(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題04橢圓的性質(zhì)綜合難點(diǎn)專(zhuān)練(原卷版+解析)

專(zhuān)題04橢圓的性質(zhì)綜合難點(diǎn)專(zhuān)練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值的分別為（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，112．若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．橢圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)情況是（）A．沒(méi)有交點(diǎn) B．有一個(gè)交點(diǎn) C．有兩個(gè)交點(diǎn) D．由的取值而確定4．設(shè)、是橢圓上相異的兩點(diǎn).設(shè)、.命題甲：若，則與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；命題乙：若，則與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).關(guān)于這兩個(gè)命題的真假，以下四個(gè)論述中，正確的是（）A．甲和乙都是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲和乙都是假命題5．在圓錐曲線(xiàn)中，我們將焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值稱(chēng)為離心率，已知橢圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A，若該橢圓上總存在點(diǎn)P（異于A），使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓：上，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在線(xiàn)的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)，，的斜率之和為1.則（）A． B． C． D．7．(2023·上海奉賢·高二期末）直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)使得的面積為，則這樣的點(diǎn)在橢圓上的個(gè)數(shù)有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)8．已知橢圓過(guò)右焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（）A． B． C． D．9．已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A、B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．下面是對(duì)曲線(xiàn)的一些結(jié)論，正確的結(jié)論是（）①的取值范圍是；②曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③曲線(xiàn)上除點(diǎn)，外的其余所有點(diǎn)都在橢圓的內(nèi)部；④過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④二、填空題11．(2023·上海黃浦·三模）已知橢圓的右頂點(diǎn)為右焦點(diǎn)為以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)則的值為_(kāi)____．12．(2023·上海嘉定·三模）設(shè)橢圓，直線(xiàn)l過(guò)的左頂點(diǎn)A交y軸于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，若為等腰三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且Q是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于________.13．(2023·上海長(zhǎng)寧·二模）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且不是橢圓的頂點(diǎn)．若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____．14．(2023·上海市控江中學(xué)高三月考）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于另一個(gè)點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，，則___________.15．(2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若△PF1F2的面積為9，則b=_________.16．(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________________．17．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．18．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）已知橢圓，焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c>0），若過(guò)F1的直線(xiàn)和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且PF2⊥x軸，則橢圓的離心率是_______.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓的弦與分別垂直于軸與軸，且相交于點(diǎn).已知線(xiàn)段，，，的長(zhǎng)分別為2，4，6，12，則的面積為_(kāi)__________.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在橢圓上，點(diǎn)P滿(mǎn)足，且，則線(xiàn)段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)______三、解答題21．(2023·上海市七寶中學(xué)高三期中）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門(mén)位于該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓面反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，即橢圓上任意一點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．(1)求截口BAC所在橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)．①是否存在m，使得P到和P到直線(xiàn)的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若的角平分線(xiàn)PQ交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k，直線(xiàn)、的斜率分別為，，請(qǐng)問(wèn)是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．(2023·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)在橢圓上，且，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)（不同于Q點(diǎn)），試求的值；(3)已知點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)與圓相切，連接，問(wèn)：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.23．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）已知橢圓：上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值與最小值之比為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左右頂點(diǎn)分別為、.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)：與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交直線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求證：為定值；(3)如圖，原點(diǎn)到：的距離為1，直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)：與平行且與橢圓相切于點(diǎn)（、位于直線(xiàn)的兩側(cè)），記、的面積分別為、，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.24．