},則()

A.{x|x>l}B.{x|x<3}C.{x[l<x<3}D.0

2函數〃x)=—!—+14-f的定義域為()

ln(x+l)

(A)[-2,0)U(0,2](B)(-1,0)U(0,2](C)[-2,2](D)(-l,2]

1—JC2,xWl,(1、

3設函數/(x)=,則/的值為()

X2+X-2,X>1,'1/(2)J

D.18

有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.下列各組函數中，表示同一函數的是（）.

.，x2

A.y=l,>=一B.y-y/x-YJrJx+l,y-Jx-1

x

C.y=x,y=V?D.y=|xI,y=(GA

6.函數凡v）=lnr—嚏的零點所在的區(qū)間是

A.(O,1)B.(l,e)C.(e,3)D.(3,+oo)

7.已知f（五+l）=x+l,則f（x）的解析式為（）

A.x'B.x2+1（x^l）C.x2—2x+2（x2l）D.x2—2x（x^l）

8.一等腰三角形的周長是20,底邊y是關于腰長x的函數，它的解析式為（）

A.y=20-2x(x^l0)B.y=20-2x(x<10)

C.y=20-2x(5WxW10)D.y=20-2x(5<x<10)

9.函數/@）=1°81（1_*）5+3）的遞減區(qū)間是（）

A.(-3,-1)B.(-8,-1)C.(-8,-3)D.(-1,一8)

10.若函數f（x）=l+1是奇函數，則m的值是（）

A.0B.-C.1D.2

2

(3a-Dx+4a,x<l

11.己知凡r)=《、是R上的減函數，那么。的取值范圍是()

log”X9X71.

A.(0,l)B.(0,1)C.［|,|)D.［1,1)

12.定義在R的偶函數段)在［0,+oo)上單調遞減，且心=0,則滿足"。蠢)<0的x的

集合為()

A.(-8,1)U(2,+OO)B.(1,1)U(1,2)C.(1,1)U(2,+OO)D.(0,1)U(2,

+oo)

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13?若(a+l)T<(3一2/，則a的取值范圍是?

14、若4=0.53,匕=3