高中數(shù)學(xué)公式

高中數(shù)學(xué)公式

數(shù)學(xué)公式，是表征自然界不同事物之?dāng)?shù)量之間的或等或不等的聯(lián)系，

它確切的反映了事物內(nèi)部和外部的關(guān)系，是我們從一種事物到達(dá)另一

種事物的依據(jù)，使我們更好的理解事物的本質(zhì)和內(nèi)涵。

如一些基本公式

拋物線：y=ax*+bx+c

就是y等于ax的平方加上bx再加上c

a>0時開口向上

a<0時開口向下

c=0時拋物線經(jīng)過原點

b=0時拋物線對稱軸為y軸

還有頂點式y(tǒng)=a(x+h)*+k

就是y等于a乘以(x+h)的平方+k

-h是頂點坐標(biāo)的x

k是頂點坐標(biāo)的y

一般用于求最大值與最小值

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：，2=2px

它表示拋物線的焦點在x的正半軸上,焦點坐標(biāo)為(p/2,0)準(zhǔn)線方

程為x=-p/2

由于拋物線的焦點可在任意半軸,故共有標(biāo)準(zhǔn)方程，2=2px

y"2=-2pxx"2=2pyx"2=-2py

圓:體積=4/3(pi)(r"3)

面積=(pi)(d2)

周長=2(pi)r

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

(一)橢圓周長計算公式

橢圓周長公式：L=2Jib+4(a-b)

橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長

(2”b)加上四倍的該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的差。

(二)橢圓面積計算公式

橢圓面積公式：S=Jiab

橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率(兀)乘該橢圓長半軸長(a)

與短半軸長(b)的乘積。

以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率T,但這兩個公

式都是通過橢圓周率T推導(dǎo)演變而來。常數(shù)為體，公式為用。

橢圓形物體體積計算公式橢圓的長半徑*短半徑*PAI*高

三角函數(shù)：

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)cot2A=(cot2A-l)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

sina+sin(a+2兀/n)+sin(a+2兀*2/n)+sin(a+2n*3/n)+...+si

n[a+2ar*(n-l)/n]=0

cosa+cos(a+2JI/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+...+co

s[a+2Ji*(n-l)/n]=0以及

sirT2(a)+sirT2(a-2n/3)+sin-2(a+2n/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA-2T))

cos4A=l+(-8*cosA"2+8*cosA'4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA13)/(l-6*tanA-'2+tanA"4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA5-20sinA"3+5sinA

cos5A=16cosA"5-20cosA'3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA'2+tanA'4)/(l-lO*tanA2+S^tanA4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+l)*(2*sinAT)*(-3+4*sinA-2))

cos6A=((-l+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA'3-6*tanA5)/(T+15*tanA-2T5*tanA-4+

tanA'6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA"6))

cos7A=(cosA*(56*cosA"2-112*cosA"4+64*cosA"6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA'2-21*tanA'4+tanA"6)/(-1+2l*tanA"2-35

^tanA4+Y*tanA^)

?萬能公式：

sina=2tan(a/2)/[l+tan"2(a/2)]

cosa=[l-tan~2(a/2)]/[l+tan"2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[l-tan"2(a/2)]

半角公式

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)=V((1+cosA)/2)cos(A/2)=-J((1+cosA)/2)

tan(A/2)=V((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-J((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))

cot(A/2)=-J((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+-+(2n)=n(n+1)

「2+2〃2+3”+4〃2+5〃2+6W2+8〃2+…+rT2=n(n+1)(2n+l)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=(n(n+1)/2)2

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的

外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式Ia+b|^|a|+1b||a-b|W|a|+1b||a|Wb<=>-bWaWb

Ia-b|^|a|-1b|-|a|WaW|a|

一元二次方程的解-b+J(b2-4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系xl+x2=-b/axl*x2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式b2-4a=0注：方程有相等的兩實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不相等的個實根

b2-4ac<0注：方程有共輾復(fù)數(shù)根

公式分類公式表達(dá)式

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=l/2c*h'正棱臺側(cè)面積S=l/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積S=l/2(c+c')l=pi(R+r)1球的表面積S=4p臺r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式

s=l/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

圖形周長面積體積公式

長方形的周長=(長+寬)X2

正方形的周長=邊長義4

長方形的面積=長乂寬

正方形的面積=邊長X邊長

三角形的面積

已知三角形底a,高h(yuǎn),!i!ljS=ah/2

已知三角形三邊a,b,c,半周長p,則S=V[p(p-a)(p-b)(p-

c)](海倫公式)(p=(a+b+c)/2)

和：(a+b+c)*(a+b-c)*1/4

已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C,則S=absinC/2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,內(nèi)切圓半徑為r

則三角形面積=(a+b+c)r/2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,外接圓半徑為r

則三角形面積=abc/4r

已知三角形三邊a、b、c,則S=

V(1/4[c^2a"2-((c-2+a"2-b-2)/2)-2]}(“三斜求積”南宋秦九

韶)

Iab1|

SA=l/2*|cd1|

Ief1I

[|ab1|

Icd1|為三階行列式，此三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

A(a,b),B(c,d),C(e,f),這里ABC

Ief1|

選區(qū)取最好按逆時針順序從右上角開始取，因為這樣取得出的結(jié)果

一般都為正值，如果不按這個規(guī)則取，可能會得到負(fù)值，但不要緊，

只要取絕對值就可以了，不會影響三角形面積的大?。　?/p>

秦九韶三角形中線面積公式：

S=V[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Me為三角形的中線長.

平行四邊形的面積=底乂高

梯形的面積=(上底+下底)X高+2

直徑=半徑X2半徑=直徑:2

圓的周長=圓周率X直徑=

圓周率X半徑X2

圓的面積=圓周率X半徑X半徑

長方體的表面積=

(長X寬+長X高+寬X高)X2

長方體的體積=長乂寬*高

正方體的表面積=棱長X棱長X6

正方體的體積=棱長義棱長X棱長

圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長義高

圓柱的表面積=上下底面面積+側(cè)面積

圓柱的體積=底面積義高

圓錐的體積=底面積X高+3

長方體(正方體、圓柱體)

的體積=底面積X高

平面圖形

名稱符號周長C和面積S

正方形a一邊長C=4a

S=a2

長方形a和b—邊長C=2(a+b)

S=ab

三角形a,b,c—三邊長

h—a邊上的高

s一周長的一半

A,B,C—內(nèi)角

其中s=(a+b+c)/2S=ah/2

=ab/2?sinC

=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

=a2sinBsinC/(2sinA)

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形

全等

23角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形

全等

24推論(aas)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全

25邊邊邊公理(sss)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理（hl）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直

角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等（即等邊

對等角）

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重

人口

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這

兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊

等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直

平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集

合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連

線的垂直平分線44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對

應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那

么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的

平方,即小2+了2=小2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系

a：2+b'2=c"2,那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊

形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊

形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊

形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平

分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即$=(aXb)4-2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平

分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心,

并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一

點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第

三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它

的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的

一半1=(a+b)4-2s=lXh

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那

么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a土b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d="?=m/n(b+d+…+nW0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)

線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),

所得的對應(yīng)線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的

對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的

三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)

相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（asa）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相

似

93判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（sas）

94判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（sss）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角

三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平

分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值

等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值

等于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為

半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂

直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且

距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條

弧

Ill推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所

對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另

一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的

弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或

兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的

圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所

對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三

角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于

它的內(nèi)對角

121①直線1和。。相交d<r

②直線1和。o相切d=r

③直線1和。。相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線

是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等,

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

12