(2023·上海虹口·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)若直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，求的值；(2)若點(diǎn)在第一象限，滿(mǎn)足，求的值；(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.25．(2023·上海楊浦·一模）如圖，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，過(guò)右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于M?N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P?Q分別在直線(xiàn)MN與橢圓C上.已知，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在y軸上，求三角形的面積；(3)是否存在以?為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)E在橢圓C上？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.26．(2023·上海金山·一模）已知為橢圓C：內(nèi)一定點(diǎn)，Q為直線(xiàn)l：上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PQ與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于P?Q兩點(diǎn)之間），O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)直線(xiàn)PQ的傾斜角為時(shí)，求直線(xiàn)OQ的斜率；(2)當(dāng)AOB的面積為時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)，，試問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.27．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）給定橢圓，稱(chēng)圓為橢圓E的“伴隨圓”．已知橢圓E中，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若直線(xiàn)與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C、D兩點(diǎn)，．①請(qǐng)將用含有k的關(guān)系式表示（不需給出k的范圍）；②當(dāng)時(shí)，求的面積28．(2023·上海崇明·一模）如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的點(diǎn)，M，N是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)位于軸上方)，滿(mǎn)足且，線(xiàn)段PN交軸于點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若四邊形為矩形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求證:為定值.專(zhuān)題04橢圓的性質(zhì)綜合難點(diǎn)專(zhuān)練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值的分別為（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】?jī)蓤A的圓心是橢圓的焦點(diǎn)，，的最大值與最小值是到圓心的距離加上半徑、減去半徑，結(jié)合橢圓定義可得．【詳解詳析】由題意橢圓的焦點(diǎn)分別是，恰好是已知兩圓圓心，兩圓半徑都是1，，，，，，∴，．故選：C．2．若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】分別在曲線(xiàn)為橢圓、雙曲線(xiàn)和圓三種情況下，由數(shù)形結(jié)合的方式得到不等關(guān)系，從而求得結(jié)果.【詳解詳析】①當(dāng)曲線(xiàn)為橢圓時(shí)，若兩曲線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則需如下圖所示：則，解得：②當(dāng)曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)時(shí)，如下圖所示：若為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，則兩曲線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，解得：③當(dāng)曲線(xiàn)為圓，即時(shí)，兩曲線(xiàn)有個(gè)不同交點(diǎn)，不合題意綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為故選【名師指路】本題考查根據(jù)兩曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類(lèi)討論的方式，根據(jù)曲線(xiàn)方程表示的不同曲線(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合的方式得到不等關(guān)系.3．橢圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)情況是（）A．沒(méi)有交點(diǎn) B．有一個(gè)交點(diǎn) C．有兩個(gè)交點(diǎn) D．由的取值而確定【標(biāo)準(zhǔn)答案】C先將轉(zhuǎn)化為：，令，解出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再將代入，判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系.【詳解詳析】已知可轉(zhuǎn)化為：，令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，將代入可得，所以點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線(xiàn)與橢圓必相交，所以必有兩個(gè)交點(diǎn).故選：C【名師指路】本題主要考查了點(diǎn)與橢圓，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)、是橢圓上相異的兩點(diǎn).設(shè)、.命題甲：若，則與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；命題乙：若，則與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).關(guān)于這兩個(gè)命題的真假，以下四個(gè)論述中，正確的是（）A．甲和乙都是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲和乙都是假命題【標(biāo)準(zhǔn)答案】A設(shè)點(diǎn)、，則或，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合命題中的等式，化簡(jiǎn)計(jì)算可判斷出兩個(gè)命題的真假.【詳解詳析】設(shè)點(diǎn)、，則，可得，.對(duì)于命題甲：，同理可得，，則，整理得，，，所以，，則，必有，所以，則與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，命題甲正確；同理可知命題乙也正確.故選：A.【名師指路】本題主要考查橢圓的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，考查橢圓方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.5．在圓錐曲線(xiàn)中，我們將焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值稱(chēng)為離心率，已知橢圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A，若該橢圓上總存在點(diǎn)P（異于A），使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】設(shè)，利用可得關(guān)于的方程，再結(jié)合該點(diǎn)在橢圓上可得，利用可求離心率的范圍.【詳解詳析】由橢圓方程可得，設(shè)，則，因?yàn)?