2024屆云南省曲靖市一中高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（五）數(shù)學(xué)試題及答案

曲靖一中2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（五）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．,a,0Bxx2x0Aa2BA1.已知集合，，且，則a的值為（A.1B.1C.1D.218z2.已知，則的虛部為（zi22C.1318A.13B.D.π3sincos()tan2（3.已知，則333A.B.C.3D.333x2，P是雙曲線(xiàn)右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則1的左焦點(diǎn)，M1,3的最小y24.已知F是雙曲線(xiàn)3值為（A.10B.2310C.23D.23325.根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃1323飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為31，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周42一去食堂一樓的概率為（3471545A.B.C.D.76.過(guò)點(diǎn)P2作圓C:x24xy30的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A，B，則切點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)度為2（）4147A.B.C.D.2AbC2A7.在中，角，B，Cac所對(duì)的邊分別為，，，若acb，，，成等差數(shù)列，則C=（第1頁(yè)/共5頁(yè)18341245A.B.C.D.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)fx的定義域均為R，及，若f12xg2x，均為fxgxfx偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（的周期為gxf10A.B.D.2C.ff3g0g2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．，則下列說(shuō)法正確的是（xyx2y29.已知，都是正數(shù)，且129212A.C.的最大值為B.的最小值為xyx24y2的最小值為4D.x2y的最大值為210.已知拋物線(xiàn)C:y24x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為G．則下列說(shuō)法正確的是（Bx,y22）Ax,y11xx4AB8時(shí)，直線(xiàn)l的斜率為1A.C.GF始終平分AGBB.當(dāng)128SAGBD.1，如圖，A，是直線(xiàn)fxsin與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，若xyyfx11.已知函數(shù)B2πAB，則下列說(shuō)法正確的是（3πππ66fx,2，A.C.B.在上單調(diào)遞增35π3xx是的一條對(duì)稱(chēng)軸fxD.y是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)fx12212.遠(yuǎn)看曲靖一中文昌校區(qū)紫光樓主樓，一頂巨大的“博士帽”屹立在爨園之中．其基礎(chǔ)主體結(jié)構(gòu)可以看做ABCDBCD．如圖所示，過(guò)作底面ABCD的垂線(xiàn)，垂足為G．記是一個(gè)倒扣的正四棱臺(tái)B第2頁(yè)/共5頁(yè)BBGBBC，BBCCABCD與面所成角為，面BBCCG與面，，面BCBCbBG所成角為x，a，，h，則（）1A.正四棱臺(tái)ABCDABCD的體積為2bab2ha3tan2tansinsinsinB.C.xD.sinsin三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．，則22ab3ab，ab__________．213.已知向量中，，1，則數(shù)列中的最小項(xiàng)a933．記n1a2an2,3,Tn14.已知等差數(shù)列為_(kāi)_________．nnπNπ2內(nèi)恰好有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則實(shí)數(shù)的值可以是ysinx15.若函數(shù)的圖象在3__________（寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題意的fx2axx218，其中a0且a1．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)fxx1，x2，則實(shí)數(shù)16.已知函數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．ABCBCsinA17.已知在中，，，AB2．（1）求的外接圓半徑R；（2）求sinA．18.如圖，在四棱錐P中，PA平面ABCDABCD為梯形，且，AD//BC，，底面PAABBC2AD2，E為PB邊上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足．BE2EP第3頁(yè)/共5頁(yè)（1）求證：直線(xiàn)PD//面ACE；（2）F為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，求直線(xiàn)PFACE與平面所成角的余弦值．19.某興趣小組利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．（1）現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚(yú)，其中紅鯉魚(yú)有4條．若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚(yú)記錄相關(guān)數(shù)據(jù)．用X表示其中捉取到紅鯉魚(yú)的條數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．