第07講 模型構(gòu)建專題：中點(diǎn)模型之斜邊中線、中點(diǎn)四邊形（原卷版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第07講模型構(gòu)建專題：中點(diǎn)模型之斜邊中線、中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運(yùn)用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義.常見的中點(diǎn)模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④中位線模型；⑤直角三角形斜邊中點(diǎn)模型；⑥中點(diǎn)四邊形模型.本專題就中點(diǎn)模型的后兩類模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.模型1：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個(gè)直角三角形組成的圖中，M為中點(diǎn)，則（1）；（2）．模型運(yùn)用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點(diǎn)時(shí)）模型2：中點(diǎn)四邊形模型中點(diǎn)四邊形：依次連接四邊形四邊中點(diǎn)連線的四邊形得到中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形是中點(diǎn)模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用.中點(diǎn)四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會涉及中位線這一重要知識點(diǎn)，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊.結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點(diǎn)M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，則四邊形MNPQ為平行四邊形.圖1圖2圖3圖4結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形.結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形.結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形.推廣與應(yīng)用1）中點(diǎn)四邊形的周長：中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對角線之和.2）中點(diǎn)四邊形的面積：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的.【題型一利用斜邊的中線等于斜邊的一半求角度】例1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，，大于長為半徑畫弧，直線與相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)是．【變式1-1】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，是斜邊上的中線，度，則度．【變式1-2】（23-24八年級下·山東德州·期中）如圖，在和中，，為的中點(diǎn)，連接，，若，則．【變式1-3】（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在四邊形中，平分，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（用含的式子表示）．【題型二利用斜邊的中線等于斜邊的一半求線段長】例2.（23-24八年級下·北京·期中）如圖，公路，互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得的長為，則．

【變式2-1】（23-24八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且．若，，則的長為．【變式2-2】（2024·陜西榆林·二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，連接的延長線交于點(diǎn)，若，則的長為．【變式2-3】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，，矩形的頂點(diǎn)A、B分別在邊、上，當(dāng)B在邊上運(yùn)動時(shí)，A隨之在上運(yùn)動，矩形的形狀保持不變，其中，．運(yùn)動過程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是．【題型三利用斜邊的中線等于斜邊的一半證明】例3.（2024·北京·三模）如圖，矩形，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作于F，G為中點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)若，求的長．【變式3-1】（23-24八年級下·湖北荊門·期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長到點(diǎn)F，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【變式3-2】（23-24八年級下·河北保定·期中）如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，且，．(1)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？并說明理由；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，求的長．【變式3-3】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)K，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)U，G為的中點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長．【題型四中點(diǎn)四邊形中的規(guī)律探究問題】例4.（23-24八年級下·山東德州·期中）如圖，在菱形中，邊長為1，．順次連接菱形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去．四邊形的面積是．【變式4-1】（23-24八年級下·廣東惠州·期中）如圖，順次連接矩形四邊的中點(diǎn)得到四邊形，再順次連接四邊形四邊的中點(diǎn)得四邊形，…，按此規(guī)律得到四邊形，若矩形的面積為15，那么四邊形的面積為．

【題型五與中點(diǎn)四邊形有關(guān)的證明問題】例5.（23-24八年級下·廣西玉林·期中）已知：如圖1，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接、，得到四邊形（即四邊形的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形的形狀是__________，證明你的結(jié)論．(2)如圖2，請連接四邊形的對角線與，當(dāng)與滿足__________條件時(shí)，四邊形是正方形，證明你的結(jié)論．【變式5-1】（23-24八年級下·江蘇常州·期中）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，那么我們把原四邊形叫做“中方四邊形”．(1)下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是________；A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)如圖1，以銳角的兩邊為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連結(jié)，求證：四邊形是“中方四邊形”；(3)如圖2，四邊形是“中方四邊形”，若的值為32，則的最小值是________．（不需要解答過程）【變式5-2】（21-22八年級下·浙江寧波·期末）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【變式5-3】（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【性質(zhì)探究】：（2）如圖1，四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形的對角線，的關(guān)系；【問題解決】：（3）如圖2．以銳角的兩邊，為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連接，，．求證：四邊形是“中方四邊形”；【拓展應(yīng)用】：如圖3，已知四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點(diǎn)．（4）試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（5）若，求的最小值．

一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）一技術(shù)人員用刻度尺（單位，）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的刻度為，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南岳陽·二模）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)A與直角頂點(diǎn)C分別在兩平行線上，若斜邊與直線交于的中點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．3．（2024八年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)．請你添加一個(gè)條件，使四邊形為矩形，應(yīng)添加的條件是（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江紹興·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，是邊的中點(diǎn)，連接，若，菱形的面積96，則的值是（

）A． B． C． D．5．（23-24八年級下·北京海淀·期中）如圖，點(diǎn)A，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)為平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，線段，，，的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是菱形；③存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是矩形；④存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是正方形．其中，所有正確的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、填空題6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在中，是BC的中點(diǎn)，若，則．7．（23-24八年級下·湖北黃石·期中）如圖，四邊形是菱形，，對角線，相交于點(diǎn)，于，連接，則度．8．（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖，在中，，是高，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（用含α的式子表示）．

9．（23-24八年級下·廣東河源·期中）如圖，四邊形的兩條對角線、互相垂直，將四邊形各邊中點(diǎn)依次相連，得到四邊形，若四邊形的面積為15，則四邊形的面積為．10．（23-24八年級下·陜西安康·期中）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，P是線段的中點(diǎn)，，，G，H為垂足，連接．若，，，則的最小值是．三、解答題11．（23-24八年級下·山東泰安·期中）如圖，在四邊形中，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)點(diǎn)E是上一點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，若，，，求的長．12．（23-24八年級下·山西大同·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AC平分．(1)求證：四邊形ABCD是菱形．(2)過點(diǎn)C作交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)．13．（22-23八年級下·山西呂梁·期中）如圖，在四邊形中，對角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求四邊形的面積．(3)直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．14．（23-24八年級下·福建龍巖·階段練習(xí)）小亮把以邊所在直線為對稱軸翻折得到，這兩個(gè)三角形組成四邊形（如圖1），這是一種特殊的四邊形——箏形，請你根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)來研究箏形．(1)首先請你給出箏形的一種定義：______；（文字語言描述）(2)如圖1，在邊、角、對角線的關(guān)系方面直接寫出兩條對箏形性質(zhì)的猜想（定義除外）；(3)如圖2，在箏形中，P，Q，R，T分別為邊的中點(diǎn)．求證：四邊形是矩形．15．（23-24八