，故，故，又，故，整理得到：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故方程有一個(gè)解為.所以此方程的另一個(gè)解為，故的橫坐標(biāo)為，所以，即即，所以，故選：B.【名師指路】方法點(diǎn)睛：橢圓離心率的范圍計(jì)算，一般利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的不等式關(guān)系，構(gòu)建時(shí)常依據(jù)坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍等.6．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓：上，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在線(xiàn)的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)，，的斜率之和為1.則（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A設(shè)，，，，，，利用，在橢圓上，代入橢圓方程，兩式相減得：，同理可得：，，再利用已知條件即可得出結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)，，，，，，因?yàn)椋跈E圓上，所以，，兩式相減得：，即，同理可得，，所以因?yàn)橹本€(xiàn)??的斜率之和為1，所以，故選：A.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.利用平方差法轉(zhuǎn)化求解斜率是解決本題的關(guān)鍵.7．(2023·上海奉賢·高二期末）直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)使得的面積為，則這樣的點(diǎn)在橢圓上的個(gè)數(shù)有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】設(shè)點(diǎn)，其中，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及三角形的面積公式可得出或，觀察直線(xiàn)、與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解詳析】設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，因?yàn)椋?，所以，，所以，或，可得或，因?yàn)?，則，如下圖所示：直線(xiàn)與函數(shù)的圖象只有個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有個(gè)公共點(diǎn)，因此，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共有個(gè).故選：C.8．已知橢圓過(guò)右焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】設(shè)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理.利用直線(xiàn)參數(shù)的幾何意義表示出，由此求得兩者的比值.【詳解詳析】依題意可知，橢圓的右焦點(diǎn)為.設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線(xiàn)的傾斜角，）.代入橢圓，化簡(jiǎn)得，所以.設(shè)的中點(diǎn)為，則中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，所以.而.所以.故選：B.【名師指路】本小題主要考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.9．已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A、B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】橢圓焦點(diǎn)在軸上，由在圓，則，有，設(shè)，求出，令，，分離常數(shù)，求解得出結(jié)論.【詳解詳析】橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)，點(diǎn)圓上且不同于，，設(shè)，令，，且不等于0.故選:D.【名師指路】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、換元方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題.10．下面是對(duì)曲線(xiàn)的一些結(jié)論，正確的結(jié)論是（）①的取值范圍是；②曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③曲線(xiàn)上除點(diǎn)，外的其余所有點(diǎn)都在橢圓的內(nèi)部；④過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④【標(biāo)準(zhǔn)答案】C由曲線(xiàn)方程性質(zhì)可知①正確；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，是否都在曲線(xiàn)上，可判斷②；令代入驗(yàn)證即可判斷③；通過(guò)軌跡法求得垂線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程，判斷軌跡中的點(diǎn)與的關(guān)系即可判斷④.【詳解詳析】，可知，即，，，，①正確；將方程中的換成，換成方程不變，故②正確；，令，則，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在橢圓的外部，故③錯(cuò)誤；過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡為，即，在上任取一點(diǎn)，，，，即在外，圍成圖形的面積大于，故④錯(cuò)誤.故選：C【名師指路】方法點(diǎn)睛：關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題可以利用以下知識(shí)解決：①點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為；②點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為；③點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為；④點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為.二、填空題11．(2023·上海黃浦·三模）已知橢圓的右頂點(diǎn)為右焦點(diǎn)為以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)則的值為_(kāi)____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由對(duì)稱(chēng)性得弦是橢圓的通徑，由通徑長(zhǎng)可得關(guān)系式，從而求得．【詳解詳析】由已知，，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)，所以由對(duì)稱(chēng)性知軸，所以，，所以．故答案為：．12．(2023·上海嘉定·三模）設(shè)橢圓，直線(xiàn)l過(guò)的左頂點(diǎn)A交y軸于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，若為等腰三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且Q是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由題意可得，代入橢圓方程求解即可.【詳解詳析】設(shè)，由題意可得：，因?yàn)镼是的中點(diǎn)，所以∴，∴，代入橢圓方程可得：，解得，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于故答案為：.13．(2023·上海長(zhǎng)寧·二模）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且不是橢圓的頂點(diǎn)．若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】1【思路指引】由已知向量條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性推出四邊形一定為平行四邊形，可得，即.【詳解詳析】因?yàn)?，所以，所以，又，且不是橢圓的頂點(diǎn)．根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形一定為平行四邊形，如圖：所以，所以，即，故答案為：．【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性求解是解題關(guān)鍵.14．