(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題05雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點專練(原卷版+解析)

專題05雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．2．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）過雙曲線的右頂點作軸的垂線與的一條漸近線相交于點，若以的右焦點為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過?兩點(為坐標(biāo)原點)，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．3．已知曲線，以下命題不正確的是（）A．若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上B．若，則曲線是圓，其半徑為C．若，則曲線是雙曲線，其漸近線方程為D．若，，則曲線是兩條直線，其傾斜角均為04．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)圓O1和圓O2是兩個相離的定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡可能是①兩條雙曲線；②一條雙曲線和一條直線；③一條雙曲線和一個橢圓．以上命題正確的是--A．①③ B．②③ C．①② D．①②③5．如圖，點是曲線上的任意一點，，，射線交曲線于點，垂直于直線，垂足為點.則下列判斷：①為定值；②為定值5.其中正確的說法是A．①②都正確 B．①②都錯誤C．①正確，②錯誤 D．①都錯誤，②正確6．(2023·上海黃浦·三模）已知、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點，且，若是該雙曲線右支上一點，且滿足，則面積的最大值是（）A． B． C． D．7．已知圓的圓心為C，過點且與x軸不重合的直線l交圓C于A、B兩點，點A在點M與點B之間，過點M作直線AC的平行線交直線BC于點P，則點P的軌跡是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分8．已知定圓：，點是圓所在平面內(nèi)一定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個點.其中所有可能的結(jié)果有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．已知橢圓，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，且，直線與直線交于點，則點的軌跡為（）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線10．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）設(shè)是雙曲線的右支上的點，則代數(shù)式的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題11．(2023·上海·高二期中）已知為坐標(biāo)原點，，，點滿足，點又滿足，則點的坐標(biāo)是__________．12．(2023·上海市新場中學(xué)高二期中）已知兩點，若，那么點的軌跡方程是______.13．(2023·上海長寧·一模）已知雙曲線的左，右焦點為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點.若為等邊三角形，則的邊長為____________14．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二月考）若將方程化簡為的形式，則___________.15．(2023·上海中學(xué)高二期末）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則________.16．(2023·上海青浦·一模）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是______.(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點，若，則_______．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)雙曲線r：（）的左、右焦點分別為，，點M在r的右支上，向量是直線的一個方向向量，若，則r的焦距為______.(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為________．(2023·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則實數(shù)m=_____________(2023·上海寶山·高二期末）設(shè)、為雙曲線的兩焦點，P為雙曲線上的一點，且，則的面積為______22．(2023·上海·復(fù)旦附中青浦分校高二月考）已知點，，.設(shè)點滿足，且為函數(shù)圖象上的點，則_____.三、解答題23．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）.已知點，，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點，是坐標(biāo)原點，求的最小值.24．(2023·上海青浦·高二期末）如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個景點A，B，它們距離城市中心O的距離均為km，C是正北方向主干道邊上的一個景點，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M-N-P如圖所示，道路MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多16km，其中道路起點M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點到O的距離都相等，以O(shè)為原點、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（1）求道路M-N-P的曲線方程；（2）現(xiàn)要在M-N_P上建一站點Q，使得Q到景點C的距離最近，問如何設(shè)置站點Q的位置（即確定點Q的坐標(biāo)）？25．(2023·上海奉賢·一模）第一象限內(nèi)的點在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點分別記為，已知為坐標(biāo)原點.(1)求證：；(2)若的面積為2，求點的坐標(biāo).26．已知橢圓.雙曲線的實軸頂點就是橢圓的焦點，雙曲線的焦距等于橢圓的長軸長.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過點與橢圓交于兩點，求的面積的最大值；（3）設(shè)直線（其中為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.27．(2023·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三月考）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.28．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知△OFQ的面積為2，＝m（1）設(shè)≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），||＝c，m＝（﹣1）c2，當(dāng)||取得最小值時，求此雙曲線的方程.專題05雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【詳解詳析】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力.不妨設(shè)點P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x軸的距離為.2．