高中數(shù)學(xué)算法初步知識點與題型總結(jié)

第十一章算法初步與框圖

一、知識網(wǎng)絡(luò)

算法概念

順序結(jié)構(gòu)

算

法

初

步

1.算法的概念：算法通常是指按一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.

2.程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線與文字說明來表示算法的圖形.

3.程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).

4.算法的描述方式有：自然語言、程序框圖、程序語言.

5.算法的基本特征：①明確性：算法的每一步執(zhí)行什么是明確的；②順序性：算法的“前

一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的繼續(xù)；③有限性：算法必須在

有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制的持續(xù)進(jìn)行；④通用性：算法應(yīng)能解決某一類問題.

※典例精析

例1.如圖所示是一個算法的程序框圖，則該程序框圖所表示

/輸出3/

|結(jié)束

解析：首先要理解各程序框的含義，輸入a,b,c三個數(shù)之后，接

著判斷a,b的大小，若b小，則把b賦給a,否則執(zhí)行下一步，

即判斷a與c的大小，若c小，則把c賦給a,否則執(zhí)行下一

步，這樣輸出的a是a,b,c三個數(shù)中的最小值.所以該程序框

圖所表示的功能是求a,b,c三個數(shù)中的最小值.

評注：求a,b,c三個數(shù)中的最小值的算法設(shè)計也可以用下面程

序框圖來表示.

例2.下列程序框圖表示的算法功能是（）

（1）計算小于1。。的奇數(shù)的連乘積

（2）計算從1開始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積

（3）計算從1開始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積，當(dāng)乘積大于100時，計算奇數(shù)的個數(shù)

（4）計算1x3x5x…xnN100成立時〃的最小值

解析：為了正確地理解程序框圖表示的算法，可以將執(zhí)行過程分解，分析每一步執(zhí)行的結(jié)

果.可以看出程序框圖中含有當(dāng)型的循環(huán)結(jié)構(gòu)，故分析每一次循環(huán)的情況，列表如下：

第一次:S=lx3,i=5;

第二次：S=lx3x5,i=7;

第三次:S=lx3x5x7,j=9,此時S<100不成立，輸出結(jié)果是7,程序框圖表示的算法功能是求

使Ix3x5x…xnNlOO成立時〃的最小值.選D.

評注:通過列表，我們能清楚了解程序的每一步中的各個變量是怎樣變化的,這正是程序運

行的本質(zhì)所在.本題若要求編寫求使Ix3x5x…xnNlOO成立時”的最小值的程序框圖或程

序時，很容易弄錯輸出的結(jié)果，應(yīng)注意.

例3.在音樂唱片超市里，每張唱片售價為25元，顧客如果購買5張以上（含5張）唱片，

則按九折收費，如果購買1。張以上（含10張）唱片，則按八折收費，請設(shè)計算法步驟

并畫出程序框圖，要求輸入張數(shù)x,輸出實際收費y（元）.

分析:先寫出），與x之間的函數(shù)關(guān)系式，有，再利用條件結(jié)構(gòu)畫程序框圖.

解：算法步驟如下：

第一步，輸入購買的張數(shù)X,

第二步，判斷X是否小于5,若是，計算），=25町

否則，判斷工是否小于10,若是，計算尸22.5x;

否則，計算y=20x.

第三步，輸出y.

程序框圖如下：

評注:凡必須先根據(jù)條件做出判斷，然后再決定進(jìn)行

哪一個步驟的問題，在畫程序框圖時，必須引入判

斷框，采用條件結(jié)構(gòu)設(shè)計算法.如果變量分三級（或以

上）時,就需要用到條件結(jié)構(gòu)的嵌套，不能忽視結(jié)果中“是“、“否”的書寫，否則不知道執(zhí)

行哪一條路徑.一般地，分〃段的分段函數(shù)，需要引入〃-1個判斷框.條件結(jié)構(gòu)有以下兩種基

本類型.

例4.畫出求的值的程序框圖.

分析:這是一個有規(guī)律的數(shù)列求和問題，每次都進(jìn)行了相同的運算，故應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行算

⑵直到型循

評注：（1）解題關(guān)鍵是選擇好計數(shù)變量，和累加變量S的初始值，并寫出用，表示的數(shù)列的通

項公式是；

⑵循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計算的算法中，如累加求和，累乘求積等問題.在循

環(huán)結(jié)構(gòu)中，要注意根據(jù)條件，設(shè)計合理的計數(shù)變量、累加（積）變量以與它們的初始值等，特別

要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)中條件的表述要恰當(dāng)、精確，以免出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán).