EX（2）現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚(yú)與黑鯉魚(yú)共10條，其中紅鯉魚(yú)有a0aaN條，身為興趣小組隊(duì)長(zhǎng)的駱同學(xué)每次從池塘中捉了1條魚(yú)，做好記錄后放回池塘，aa設(shè)事件A為“從池塘中捉取魚(yú)3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚(yú)”．當(dāng)時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大，求0a0的值．是公差為的等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，nN．a(chǎn)nddSn0an20.已知數(shù)列na1a2a的通項(xiàng)公式；an（1）若（2）若，且，求數(shù)列12nnb的前n項(xiàng)和為nad1aa1aaT，求T．n5，數(shù)列的首項(xiàng)為，滿(mǎn)足，記數(shù)列bn1nn21.已知拋物線(xiàn)O:x22pyp0，其頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y1與拋物線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線(xiàn)O的方程．C:xy221，，上的三個(gè)點(diǎn)，且任意兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率都存2A12A，是拋物線(xiàn)3（2）已知OCAAAA相切，請(qǐng)判斷此時(shí)圓心C2A到直線(xiàn)的距離是否為定值，如果是定值，請(qǐng)3在．其中，均與1213求出定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．a(chǎn)xxf(x)g(x)22.已知函數(shù)和有相同的最大值.exax第4頁(yè)/共5頁(yè)（1）求a；yf(x)yg(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)（2）證明：存在直線(xiàn)y=b，其與兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.和第5頁(yè)/共5頁(yè)曲靖一中2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（五）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．,a,0Bxx2x0Aa2BA1.已知集合，，且，則a的值為（A.1B.1C.1D.2【答案】B【解析】a【分析】解二次方程化簡(jiǎn)集合B，再由集合的包含關(guān)系求得，進(jìn)而利用元素的互異性即可得解.x00,1且Bxx2BA，【詳解】因?yàn)?或a1，得a1，則集合A中必含元素0，1，所以a2根據(jù)集合中元素的互異性可知：a1．故選：B．18z2.已知，則的虛部為（zi221318A.13B.C.D.【答案】C【解析】z【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)式子求，根據(jù)zabizaiz即可知的共軛復(fù)數(shù)，求出z的求出虛部即可.5，z18，z2218，【詳解】i4n1，所以i22所以z的虛部為13.故選：C.iii1π3sincos()tan2（3.已知，則333A.B.C.3D.333【答案】D【解析】【分析】綜合應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式即可解決.第1頁(yè)/共21頁(yè)π13313sincos()cossinsincos，【詳解】由，即322222333可得tan故選：D．，由正切的倍角公式可得3．1313x2，P是雙曲線(xiàn)右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則1的左焦點(diǎn)，M1,3的最小y24.已知F是雙曲線(xiàn)3值為（A.10B.2310C.23D.2332【答案】C【解析】PMPFMF，進(jìn)而根據(jù)，即可求解2a【分析】利用雙曲線(xiàn)定義得到【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，x2F2,0，則，y21可知a3，c2由3因?yàn)镻是雙曲線(xiàn)右支上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知：PFPF2a23，PFPM23PFPM所以因?yàn)?，PFPMMF，MF，當(dāng)且僅當(dāng)F，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，達(dá)到最小值因?yàn)?，，所?0，M1,3F2,0232310．即的最小值為故選：C．5.根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃1323飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為31，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周42第2頁(yè)/共21頁(yè)一去食堂一樓的概率為（3471545A.B.C.D.7【答案】A【解析】【分析】利用貝葉斯概率公式求解即可.【詳解】記小趙同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，13PBAPA37PAB34則本題所求．1321PBAPAPBAPA3432故選：A．6.過(guò)點(diǎn)P2作圓C:x24xy30的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A，B，則切點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)度為2（）4147A.B.C.D.2【答案】B【解析】PC【分析】先求以及切線(xiàn)長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法即可得結(jié)果.1，4xy230，即x2y22【詳解】圓C:x222易知所以四邊形，圓C的半徑r1，所以切線(xiàn)長(zhǎng)PAPB7．1S2717的面積為．PACB21S7，所以根據(jù)等面積法知：PACB214所以AB．2故選：B．AbacC2Ab所對(duì)的邊分別為，，，若ac，，，成等差數(shù)列，則7.