安徽省蕪湖市中小學(xué)校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點(diǎn)B'不在平面AMC內(nèi),點(diǎn)P是線段B'C上一點(diǎn).若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心3.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.5.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.6.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.7.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9.記個(gè)兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間10.已知甲盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,乙盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則()A. B.C. D.11.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.12.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.已知若存在,使得成立的最大正整數(shù)為6,則的取值范圍為________.15.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.16.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái).校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82818.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,為線段的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點(diǎn),當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求三棱錐的體積.20.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫(kù)”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機(jī)選取2人,假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.21.(12分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)構(gòu)成曲線,證明:過原點(diǎn)的任意直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,為的中點(diǎn),是上的點(diǎn).(1)若平面,證明:平面.(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由可得,故可求的值.【詳解】因?yàn)?,所以,故,因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.2、A【解析】

根據(jù)題意P到兩個(gè)平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個(gè)平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.3、B【解析】

函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時(shí)的值,然后根據(jù)變化時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠(yuǎn)在的上方,設(shè)與的切點(diǎn),則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.4、B【解析】

求出,把坐標(biāo)代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值.5、A【解析】

由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因?yàn)?,所以的解集為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】略7、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.8、A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法:9、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí),.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)?,由圖像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題10、A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果,從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小,再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清,對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì),利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個(gè)球,有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球,紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個(gè)球,有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán),對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問題,在解題的過程中,需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白,對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算,以及變量的可取值會(huì)分析是多少,利用期望公式求得結(jié)果.11、A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)?,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)?,所以的定義域?yàn)?,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.12、C【解析】

先求出,再由,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得.【詳解】由題可知,因?yàn)?,所以有,得,故選:C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式,向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、【解析】

由題意得,分類討論作出函數(shù)圖象,求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價(jià)于,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;綜上,滿足條件的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的最值求解,存在性問題的求解等,考查了分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.15、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當(dāng)時(shí),,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),是基礎(chǔ)題.16、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)詳見解析.【解析】

(1)計(jì)算得到,由此可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.【詳解】(1)∵的觀測(cè)值,有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解;關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布,進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.18、(1);(2)【解析】

(1)由已知條件和正弦定理進(jìn)行邊角互化得,再根據(jù)余弦定理可求得值.(2)由正弦定理得,,代入得,運(yùn)用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】(1)由及正弦定理得,即由余弦定理得,,.(2)設(shè)外接圓的半徑為,則由正弦定理得,,,.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用其公式,合理地選擇進(jìn)行邊角互化,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見解析;(2).【解析】

(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因?yàn)槭钦切?,為線段的中點(diǎn),所以.因?yàn)槭橇庑?,所以.因?yàn)?,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則.于是,,.設(shè)面的一個(gè)法向量,由得令,則,即.設(shè),易得,.設(shè)面的一個(gè)法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)680元.【解析】

(1)根據(jù)題意,列方程,然后求解即可(2)根據(jù)題意,計(jì)算出10000元使用“余額寶”的利息為(元)和10000元使用“財(cái)富通”的利息為(元),得到所有可能的取值為560(元),700(元),840(元),然后根據(jù)所有可能的取值,計(jì)算出相應(yīng)的概率,并列出的分布列表,然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】(1)據(jù)題意,得,所以.(2)據(jù),得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人,使用“財(cái)富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為(元).10000元使用“財(cái)富通”的利息為(元).所有可能的取值為560(元),700(元),840(元).,,.的分布列為560700840所以(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學(xué)期望問題,屬于基礎(chǔ)題21、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)由恒成立,可得恒成立,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性,進(jìn)而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,則,,進(jìn)而可得,即曲線的方程為,進(jìn)而只需證明對(duì)任意,方程有唯一解,然后構(gòu)造函數(shù),分、和三種情況,分別證明函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,則.令,則,,,在上單調(diào)遞增,又,時(shí),;時(shí),,即時(shí),;時(shí),,時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,時(shí),取最小值,.(2)證明:由,令,由,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的極值點(diǎn),則,,,曲線的方程為.故只需證明對(duì)任意,方程有唯一解.令,則,①當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增.,,,存在滿足時(shí),使得.又單調(diào)遞增,所以為唯一解.②當(dāng)時(shí),二次函數(shù),滿足,則恒成立,在上單調(diào)遞增.,,存在使得,又在上單調(diào)遞增,為唯一解.③當(dāng)時(shí),二次函數(shù),滿足,此時(shí)有兩個(gè)不同的解

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