2024成都中考數(shù)學(xué)二輪微專題 利用隱形圓解決最值問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練 (含答案)

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪微專題利用隱形圓解決最值問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練模型一定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓模型分析如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓或圓弧的一部分．推廣：在折疊或旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)利用“定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓”模型確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．模型應(yīng)用1.如圖，已知△ABC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，請(qǐng)你在圖中畫出點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡．第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線折疊得到△A′EF，請(qǐng)你在圖中畫出點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡．(保留作圖痕跡不寫作法)第2題圖模型二直角對(duì)直徑模型分析(1)半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是90°.如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AB為⊙O的直徑；(2)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑(定弦對(duì)定角的特殊形式)．如圖②，在△ABC中，∠C＝90°，C為動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含A、B兩點(diǎn))．模型應(yīng)用3.如圖，已知線段AB.請(qǐng)?jiān)趫D中畫出使∠APB＝90°的所有點(diǎn)P.第3題圖4.如圖，已知矩形ABCD，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BCD的邊上畫出使∠BPC＝90°的所有點(diǎn)P.第4題圖模型三定弦對(duì)定角(非90°)模型分析固定的線段只要對(duì)應(yīng)固定的角度(可以不是90°)也叫定弦對(duì)定角，且這個(gè)角的頂點(diǎn)軌跡為圓上的一段弧．(1)如圖①，在⊙O中，若弦AB長(zhǎng)度固定，則弦AB所對(duì)的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用)；(2)如圖②，若有一固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知，點(diǎn)C在⊙O的eq\o(ACB,\s\up8(︵))上均可(至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)；等于90°，則點(diǎn)C在半圓上運(yùn)動(dòng)；大于90°，則點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng))模型應(yīng)用5.如圖，已知線段AB.(1)請(qǐng)?jiān)趫D①畫出線段AB上方使∠APB＝60°的所有點(diǎn)P；(2)請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出線段AB上方使∠APB＝45°的所有點(diǎn)P.第5題圖6.如圖，已知四邊形ABCD.(1)如圖①，在矩形ABCD中，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BCD的邊上畫出使∠APB＝30°的所有點(diǎn)P；(2)如圖②，在矩形ABCD中，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BCD的邊上畫出使∠BPC＝60°的所有點(diǎn)P；(3)如圖③，在正方形ABCD中，請(qǐng)?jiān)谡叫蜛BCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點(diǎn)P；(4)如圖④，在矩形ABCD中，請(qǐng)?jiān)诰匦蜛BCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點(diǎn)P.第6題圖模型四四點(diǎn)共圓模型分析如圖①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，取AB中點(diǎn)O，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．1．共斜邊的兩個(gè)直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都會(huì)得到四點(diǎn)共圓；2．四點(diǎn)共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是證明角度相等的重要途徑之一．模型應(yīng)用7.在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過(guò)點(diǎn)B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，BC的中點(diǎn)是M，連接CD，MD，ME，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.CD＝2MEB.ME∥ABC.BD＝CDD.ME＝MD8.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，求CQ的最大值．第8題圖模型五點(diǎn)圓最值模型分析已知，在平面內(nèi)一定點(diǎn)D和⊙O上動(dòng)點(diǎn)E的所有連線中，當(dāng)連線過(guò)圓心O時(shí)，線段DE有最大(小)值，具體分以下三種情況討論(設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間的距離為d，⊙O的半徑為r)：位置關(guān)系點(diǎn)D在⊙O內(nèi)點(diǎn)D在⊙O上點(diǎn)D在⊙O外圖示DE的最大值________________________此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)EDE的最小值________________________此時(shí)點(diǎn)E的位置連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E點(diǎn)E與點(diǎn)D重合連接OD交⊙O于點(diǎn)E模型應(yīng)用9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半徑為1，若圓心O在矩形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)C到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值為_(kāi)_______．第9題圖10.