銜接點(diǎn)02 式與方程（原卷版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

銜接點(diǎn)02式與方程小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)（能用字母表示常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律、常見(jiàn)幾何體的公式等）、簡(jiǎn)單的一元一次方程及解法，培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力。初中階段較小學(xué)數(shù)學(xué)在式與方程方面主要變化有：“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語(yǔ)言，初中階段重點(diǎn)關(guān)注代數(shù)式的運(yùn)算與規(guī)律探究，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理，通過(guò)字母運(yùn)算和推理得到的結(jié)論具有一般性；“方程與不等式”揭示了數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系（相等關(guān)系和不等關(guān)系），是初中應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，初中一元一次方程的解法與小學(xué)的方法有所區(qū)別。培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象能力、推理能力等。其實(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)實(shí)際上是有很多關(guān)聯(lián)的。只要從小六到初一的過(guò)度在老師的引導(dǎo)下，找出“數(shù)”與“式”之間的內(nèi)在聯(lián)系以及區(qū)別，在知識(shí)間架起銜接的橋梁，也為后面的更多內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這樣才能在初中眾多的考試面前不亂陣腳，游刃有余。題型探究題型1、字母表示數(shù) 3題型2、探究與表達(dá)規(guī)律 3題型3、等量代換 5題型4、等式與方程的概念辨析 6題型5、等式的性質(zhì)及其運(yùn)用 7題型6、方程的解及其運(yùn)用 8題型7、解方程 9培優(yōu)精練A組（能力提升） 11B組（培優(yōu)拓展） 121．用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計(jì)算公式和運(yùn)算定律1）用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系（1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克；（3）路程＝速度×?xí)r間，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。2）用字母表示計(jì)算公式及運(yùn)算定理長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：C＝2（a＋b）；長(zhǎng)方形面積：S＝ab；長(zhǎng)方體體積：V＝abh或V＝Sh。加法交換律：a＋b＝b＋a加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交換律：ab＝ba乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作簡(jiǎn)寫為一個(gè)點(diǎn)或省略不寫，但要注意，省略乘號(hào)后，數(shù)字要寫在字母的前面；②兩個(gè)相同的字母相乘時(shí)，可寫成這個(gè)字母的平方，如a×a可以寫作a2。2．等式與方程1）等式與方程的意義及關(guān)系意義關(guān)系等式表示相等關(guān)系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知數(shù)的等式叫作方程2）等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。（2）解方程的概念：求方程的解的過(guò)程叫作解方程。（3）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。（4）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說(shuō)明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說(shuō)明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解。題型1、字母表示數(shù)【解題技巧】1）字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個(gè)數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡(jiǎn)明的將數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)。2）用字母表示數(shù)的意義：有助于揭示概念的本質(zhì)特征，能使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡(jiǎn)明，更具有普遍意義。使思維過(guò)程簡(jiǎn)約化，易于形成概念系統(tǒng)。例1．（2024·遼寧·小升初模擬）學(xué)校買來(lái)20個(gè)足球，每個(gè)a元，又買來(lái)b個(gè)籃球，每個(gè)58元。20a＋58b表示()；當(dāng)，，則()元。例2．（2024·浙江·小升初模擬）已知每個(gè)人做某項(xiàng)工作的效率相同，個(gè)人做天可以完成，若增加人，則完成工作所需的天數(shù)為（

）。A． B． C． D．例3．（2022·湖南懷化·小升初真題）小剛在測(cè)試中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)三科的平均分是a分，語(yǔ)文和英語(yǔ)一共得b分，數(shù)學(xué)得（

）分。A．3a－b B．a(chǎn)÷3－b C．a(chǎn)÷3－2b變式1．（2023·四川成都·小升初真題）夏明今年歲了，爸爸比夏明大21歲，則6年后，爸爸比夏明大（

）歲。A． B．21 C． D．6變式2．（2023·江蘇·小升初模擬）如果把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a厘米、b厘米和h厘米的長(zhǎng)方體的高增加3厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)增加（

）平方厘米。A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab題型2、探究與表達(dá)規(guī)律【解題技巧】觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。例1．（2024·六年級(jí)·山西·期中）根據(jù)下面圖形的規(guī)律，第11個(gè)圖中有（

）個(gè)。A．33 B．36 C．39例2．（2022·浙江溫州·小升初真題）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”。從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如4＝1＋3。把“正方形數(shù)”36寫成兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（