在中，角，B，CC=（13124A.B.C.D.845【答案】A第3頁(yè)/共21頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)并結(jié)合正弦定理及正弦函數(shù)兩角和差公式，倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)镃2A，所以Bπ3A．a(chǎn)bc又因?yàn)?，，成等差?shù)列，則bac．2sinBsinAsinC2sin3AsinAsinC，根據(jù)正弦定理可得：，即2sin2AA2cos2AsinAsinAsinC展開(kāi)得：，sin2A2cosA1sinA12cos2A，進(jìn)一步得：因?yàn)閟inA0，可得8cosA2cosA30，223318AC21又易知A為銳角，所以故選：A．，則4，故A正確.48.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)fx的定義域均為R，及，若f12xg2x，均為fxgxfx偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（的周期為gxf10A.B.D.2C.ff3g0g2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，即可判斷.【詳解】因?yàn)閒12x是偶函數(shù)，則，即關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)，f12xf12xfxf12xf12x對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：2f12x2f12x，g12xg12x0關(guān)于0對(duì)稱(chēng)，即gx，所以又因?yàn)間2x是偶函數(shù)可得g2xg2x，即關(guān)于x2對(duì)稱(chēng)．gx從而得的周期為4．所以的周期也為4．fxgx對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槿魸M(mǎn)足題意，則也滿(mǎn)足題意．故的值不確定，所以錯(cuò)；fxfxfxcA對(duì)于選項(xiàng)B，的周期為4，所以B錯(cuò)；gx對(duì)于選項(xiàng)C，的周期也為4，所以fx，所以對(duì)；f3Cf1第4頁(yè)/共21頁(yè)對(duì)于選項(xiàng)D，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，所以錯(cuò)．1,0g0g2Dgx故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．，則下列說(shuō)法正確的是（xyx2y29.已知，都是正數(shù)，且129212A.C.的最大值為B.的最小值為xyx24y2的最小值為4D.x2y的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可對(duì)A，C、D判斷；利用基本不等式“1”的應(yīng)用可對(duì)B判斷；121x2y222xyx2y1，即x1y，【詳解】對(duì)A：可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故A2選項(xiàng)正確；xx2y2y1，對(duì)B：由，得21292122y2x2y2xx2y5529，故所以，xyxyxyxy2xy當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故B選項(xiàng)正確；3121對(duì)C：x2y2x244y2x24y244444，由A知，所以2，212僅當(dāng)x2y1，即x1，y時(shí)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；112x2yx2y222222224對(duì)D：由A知，所以，241當(dāng)且僅當(dāng)x2y1，即x1，y時(shí)成立，故D選項(xiàng)正確．2故選：ABD．10.已知拋物線(xiàn)C:y4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)A，B兩2點(diǎn)，設(shè)，，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為G．則下列說(shuō)法正確的是（Bx,y22）Ax,y11xx4AB8時(shí)，直線(xiàn)l的斜率為1A.B.當(dāng)12第5頁(yè)/共21頁(yè)8C.GF始終平分AGBD.SAGB【答案】BC【解析】【分析】設(shè)直線(xiàn)l的方程為：xny1，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程通過(guò)韋達(dá)定理可判斷A，通過(guò)弦長(zhǎng)公式k0可判斷C，由三角形面積公式可判斷D.k可判斷B，通過(guò)【詳解】顯然直線(xiàn)l的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：xny1，24ny40，則1y24，y聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得y21y22所以121，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；xxpnyy44n2248又因?yàn)?，可得n21，1211n1，所以k1即，所以B選項(xiàng)正確；kkk0即證，2yy1y21y221y8n8ny41y22ny122120，即x1x112ny22n21y22nyy4n21212所以C選項(xiàng)正確；12dxny10S由上述知：，已知直線(xiàn)方程為：，2d則，1n2121S4n244n14，2所以1n2n0時(shí)成立，所以S4當(dāng)且僅當(dāng)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．AGBmin故選：BC．12，如圖，A，是直線(xiàn)fxsin與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，若fxxyy11.已知函數(shù)BπAB，則下列說(shuō)法正確的是（3第6頁(yè)/共21頁(yè)πππ,fx2，A.C.B.