如圖，在墻角放置一個(gè)“T”型鋼尺，已知鋼尺的一邊AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，CM＝8，AB沿墻壁邊向下滑動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為_(kāi)_______．第10題圖模型六線圓最值模型分析1．如圖，AB為⊙O的一條定弦，點(diǎn)C為AB一側(cè)弧上一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖①，點(diǎn)C在優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，當(dāng)CH⊥AB且CH過(guò)圓心O時(shí)，線段CH即為點(diǎn)C到弦AB的最大距離，此時(shí)S△ABC最大；(2)如圖②，點(diǎn)C在劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，當(dāng)CH⊥AB且圓心O在CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段CH即為點(diǎn)C到弦AB的最大距離，此時(shí)S△ABC最大．2．如圖，⊙O與直線l相離，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)圓心O到直線l的距離為d，⊙O的半徑為r，則點(diǎn)P到直線l的最小距離是d－r(如圖③)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是d＋r(如圖④)．推廣：在解決某些面積最值問(wèn)題時(shí)，常利用此模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)到定邊的最大(小)距離，從而利用面積公式求解．模型應(yīng)用11.如圖，AB是⊙O的弦，C是優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，連接AC、BC，若⊙O的半徑為4，∠ACB＝60°，求△ABC面積的最大值．第11題圖12.如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M為AB的中點(diǎn)，E為BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△MBE沿ME折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，求△CDF面積的最小值．第12題圖參考答案1.解：如解圖所示：第1題解圖2.解：如解圖所示：第2題解圖3.解：如解圖，⊙O即為所求P點(diǎn)的軌跡，不含A、B兩點(diǎn)．第3題解圖4.解：如解圖，點(diǎn)P1、P2即為所求點(diǎn)．第4題解圖5.解：(1)如解圖①，點(diǎn)P在所作圓弧上(A、B兩點(diǎn)除外)；(2)如解圖②，點(diǎn)P在所作圓弧上(A、B兩點(diǎn)除外)．第5題解圖6.解：(1)如解圖①所示，點(diǎn)P1、P2即為所求；(2)如解圖②所示，點(diǎn)P1、P2、P3、P4即為所求；(3)如解圖③所示，點(diǎn)P1、P2即為所求；(4)如解圖④所示，點(diǎn)P1、P2即為所求．圖①圖②圖③圖④第6題解圖7.A【解析】如解圖，延長(zhǎng)EM交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過(guò)點(diǎn)B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，由此可得點(diǎn)A、C、D、B四點(diǎn)共圓，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(選項(xiàng)C正確)，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(選項(xiàng)D正確)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(選項(xiàng)B正確)．假設(shè)CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵無(wú)法確定∠DCM的大小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．第7題解圖8.解：如解圖，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，∴A、P、B、C四點(diǎn)共圓，∵AB為⊙O直徑，圓心為AB的中點(diǎn)O，∴點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠A＝∠CPB，∴△ABC∽△PQC，∴eq\f(QC,PC)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,4)，∴CQ＝eq\f(3,4)PC，要使得CQ最大，只需PC最大，當(dāng)PC為⊙O的直徑時(shí)，PC取得最大值，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最大值為5，∴CQ的最大值為eq\f(15,4).第8題解圖【模型分析】d＋r，2r，d＋r，r－d，0，d－r9.6【解析】如解圖，在⊙O上任取一點(diǎn)E，連接OE、CE，則CE≤CO＋OE，當(dāng)C、O、E三點(diǎn)共線時(shí)，CE取得最大值，即要求CE的最大值，則求CO的最大值．連接AC，∵CO≤AC，∴當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C重合時(shí)，CO取得最大值時(shí)．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴點(diǎn)C到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值為6.第9題解圖10.13【解析】如解圖，連接OC，OM，∵∠AOB＝90°，AB＝10是定值，M是AB的中點(diǎn)，∴A、O、B三點(diǎn)一直在以點(diǎn)M為圓心，AB長(zhǎng)為直徑的圓上，∵在△OMC中，OM＋CM≥OC，∴當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，即OC過(guò)圓心M時(shí)，OC的長(zhǎng)度最大．∵AB＝10，∴OM＝eq\f(1,2)AB＝5，又∵CM＝8，∴當(dāng)OC＝CM＋OM＝8＋5＝13時(shí)，OC取得最大值，即點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為13.第10題解圖11.解：如解圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，則AE＝BE，設(shè)點(diǎn)C到邊AB的距離為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，易得當(dāng)C與E重合時(shí)，h取得最大值，即DE的長(zhǎng)，此時(shí)△ABC的面積也取得最大值，即△ABE的面積．∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴△ABE為等邊三角形．∴∠EAB＝∠AEB＝60°.∴∠OAD＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OA＝2，AD＝2eq\r(3)，∴AB＝2AD＝4eq\r(3)，∴DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.此時(shí)S△ABE＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3).第11題解圖12.解：由折疊的性質(zhì)可知，MF＝BM，∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，AB＝10，∴B