）。A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20變式1．（2023·江蘇·小升初模擬）用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：第七個(gè)圖案中有白色地磚塊。變式2．（23-24六年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼成下列圖案，其中第1個(gè)圖中有4個(gè)黑色三角形，第2個(gè)圖中有7個(gè)黑色三角形，第3個(gè)圖中有10個(gè)黑色三角形，……，按此規(guī)律排列下去，則第6個(gè)圖中有()個(gè)黑色三角形，第()個(gè)圖中有100個(gè)黑色三角形。

變式3．（23-24六年級(jí)·河南·期末）為慶祝亞運(yùn)會(huì)的成功召開(kāi)，學(xué)校舉行了“展少年英姿為亞運(yùn)喝彩”的隊(duì)列隊(duì)形展示活動(dòng)，淘氣發(fā)現(xiàn)隊(duì)列中也藏著數(shù)學(xué)秘密。隊(duì)形1234…圖示……(1)觀察點(diǎn)子圖，補(bǔ)充下面等式。2＝1×22＋4＝2×32＋4＋6＝3×42＋4＋6＋8＝()×()(2)照這樣，第8個(gè)隊(duì)形需要()人；第n個(gè)隊(duì)形需要()人；第()個(gè)隊(duì)形有56人。題型3、等量代換【解題技巧】等量代換是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。．如果能應(yīng)用等量代換思考問(wèn)題，不僅有助于學(xué)生找到鋸決問(wèn)題的便捷方法，而且有助于鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例1．（2022·山西臨汾·六年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)如圖，＝（

）克。A．50 B．48 C．64例2．（2022·重慶沙坪壩·小升初真題）某款手機(jī)充電5分鐘，能夠通話2小時(shí)，或者玩游戲1.5小時(shí)，某人將一部完全沒(méi)電的手機(jī)充電4分鐘，之后打了20分鐘的電話。這部手機(jī)還能玩()分鐘的游戲。例3．（2023·四川成都·小升初真題）已知，求的值。變式1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·小升初真題）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝()。變式2．（2022·江蘇南京·小升初真題）1瓶水倒?jié)M7個(gè)大杯和6個(gè)小杯后，還余30克的水，或倒?jié)M9個(gè)大杯和4個(gè)小杯后，還余10克的水，這瓶水可以倒?jié)M()個(gè)大杯和()個(gè)小杯后，沒(méi)有剩余。變式3．（2024·山東·小升初模擬）若，則的值是()。題型4、等式與方程的概念辨析【解題技巧】1）等式：表示相等關(guān)系的式子叫作等式。2）方程：含有未知數(shù)的等式。3）方程一定是等式，等式不一定是方程。注意：如何判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．例1．（2024六年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）等式和方程的關(guān)系可以用如圖表示，下面（

）的關(guān)系也可以用這樣的圖來(lái)表示。A．質(zhì)數(shù)和合數(shù) B．奇數(shù)和偶數(shù) C．四邊形和三角形 D．長(zhǎng)方形和正方形例2．（2024六年級(jí)下·遼寧·專題練習(xí)）下面的式子中，是方程的是（

）。A．3x＋5 B．3y－7＜8 C． D．81÷9＝9變式1．（2023春·浙江·六年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中，不屬于方程的是（

）。A．21＝y(tǒng)＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10變式2．（2024·河南·六年級(jí)統(tǒng)考期中）小學(xué)階段學(xué)的很多數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著密切聯(lián)系。下面不能正確表示他們之間關(guān)系的是（

）。A． B．C． D．變式3．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考小升初真題）小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)了很多知識(shí)，知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系。下圖中：如果A表示長(zhǎng)方形，那么B可以表示正方形；如果A表示等腰三角形，那么B表示()；如果B表示方程，那么A可以表示()。題型5、等式的性質(zhì)及其運(yùn)用【解題技巧】等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。例1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，根據(jù)等式的性質(zhì)填空。()

()()

()例2．（2023春·北京·六年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）根據(jù)下圖天平平衡的狀態(tài)，求出一杯水的質(zhì)量。例3．（22-23六年級(jí)上·陜西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)。變式1．（2023春·江蘇南通·六年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)知識(shí)之間都有著有密切的聯(lián)系，下面（

）與眾不同。A．等式的性質(zhì) B．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) C．比的基本性質(zhì) D．商不變的規(guī)律變式2．（2023春·天津紅橋·六年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）。A． B． C． D．變式3．（22-23六年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖，兩條直線相交形成四個(gè)角。為了說(shuō)明圖中的∠2＝∠4，曉曉的理由是：因?yàn)椋骸?＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，也就得出：∠2＝∠4。這里運(yùn)用了（