在上單調(diào)遞增3665π3xx是的一條對(duì)稱(chēng)軸fxD.y是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)fx122【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)的圖象可確定，的值，從而確定單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性，再通過(guò)求導(dǎo)得到切線(xiàn)方程.1212πAx,Bx,，xx，則21【詳解】設(shè)．123112，sin2因?yàn)閟inx1,2π5π12π2，2π，kZ所以所以，662π2π2xxx，即2．，即121332π3π32fsin0π,0為下降零點(diǎn)，又因?yàn)?，?π所以π2π，kZ，3π2πkZ，，即3π3πfxsin2x．所以A選項(xiàng)正確；故?。?ππx,π2π2x,0當(dāng)將，，顯然不是單調(diào)增區(qū)間，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；66335ππ7π5πxfxsin2sin1，顯然不是對(duì)稱(chēng)軸，代入方程得121236所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；第7頁(yè)/共21頁(yè)π3π令1得xπ或xπ，fx2x333yx得其中一條切線(xiàn)為，所以D選項(xiàng)正確．取點(diǎn)22故選:AD．12.遠(yuǎn)看曲靖一中文昌校區(qū)紫光樓主樓，一頂巨大的“博士帽”屹立在爨園之中．其基礎(chǔ)主體結(jié)構(gòu)可以看做ABCDBCD．如圖所示，過(guò)作底面ABCD的垂線(xiàn)，垂足為G．記是一個(gè)倒扣的正四棱臺(tái)BBBGBBC，BBCCABCD與面所成角為，面BBCC，，面與面GBCBCbBG所成角為x，a，，h，則（）1A.正四棱臺(tái)ABCDABCD的體積為2bab2ha3tan2tansinsinsinB.C.xDsinsin【答案】ACD【解析】BBCC的二面角，分別【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積計(jì)算公式即可判斷A選項(xiàng)；作出面與面ABCDtan,tanB，B寫(xiě)出的表達(dá)式，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)，B，均為直角三角BBsinBHBBsinBBCCG的二面角，通過(guò)形．得到，即可判斷C選項(xiàng)；作出面與面sin余弦定理即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正四棱臺(tái)體積計(jì)算公式：11bab，所以A正確；VhSSSSha22臺(tái)3上下上下3對(duì)于B，過(guò)G點(diǎn)作BC邊的垂線(xiàn)交BC于H點(diǎn)，第8頁(yè)/共21頁(yè)BGABCDBCABCDBGBC，所以，因?yàn)?，面，面HG,BGBHG面又，BHGBBBCCABCD，所以面，所以就為面與面所成角的二面角BHBG2BGtantantan2tan，則．所以B錯(cuò)誤；則，BBBGBG面對(duì)于C，因?yàn)槊鍭BCD，BHG，B，B，均為直角三角形．B所以，BBsinBHBBsin,即sinsinsin．所以C正確；所以sin對(duì)于D，過(guò)H點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于I，再在平面G內(nèi)過(guò)I作的垂線(xiàn)交BG于J．BBCCHIJx易知此時(shí)面與面G所成角的二面角就為．cossinsinmcosBHBJm設(shè)，則msin，．，cosm22m2coscoscos2BJ2BH22BJBHcosm22，2222cosx由余弦定理可知：，2m22sin2m222m2coscoscosm2sin2m222，2m2sincossincos第9頁(yè)/共21頁(yè)sin222sin222coscoscos2，cossincos2，所以D正確．sinsinsinsin故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．，則22ab3ab，ab213.已知向量__________．【答案】8【解析】【分析】利用向量數(shù)量積及平方差公式可得答案.22abab21238ab【詳解】．故答案為：8.中，，1，則數(shù)列中的最小項(xiàng)33．記n1a2an2,3,na9T14.已知等差數(shù)列nn為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出n，觀察可得答案.3a1【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，所以公差，即n13n12n．a(chǎn)nd3a92a9a6a3a0，由于所以，，，4123T9TT162TTT0，，，，12345n所以3162．Tn故答案為：πNπ2內(nèi)恰好有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則實(shí)數(shù)的值可以是ysinx15.若函數(shù)的圖象在3__________（寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題意的3【答案】或（只寫(xiě)一個(gè)即可）4【解析】第10頁(yè)/共21頁(yè)πxππππ323π2x,，結(jié)合已知條件圖象在內(nèi)恰好有兩條對(duì)稱(chēng)【分析】根據(jù)求得23軸，求得關(guān)于的不等式解出范圍，因N確定的值.πxππππ323x,【詳解】因?yàn)?，則，23π3πππ5π因?yàn)樾枰瑑蓷l相鄰的對(duì)稱(chēng)軸，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)，則有，3223273，所以3即或4．33故答案為：或（只寫(xiě)一個(gè)即可）4fx2axx218，其中a0且a1．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)fxx1，x2，則實(shí)數(shù)16.已知函數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．