（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)分為兩類：一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示；另一類是直到型循環(huán)結(jié)

構(gòu)，如下右圖所示.

術(shù)改進(jìn)后預(yù)計以后后每年的年生產(chǎn)總值都比上一年增長5%.設(shè)計一個程序框圖,輸出預(yù)期

年生產(chǎn)總值超過300萬元的最早年份與2005年到此年份之前（不包此年份）的年生產(chǎn)總值

的和.

分析:本例可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn).（1）確定“循環(huán)體”：設(shè)a為某年的年生產(chǎn)總值,n為年份,S

為年產(chǎn)值的總和，則循環(huán)體為

⑵初始化變量:n的初始值為2005,a的初始值為200,S的初始值為0.

⑶設(shè)定循環(huán)控制條件：。>300

評注:本問題的關(guān)健是設(shè)計好循環(huán)體，注意S=S+a與〃之間的對應(yīng)關(guān)系.本題若將S=S+a

放在〃=〃+1之后,則輸出時須重新賦值〃,否則〃的值為超過30。萬的年份的下一年.

本題也可用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)來表示.

變式訓(xùn)練：設(shè)計一個程序框圖，求使S=lx2x3x...x〃>5000的最小"的值，并輸出此時S的

值.

解：程序框圖如下：

※基礎(chǔ)自測

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

4算法就是某個問題的解題過程；

B.算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果；

C.解決某一個具體問題算法不同結(jié)果不同；

D.算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無法實施.

1.解析：選項力，算法不能等同于解法；選項石，例如：判斷一個正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，

結(jié)果為“是質(zhì)數(shù)”和“不是質(zhì)數(shù)”兩種；選項C,解決某一個具體問題算法不同結(jié)果應(yīng)該

相同，否則算法構(gòu)造的有問題；選項D,算法可以為很多次，但不可以無限次.

2、如圖所示的程序框圖中，則第3個輸出的數(shù)是（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

2.解析：前3個分別輸出的數(shù)是1,1,2.故選C.

N=1

I*-

□

N=N+1

3.如圖給出的是求的值的一個程序框圖，

其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）

A.i>10?B.i<10?C.i>20?D.i<20?

開始

S=0,〃=2,i=l

I*------

□

n=n+2

i=i+\

輸出

結(jié)束

3.解析：通過列表，我們能清楚了解程序的每一步中的各個變量

是怎樣變化的，第一次:，

第二次:，…依此可知循環(huán)的條件是i>10?.選A開始

4.閱讀右邊的程序框圖，若輸入的〃是100,則輸出的變

量S和T的值依次是（）

A.2550,2500

B.2550,2550

C.2500,2500

D.2500,2550

4.解析：依據(jù)框圖可得

5=100+98+96+...+2=2550,

7=99+97+95+...+1=2500.選A.

5.2006年1月份開始實施的《個人所得稅法》規(guī)定：全

月總收入不超過1600元的免征個人工資、薪金所得稅，超過

1600元部分需征稅.設(shè)全月總收入金額為x元，前三級稅

率如下左表所示：

級全月應(yīng)納稅金額稅

數(shù)X—1600率

1不超過500元部分5%

10

2超過500至2000元部分

%

超過2000至5000元部15

3

分%

....

??????

開始］

輸入X

當(dāng)工資薪金所得不超過3600元，計算個人所得稅的一個算法框圖如圖.則輸出①、輸出②

分別為（）.

A.0.05x;O.lxB0.05%;O.lx—185C0.05x-80;O.lx;

D.0.05x-80;0.lx-185

5.解析：設(shè)全月總收入金額為x元，所得稅額為y元,則)，與x之間的函數(shù)關(guān)系為

0(0<x<1600)

y=<(%-1600).5%(1600<x<2100)選D.

25+(%-2100).10%(2100<x<3600)

二、填空題

6.執(zhí)行右邊的程序框圖，若尸0.8,則輸出的刀=..

6.解析:第一次循環(huán)后，，此時〃=2;第二次循環(huán)后，，此時〃=3;第三次循環(huán)后，，此時〃=4,

輸出，故填4.