(2023·上海市控江中學(xué)高三月考）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于另一個(gè)點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，，則___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由橢圓方程及已知條件知：、，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，由在橢圓上求參數(shù)a即可.【詳解詳析】由題設(shè)，知：，若直線(xiàn)與軸相交于x軸上方，由知：，∵，即是的中點(diǎn)，∴，又在橢圓上，∴，解得.故答案為：15．(2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若△PF1F2的面積為9，則b=_________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】3【思路指引】結(jié)合已知三角形面積根據(jù)橢圓的定義可得．【詳解詳析】設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，又，所以，，．故答案為?．16．(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】先求交點(diǎn)A，B得，再求與直線(xiàn)平行且與橢圓相切的直線(xiàn)方程，最后根據(jù)兩直線(xiàn)距離判定點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解詳析】由題意知，直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，，故，若的面積為，則（為邊上的高），所以．聯(lián)立與橢圓方程，得．令，得，即當(dāng)直線(xiàn)平移到直線(xiàn)或時(shí)，與橢圓相切，它們與直線(xiàn)的距離或，當(dāng)，所以有個(gè)點(diǎn)符合要求；當(dāng)，沒(méi)有滿(mǎn)足題意的點(diǎn)；所以一共有個(gè)點(diǎn)符合要求．故答案為：217．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由橢圓的幾何性質(zhì)可直接求解.【詳解詳析】將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)式得，故，焦點(diǎn)在軸上，所以，，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：18．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）已知橢圓，焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c>0），若過(guò)F1的直線(xiàn)和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且PF2⊥x軸，則橢圓的離心率是_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由幾何關(guān)系可得為，結(jié)合相似三角形可得的比例關(guān)系，聯(lián)立焦點(diǎn)三角形公式即可求解【詳解詳析】由題可知，，，故，因?yàn)檫^(guò)F1的直線(xiàn)和圓相切，所以，又PF2⊥x軸，故，即，設(shè)則，橢圓離心率故答案為：19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓的弦與分別垂直于軸與軸，且相交于點(diǎn).已知線(xiàn)段，，，的長(zhǎng)分別為2，4，6，12，則的面積為_(kāi)__________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】根據(jù)圖形以及線(xiàn)段，，，的長(zhǎng)求出，將代入，可得，然后利用三角形面積公式可得答案.【詳解詳析】因?yàn)闄E圓的弦與分別垂直于軸與軸，且相交于點(diǎn)，線(xiàn)段，，，的長(zhǎng)分別為2，4，6，12，由圖可知，是第一象限的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，，，即，將代入，可得，解得，，則的面積為，故答案為：【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱(chēng)性求出，然后代入橢圓方程確定的值.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在橢圓上，點(diǎn)P滿(mǎn)足，且，則線(xiàn)段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)______【標(biāo)準(zhǔn)答案】10由已知可得，，三點(diǎn)共線(xiàn)，先設(shè)與軸的夾角為，為在軸上的投影，從而有線(xiàn)段在軸上的投影長(zhǎng)度為，結(jié)合橢圓方程及基本不等式可求．【詳解詳析】，，則，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，設(shè)與軸的夾角為，為在軸上的投影，則線(xiàn)段在軸上的投影長(zhǎng)度為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值10．故答案為：10．【名師指路】方法點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.三、解答題21．(2023·上海市七寶中學(xué)高三期中）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門(mén)位于該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓面反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，即橢圓上任意一點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．(1)求截口BAC所在橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)．①是否存在m，使得P到和P到直線(xiàn)的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若的角平分線(xiàn)PQ交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k，直線(xiàn)、的斜率分別為，，請(qǐng)問(wèn)是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1).(2)①存在②是定值【思路指引】（1）設(shè)所求橢圓方程為，由橢圓的性質(zhì)求得，，可得橢圓的方程；（2）①存在,設(shè)橢圓上的點(diǎn),直接計(jì)算，即可探索出存在m；②由（1）得橢圓的方程為，設(shè)橢圓上的點(diǎn)，有，證明橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，再由右光學(xué)性質(zhì)得直線(xiàn)，由此可求得定值.(1)設(shè)所求橢圓方程為，則，由橢圓的性質(zhì)：，所以，，所以橢圓的方程為.(2)由橢圓的方程為，則.①存在直線(xiàn)，使得P到和P到直線(xiàn)的距離之比為定值.設(shè)橢圓上的點(diǎn),則，P到直線(xiàn)的距離，所以，所以，當(dāng)時(shí)，（定值）.即存在，使得P到和P到直線(xiàn)的距離之比為定值.②設(shè)橢圓上的點(diǎn)，則，又橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，證明如下：對(duì)于橢圓，當(dāng)，，則，所以橢圓在處的切線(xiàn)方程為，又由，可以整理切線(xiàn)方程為：，即切線(xiàn)方程為，即，也即.所以橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，同理可證：當(dāng)，橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，綜述：橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，又由光學(xué)性質(zhì)可知：直線(xiàn)，所以，則.所以，，那么.22．(2023·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)在橢圓上，且，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)（不同于Q點(diǎn)），試求的值；(3)已知點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)與圓相切，連接，問(wèn)：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)(3)為定值，理由見(jiàn)解析.