1,11,e【答案】e【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，得出導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，fxhxaxagxx，hx兩種情況討論，根據(jù)0xa10a1和即aax，令，分與有兩個(gè)交點(diǎn)，求出過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)，比較過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率與斜率，得出關(guān)于兩gxhxhxgxa斜率的不等式求解即可.【詳解】對(duì)函數(shù)fx2axx218求導(dǎo)得：fx2aax2aaxxx，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以fx有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)．fx令hxaxagxx，有aax，令，，fx0x所以與有兩個(gè)交點(diǎn)；gxhxhxaxahxaa，，x2a1當(dāng)時(shí)，hxaa的切點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與xlna，0,ax0kax02a，切線(xiàn)斜率為ya0lnaa0ln2axx，所以切線(xiàn)方程為：0第11頁(yè)/共21頁(yè)1x0將原點(diǎn)坐標(biāo)帶入切線(xiàn)方程得．a(chǎn)1此時(shí)切線(xiàn)的斜率為：，現(xiàn)在需要aax有兩個(gè)交點(diǎn)，xka2aa2a2ae，因?yàn)閍1a00a1，所以1ae；即k，有，所以1a0kae1a0a1．同理知當(dāng)0a1時(shí)，，2，即，所以e1e綜上知：a的取值范圍為,11,e．1,11,e故答案為：e四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．ABCBCsinA17.已知在中，，，AB2．（1）求的外接圓半徑R；（2）求sinA．【答案】（1）R23（2）【解析】1）根據(jù)內(nèi)角和求出C，由正弦定理即可得結(jié)果；sinAsinBC，最后根據(jù)即可得結(jié)（2）通過(guò)兩角和與差的正弦公式可得tanB，即得sinB，cosB果.【小問(wèn)1詳解】πABC，ABCπ，所以C．因?yàn)?cc22R4，又因?yàn)?，所以根?jù)正弦定理得：sinC所以R2．【小問(wèn)2詳解】BCsinAsinBC，因?yàn)?33展開(kāi)可得：sinBcosC2cosBsinC，即B，第12頁(yè)/共21頁(yè)277217所以sinB，B，因?yàn)锳BCπ，2773211321所以sinAsinBCsinBcosCcosBsinC．2721418.如圖，在四棱錐P中，PA平面ABCD，底面ABCD為梯形，且AD//BC，，PAABBC2AD2，E為PB邊上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足．BE2EP（1）求證：直線(xiàn)PD//面ACE；（2）F為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，求直線(xiàn)PFACE與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析65（2）9【解析】BGBE1BD交AC于GEG，證明出△∽△CGBDGEP出PD//，再利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線(xiàn)分別為x、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間yz向量法可求得直線(xiàn)PF與平面【小問(wèn)1詳解】ACE所成角的余弦值.證明：連接BD交AC于G，再連接EG．第13頁(yè)/共21頁(yè)AD//BCDAGBCG，ADGCBG，則△∽△CGB，因?yàn)?，則2所以，，BEEPBGBE2，所以，，所以，PD//，又因?yàn)锽E2EP，則DGEPPDACE，ACEPD//ACE平面.因?yàn)槠矫嫫矫?，因此，【小?wèn)2詳解】解：由題可得：PA平面ABCD，，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線(xiàn)分別為x、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系yzA．2433則，，，，A0,0,0P0,0,2E,0,C2,02433F0,0,AC2,0．因?yàn)镕為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，則，所以，，m2x2y0x,y,zACEm設(shè)面的法向量為，則243，mxz031取x2，可得m，第14頁(yè)/共21頁(yè)P(yáng)F2PFACE所成角為，又因?yàn)?，設(shè)直線(xiàn)與平面m44sinPF,m則，339m249659則cos1sin21，65因此，直線(xiàn)PF與平面ACE所成角的余弦值為.919.某興趣小組利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．（1）現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚(yú)，其中紅鯉魚(yú)有4條．若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚(yú)記錄相關(guān)數(shù)據(jù)．用X表示其中捉取到紅鯉魚(yú)的條數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．EX（2）現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚(yú)與黑鯉魚(yú)共10條，其中紅鯉魚(yú)有a0aaN條，身為興趣小組隊(duì)長(zhǎng)的駱同學(xué)每次從池塘中捉了1條魚(yú)，做好記錄后放回池塘，aa設(shè)事件A為“從池塘中捉取魚(yú)3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚(yú)”．當(dāng)時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大，求0a0的值．65EX【答案】19.分布列見(jiàn)解析，0720.