）。A．加法交換律 B．等式的性質(zhì) C．減法的性質(zhì)題型6、方程的解及其運(yùn)用【解題技巧】1)方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值；2）解方程：求方程的解的過(guò)程；3）會(huì)利用方程的解，求字母的數(shù)值。例1．（22-23六年級(jí)下·山東·期末）x＝6是下面方程（

）的解。A．24÷x＝6 B．5x＝35 C．4x＋5＝29 D．4x÷8＝6例2．（2023春·江蘇·六年級(jí)小升初模擬）已知方程的解是，則k的值是（

）。A．2 B．3 C．4 D．5變式1．（2022·四川樂(lè)山·五年級(jí)期末）是下列（

）方程的解。A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇徐州·五年級(jí)期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，則a的值為（

）。A．4 B．7 C．10題型7、解方程【解題技巧】1）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。2）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說(shuō)明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說(shuō)明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解。例1．（2024·江蘇·小升初模擬）解方程：

例2．（2024·重慶·小升初模擬）解方程。

例3．（2023·浙江·小升初模擬）解方程或比例。

變式1．（2024·遼寧·小升初模擬）解方程。

變式2．（2023·四川成都·小升初真題）解方程。（1）（2）變式3．（2023·綿陽(yáng)市·六年級(jí)小升初模擬）解方程或比例。

A組（能力提升）1．（23-24六年級(jí)下·四川·期中）下面說(shuō)法正確的是（

）。A．方程5x＋5＝5的解是5B．5x＋5＜5是方程C．等式一定是方程D．方程一定是等式2．（23-24六年級(jí)·江蘇常州·期末）小學(xué)階段學(xué)了很多數(shù)學(xué)知識(shí)，它們之間有密切的聯(lián)系。下列不能正確表示它們之間關(guān)系的是（

）。A． B． C．3．（2022春·廣東梅州·六年級(jí)統(tǒng)考期末）是下面方程（

）的解。A． B． C．4．（2022·河南三門峽·小升初真題）鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”作單位，換算關(guān)系是：b＝2a－10（b表示碼數(shù)，a表示厘米數(shù)）。37碼的鞋用厘米作單位是（

）厘米。A．64 B．23.5 C．28.55．（2024·四川成都·小升初真題）（比較大?。ǎ┦且粋€(gè)真分?jǐn)?shù)，下面各分?jǐn)?shù)中最大的一個(gè)是（

）。A． B． C． D．6．（2022·山東濟(jì)寧·小升初真題）4a＋8錯(cuò)寫成4×（a＋8），結(jié)果比原來(lái)（

）。A．多4 B．少4 C．多247．（2022·陜西西安·小升初真題）某水果店運(yùn)來(lái)蘋果x千克，運(yùn)來(lái)梨的質(zhì)量是蘋果的1.5倍，該水果店運(yùn)來(lái)蘋果和梨一共()千克。如果該水果店運(yùn)來(lái)的梨比蘋果多50千克，那么運(yùn)來(lái)蘋果()千克，運(yùn)來(lái)梨()千克。8．（2023·四川成都·小升初真題）王恒出生于20世紀(jì)，他把他出生的月份乘2后加上5，把所得的結(jié)果乘50后加上出生年份再減去250，最后得到2088，則王恒出生在()年()月。9．（2023·四川成都·小升初真題）（圖形找規(guī)律）觀察下圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色的三角形有()個(gè)。10．（2023·湖北·小升初模擬）求未知數(shù)x。（1）

（2）（3）

（4）

B組（培優(yōu)拓展）1．（23-24六年級(jí)上·江蘇徐州·期末）將圖①正方形做如下操作：分別連接對(duì)邊中點(diǎn)如圖②，得到5個(gè)正方形（1個(gè)大正方形加上4個(gè)中等正方形）；第2次，將圖②左上角的正方形按上述方法再分割如圖③，得到9個(gè)正方形…像這樣操作8次，可以得到（

）個(gè)正方形。A．29 B．30 C．32 D．332．（2023·四川成都·小升初真題）A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出A，B，C，D，E五隊(duì)分別比賽了5，4，3，2，1場(chǎng)球，則還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是（

）。A．C隊(duì) B．D隊(duì) C．E隊(duì) D．F隊(duì)3．（2022·浙江寧波·小升初真題）按照下面的方式堆放小球，第5堆有()個(gè)小球，第n堆有()個(gè)小球