8.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的s=

1開:1

匕=1

s=o

<fc^0?>----查——

s=s+景/輸出步

IS-口1

1彳3k=k+\［結(jié)束］

第8題8.解析：S=2+4+6+---+100=2550

三、解答題

9.請閱讀下面程序框圖，說明此程序的功能

_____1宣

(笫9題程序框圖)解：程序功能是求s的值.

s=l+2+22+..?+26,并輸出s

10.已知函數(shù)，請畫出程序框圖，要求輸入自變量x的值,

輸出函數(shù)值y.

10.解：

11.畫出一個計算1X5X10X15X...X100的程序框圖.

11解：程序框圖如下

直到型循環(huán)

第二節(jié)算法的基本語句與算法案例

※知識回顧

1.任何一種程序設(shè)計語言都包含五種基本

的算法語句，

它們是輸入語句，輸出語句,賦值語句,

條件語句,循環(huán)語句

2.輸入語句的一般格式是WPUT”提示內(nèi)容”;變量;

輸出語句的一般格式是PAWT"提示內(nèi)容”;表達(dá)式;

賦值語句的一般格式是變量=表達(dá)式;

條件語句的一般格式是或;

循環(huán)語句的一般格式是和，.

輸入語句、輸出語句、賦值語句基本對應(yīng)于程序框圖中的順序結(jié)構(gòu)；條件語句、循環(huán)語

句分別用來表達(dá)程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).

3.常用符號

運算符號：加工，減」，乘;_,除,乘方針3整數(shù)取商、,求余數(shù)MOD.

邏輯符號：且竺孫或竺，大于壬等于二，小于＜,大于等于三，小于等于三，不等

于

常用函數(shù)：絕對值A(chǔ)BS,平方根SQR,取整這

4.算法案例

(1)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)

輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)都是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法.

(1)輾轉(zhuǎn)相除法就是對于給定的兩個正整數(shù)，用大數(shù)除以小數(shù),若余數(shù)不為0,則將小

數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則

這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).

(2)更相減損術(shù)就是對于給定的兩個正整數(shù)，若它們都是偶數(shù)，則將它們反復(fù)除以2(假

設(shè)進(jìn)行了k次)，直到它們至少有一個不是偶數(shù)后，將大數(shù)減小數(shù),然后將差和較小的數(shù)

構(gòu)成一對新數(shù)，繼續(xù)上面的減法，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到差和較小的數(shù)相等,此時相等的

數(shù)再乘以原來約簡的2”即為所求兩數(shù)的最大公約數(shù).

(2)秦九韶算法

秦九韶算法是求多項式值的優(yōu)秀算法.

設(shè)/(x)=aHx"++…+qx+4,

改寫為如下形式：

/U)=(???{anx+an_x)x+an_2)x■--+a])x+a().

設(shè)%=%，匕=%X+4T

這樣求n次多項式F(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個二式的值.當(dāng)多項式中有些項不存在時,

可將這幾項看做Oxx”,補齊后再利用秦九韶算法進(jìn)行計算.對于一個n次多項式，只需做

M次乘法和巴次加法運算即可.

(3)進(jìn)位制

K進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為k,k進(jìn)制數(shù)是由0~左-1之間的數(shù)字構(gòu)成的.

將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)的方法是除k取余法.

把攵進(jìn)制數(shù)a”％…44(°<%<幺04??-i，…4,4〈人)化為十進(jìn)制數(shù)的方法為

n

=ank++-■■+aik+a0.

※典例精析

例L寫出用循環(huán)語句描述求S=l-；+…+白-小的值的算法程序.

77JL1717

解：算法程序如下：

(1)當(dāng)型循環(huán)(2)直到型循環(huán)

評注：在編寫算法的程序時，可先畫出程序框圖，抓住程序框圖表示算法這個核心.注意分

別用當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)語句編寫的程序中，循環(huán)條件的區(qū)別與聯(lián)系.

例2、某市對排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出的污水量

(zur,“A〃，噸收取的污水處理費y元，運行程序如下所示：

IIFm<=50THEN

y=13*zw

ELSE

IFntv=100THEN

y=5O+15*5?-5O)

ELSE

y=15025*(wr-10O)

ENDIF

ENDIF

END

請寫出y與m的函數(shù)關(guān)系，并求排放污水150噸的污水處理費用.