【解析】25XB1）根據(jù)已知條件求出每次捉到紅鯉魚(yú)的概率，布列期望.，根據(jù)二項(xiàng)分布的公式可以求出分（2）根據(jù)已知條件求出的表達(dá)式，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值，結(jié)合PA0a10且，大小確定值P6P7a.Na，比較【小問(wèn)1詳解】X03，，，，由題可得：1242p可得：每次捉到紅鯉魚(yú)的概率為．105第15頁(yè)/共21頁(yè)2XB3235272354013易知，PX；PX1C；512512555232336282233PXC；PX．551255125分布列如表所示：X01238PX265EXnp3所以．5【小問(wèn)2詳解】aa每次捉魚(yú)，捉到紅鯉魚(yú)的概率為，則捉到黑鯉魚(yú)的概率為1．102aa323a310a2，其中且，0a10aN所以PAC110101000203haa令310a2haa220aha0解得a0，a，則或，，ha0，haha為減函數(shù)，,10ha0故在上為增函數(shù)，在上33203所以hha．544410a10且aN，所以驗(yàn)證P6P7，，又因?yàn)?251000所以P7，所以a7，0PAa70綜上所述：事件A發(fā)生的概率最大時(shí).是公差為的等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，nN．a(chǎn)ndd0Snan20.已知數(shù)列na1a2a的通項(xiàng)公式；a，求數(shù)列n（1）若（2）若，且12nnb的前n項(xiàng)和為nad1aaaaT，求T．n5，數(shù)列的首項(xiàng)為，滿(mǎn)足，記數(shù)列b1n1nnann【答案】（1）；T5（2）.【解析】第16頁(yè)/共21頁(yè)1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)列式，求出公差d即可求出通項(xiàng)公式.的通項(xiàng)，再借助分組求和即bnb,b（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)列式，求出的關(guān)系，利用構(gòu)造法求出數(shù)列n1n得.【小問(wèn)1詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，a2a，得，則aa12n1d2an1d212n1dn2nn1d11，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．a(chǎn)an1n1nn【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且滿(mǎn)足a，aann1nn，ab1d3ab1da3b1d則又由1n11n1ad，則化簡(jiǎn)得：bn4，于是b23b2，1n1n1naab11是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，bn2，得，因此數(shù)列33b113135b23nb32n則，即，所以510353.nn1321.已知拋物線(xiàn)O:x22pyp0，其頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y1與拋物線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線(xiàn)O的方程．C:xy221，，，是拋物線(xiàn)O上的三個(gè)點(diǎn)，且任意兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率都存2A12A3（2）已知CAAAA相切，請(qǐng)判斷此時(shí)圓心C2A到直線(xiàn)的距離是否為定值，如果是定值，請(qǐng)3在．其中，均與1213求出定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．2xy【答案】（1）（2）是定值，定值為1【解析】M,Np的坐標(biāo)，從而利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，由此得解；1）先由題意求得（2）充分利用，得到直線(xiàn)與x2iyi2,3AAAA2A的方程，利用與圓相切的性質(zhì)同構(gòu)出直線(xiàn)3i1213的方程，從而得解.第17頁(yè)/共21頁(yè)【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槁?lián)立y1與拋物線(xiàn)相交，y1y1M2pN2p．，解得，所以，則，x22pyx2p因?yàn)?p10，2p1，則拋物線(xiàn)的方程為xy．2所以【小問(wèn)2詳解】AAAA2A由題易知直線(xiàn)，，斜率一定存在，12133設(shè)，Ax,y2，，則2yi2,3，iAx,yAx,y11122333y2y21xx，1AAyy1則直線(xiàn)的方程為：121yyxxx1，即0xxyxx，2x即121211C:xy221的圓心為C0,2，半徑為2r1，因?yàn)?1x21，A2與圓C1因?yàn)橹本€(xiàn)相切得：2xx211x21x221222xx30，122平方化簡(jiǎn)得：yy1y21231，為變量的式子得：20x看成關(guān)于，212相切，化簡(jiǎn)式子后得：，AA與圓Cy1y2133130同理得直線(xiàn)131y的方程為：2A1y2xx3y0，所以可以同構(gòu)出直線(xiàn)3111則所以圓心到直線(xiàn)C0,2AA的距離為：23第18頁(yè)/共21頁(yè)21131111111d1，2412y212114yy111此時(shí)圓心C到直線(xiàn)23的距離為定值，定值為1.2A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是同構(gòu)出直線(xiàn)的方程，從而得解.3axxf(x)g(x)22.已知函數(shù)（1）求a；和有相同的最大值.exaxyf(x)yg(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)（2）證明：存在直線(xiàn)y=b，其與兩條曲線(xiàn)和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【答案】（1）a1（2）證明見(jiàn)解析【解析】1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得最大值，