【思路指引】（1）由已知可得，設(shè)，，根據(jù)求得的值，再由求得的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，，計(jì)算，，可得，即可得；（3）直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，的方程為或，求出，，三點(diǎn)坐標(biāo)，可得、的長(zhǎng)，即可得的值，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，可得，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得，，由弦長(zhǎng)公式計(jì)算，由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，即可得，即可得結(jié)論.(1)設(shè)橢圓的半焦距為，由點(diǎn)在橢圓上，可得，，，，由，可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)，，，所以，，所以，可得，所以(3)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由題意可得：直線(xiàn)的方程為或，當(dāng)直線(xiàn)的方程為時(shí)，的方程為，可得，，，則，，所以，其他情況由對(duì)稱(chēng)性，同理可得，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，可得，設(shè)，可得，由可得，所以，，所以，，，所以，綜上所述：為定值.【名師指路】思路點(diǎn)睛：解決圓錐曲線(xiàn)定值、定點(diǎn)的方法：（1）從特殊入手，求出定值、定點(diǎn)、定線(xiàn)，再證明定值、定點(diǎn)、定線(xiàn)與變量無(wú)關(guān)；（2）直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求的方法、整體思想和消元思想的運(yùn)用可以有效的簡(jiǎn)化運(yùn)算.23．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）已知橢圓：上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值與最小值之比為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左右頂點(diǎn)分別為、.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)：與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交直線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求證：為定值；(3)如圖，原點(diǎn)到：的距離為1，直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)：與平行且與橢圓相切于點(diǎn)（、位于直線(xiàn)的兩側(cè)），記、的面積分別為、，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【思路指引】（1）根據(jù)，解得答案.（2）設(shè)，計(jì)算直線(xiàn)方法解得交點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)得到證明.（3）根據(jù)距離的相切得到，，得到，根據(jù)得到答案.(1)根據(jù)題意，，解得，，則.故橢圓方程為：.(2)設(shè)，，，，故：，取得到，即.同理可得，.(3)，即，，化簡(jiǎn)得到，，整理得到.，故，故，故，故.24．(2023·上海虹口·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)若直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，求的值；(2)若點(diǎn)在第一象限，滿(mǎn)足，求的值；(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)(3)存在使得是一個(gè)確定的常數(shù).【思路指引】（1）根據(jù)題意求得，進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程，令，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)，得到，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而求得的值；（3）按照直線(xiàn)斜率是否為0討論，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，結(jié)合向量的數(shù)量積的公式，化簡(jiǎn)得到，從而得到，求得，即可得到答案.(1)解：由橢圓，可得，則，所以，又因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，可得直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，令，解得，即.(2)解：設(shè)，可得，因?yàn)?，即，整理得，由且，解得，即，又由，所以直線(xiàn)的方程為，令，解得，即.(3)解：當(dāng)直線(xiàn)l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，設(shè)，可得，則，令，可得，解得，此時(shí)點(diǎn)，；當(dāng)直線(xiàn)斜率為0時(shí)，直線(xiàn)的方程為，，若點(diǎn)，則成立；所以存在定點(diǎn)，使得是一個(gè)確定的常數(shù)25．(2023·上海楊浦·一模）如圖，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，過(guò)右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于M?N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P?Q分別在直線(xiàn)MN與橢圓C上.已知，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在y軸上，求三角形的面積；(3)是否存在以?為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)E在橢圓C上？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；(2)；(3)存在，且點(diǎn)坐標(biāo)為,.【思路指引】（1）的周長(zhǎng)是，求得，由焦距得，然后求得得橢圓方程；（2）線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在y軸上，得點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得點(diǎn)縱坐標(biāo)，此時(shí)軸，易得其面積；（3）假設(shè)存在以?為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)E在橢圓C上，設(shè)，，，由平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分把點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后把坐標(biāo)代入橢圓方程，利用垂直得向量的數(shù)量積為0，得出的關(guān)系，結(jié)合起來(lái)可得或，再分別代入求得，得結(jié)論．(1)由已知，所以，，從而，橢圓方程為；(2)顯然，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在y軸上，則，軸，，，所以；(3)假設(shè)存在以?為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)E在橢圓C上，設(shè)，，，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，一定為平行四邊形，所以，，都在橢圓上，，變形得①，又，所以，即，②，②代入①得，或，時(shí)，，，此時(shí)與重合，點(diǎn)坐標(biāo)為；時(shí)，（舍去），，點(diǎn)坐標(biāo)為．所以存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為,.【名師指路】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓中的存在性命題．解題方法是假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后