解：這個程序反映的是一個分段函數(shù)

13M(m<50)

y=\50+15(加一50)(50cmV100)

150+25(/??-100)(w>100)

因為機=150>100,所以y=150+25(150-100)=1400,故該廠應(yīng)繳納污水處理費1400元.

評注：解決分段函數(shù)要用條件語句來處理.本題可畫出程序框圖幫助理解.

例3.求三個數(shù)72,120,168的最大公約數(shù).

解法1：用輾轉(zhuǎn)相除法

先求120,168的最大公約數(shù)，

因為168=120x1+48,120=48x2+24,48=24x2

所以120,168的最大公約數(shù)是24.

再求72,24的最大公約數(shù)，

因為72=24x3,所以72,24的最大公約數(shù)為24,

即72,120,168的最大公約數(shù)為24.

解法2:用更相減損術(shù)

先求120,168的最大公約數(shù)，

168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24

所以120,168的最大公約數(shù)為24.

再求72,24的最大公約數(shù)，

72-24=48,48-24=24

72,24的最大公約數(shù)為24,

BP72,120,168的最大公約數(shù)為24.

評注:輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)均是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，要理解和掌握它們

的最小公倍數(shù)的算法程序.

例4.用秦九韶算法求多項式/。)=/+2/+3/++5x+6在x=2時的值.

分析：先改寫多項式，再由內(nèi)向外計算.

/(x)=x5+2x4+3x3+4x2+5x+6

二((((x+2)x+3)x+4)x+5)x+6

%=1,Vj=%x+2=4

v2=VjX+3=ll

匕=%x+4=26

v4=v3x+5=57

v5=V4X+6=120

評注:用秦九韶算法求多項式值，關(guān)健是正確將多項式改寫，然后由內(nèi)向外計算求得.

本題也可簡寫為下式：

123456

2282252114

4112657120

例5.完成下列進(jìn)制的轉(zhuǎn)化

⑴1()202。)=——。。)(2)1()%。)=_____⑻

42

H：(1)10202(3)=lx3+2x3+2x3°=101(10)

⑵用8反復(fù)去除101,直到商為0止，所得的余數(shù)(從末位讀起)就是十進(jìn)制數(shù)101的

8進(jìn)制表示

所以10%0)=145⑻

評注:將女進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為k'進(jìn)制的數(shù)的方法是先將k進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)，再將這

個數(shù)轉(zhuǎn)化為《進(jìn)制的數(shù).

變式訓(xùn)練：下面是把二進(jìn)制數(shù)11111⑵化為十進(jìn)制數(shù)的一個程序框圖,判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條

件是()

A.Z>5?B.z<4?C.z>4?D.z<5?

解：11111⑵=1x24+1x23+1x22+1x2+1,故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件，>4.選C.

派基礎(chǔ)自測

一、選擇題

1.下列給出的賦值語句中正確的是()

A4=MBM=-MCB=A=3Dx+y=0

1.解析:賦值語句的功能.選B

2當(dāng)x=2時，下面的程序輸出的結(jié)果是()

INPUTx

WHILEz<=4

5=5*X+1

Z=Z+1

WEND

PRINTs

END

A3B7C15D17

2解析：0x2+1=1,1x2+1=3,3x2+1=7,7x2+1=15.選C

3.運行下列程序:

INPUTm,n

DO

r=mMODn

m-n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END

當(dāng)輸入56,42時，輸出的結(jié)果是

A.56B.42C.84D.14

3.解析:該程序的功能是用輾轉(zhuǎn)相除法求正整數(shù)九〃（機＞“）的最大公約數(shù)，故選D

4下邊程序運行后輸出的結(jié)果為（）

(1=0

7=1

WHILEj<=5

a=(a+j)MOD5

j=j+l

WEND

PRINTa

END

A50B5C25DO

4解析：j=lM=l;j=2,a=3;/=3M=1;/=4,a=0;J=5,a=0.選D

二、填空題

5三個數(shù)324,243,135的最大公約數(shù)是_________________

5解析：324=243x1+81,135=81x1+54,81=54x1+27,54=27x2.填27

6.閱讀下列程序：

(INPUTx

IFx>100ANDx<1000THEN

a=x\100

b=(x-a*100)\10

c=xMOD10

x=100*c+10*6+a

PRINTx

ENDIF

\^NDJ

當(dāng)程序輸入i值為1