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）過雙曲線的右頂點作軸的垂線與的一條漸近線相交于點，若以的右焦點為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過?兩點(為坐標(biāo)原點)，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B，故，不妨設(shè)漸近線方程為，則，根據(jù)，計算得到答案.【詳解詳析】連接，，故，不妨設(shè)漸近線方程為，則.故，解得，故雙曲線方程為故選：B3．已知曲線，以下命題不正確的是（）A．若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上B．若，則曲線是圓，其半徑為C．若，則曲線是雙曲線，其漸近線方程為D．若，，則曲線是兩條直線，其傾斜角均為0【標(biāo)準(zhǔn)答案】B由解析幾何的知識逐一判斷即可.【詳解詳析】若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上，故A正確若，則曲線是圓，其半徑為，故B錯誤若，則曲線是雙曲線，其漸近線方程為，故C正確若，，則曲線是兩條直線，其傾斜角均為0，故D正確故選：B4．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)圓O1和圓O2是兩個相離的定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡可能是①兩條雙曲線；②一條雙曲線和一條直線；③一條雙曲線和一個橢圓．以上命題正確的是--A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【詳解詳析】試題分析：設(shè)圓與圓相離，半徑分別為，不妨設(shè)，則若圓與兩圓都外切，則，而兩圓都內(nèi)切，則有，若圓與圓一個內(nèi)切，一個外切，則有，故當(dāng)時，軌跡是兩條雙曲線，當(dāng)時，軌跡是一條雙曲線和一條直線.選C.考點：圓與圓的位置關(guān)系，雙曲線的定義.5．如圖，點是曲線上的任意一點，，，射線交曲線于點，垂直于直線，垂足為點.則下列判斷：①為定值；②為定值5.其中正確的說法是A．①②都正確 B．①②都錯誤C．①正確，②錯誤 D．①都錯誤，②正確【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】曲線的方程整理可得是雙曲線的一部分，可以判定正好是雙曲線的兩個焦點，然后利用雙曲線的定義可以得到結(jié)論①，利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為到拋物線準(zhǔn)線的距離，可以判定②正確.【詳解詳析】曲線兩邊平方，得，為雙曲線的的部分，，恰為該雙曲線的兩焦點，由雙曲線定義，知，又，∴，①正確；曲線即拋物線，其焦點為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義，知，②正確；故選：A.【名師指路】本題考查雙曲線與拋物線的定義，方程，屬中檔題，關(guān)鍵是利用雙曲線和拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.6．(2023·上海黃浦·三模）已知、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點，且，若是該雙曲線右支上一點，且滿足，則面積的最大值是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B設(shè)，，，由雙曲線定義得，根據(jù)得，，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識可求得結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)，，，由題意得，，由雙曲線定義得，∴,所以，所以，所以，所以，由余弦定理得，，當(dāng)時，面積的最大值是，故選：B.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于的函數(shù)是解題關(guān)鍵.7．已知圓的圓心為C，過點且與x軸不重合的直線l交圓C于A、B兩點，點A在點M與點B之間，過點M作直線AC的平行線交直線BC于點P，則點P的軌跡是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)題意找出幾何關(guān)系，得到，所以，即可得到，可求點的軌跡.【詳解詳析】由已知條件可知,所以三角形是等腰三角形，,因為所以則三角形是等腰三角形，所以所以點的軌跡是雙曲線的左支．故選：C【名師指路】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)形結(jié)合解集動點軌跡問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，確定.8．已知定圓：，點是圓所在平面內(nèi)一定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個點.其中所有可能的結(jié)果有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【標(biāo)準(zhǔn)答案】C首先分四種情況，點在圓內(nèi)，圓上，圓外，以及點與點重合，四種情況討論點的軌跡.【詳解詳析】當(dāng)點在在圓內(nèi)，∵，，則點的軌跡是以?為焦點的橢圓，當(dāng)點在圓上時，由于，線段的中垂線交直線于，點的軌跡為一個點；點在圓外時，，∵，則點的軌跡是以?為焦點的雙曲線；當(dāng)點與重合時，為半徑的中點，點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，其中正確的命題序號為①②④⑥.共4個.故選：C.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：動點軌跡問題的關(guān)鍵是情況分類需全面，否則容易少選.9．已知橢圓，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，且，直線與直線交于點，則點的軌跡為（）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【標(biāo)準(zhǔn)答案】C依題意畫出圖形，設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，分別將點A、B、C、D、P的坐標(biāo)表示出來，由建立起關(guān)于p、q的方程，最后化簡即可得出軌跡方程.【詳解詳析】設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，所以點，，，，，所以，，因為，所以，所以，即，所以點的軌跡為雙曲線.故選：C.【名師指路】方法點睛：求點的軌跡方程的常用方法：1.直接法，2.定義法，3.相關(guān)點法.10．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）設(shè)是雙曲線的右支上的點，則代數(shù)式的最小值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】設(shè),所求式表示,利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，利用距離三角不等式即可求得最小值.【詳解詳析】，設(shè),上式表示,由于雙曲線的左焦點為,雙曲線的實軸,,,,當(dāng)在的延長線與雙曲線右支的交點處時取到等號，所以的最小值為.故選：B二、填空題11．(2023·上?！じ叨谥校┮阎獮樽鴺?biāo)原點，，，點滿足，點又滿足，則點的坐標(biāo)是__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可知點為橢圓與雙曲線右支的交點，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解詳析】由，，點滿足，由橢圓的定義可得點在橢圓上，又點滿足，由雙曲線的定義可得點在上，聯(lián)立橢圓方程與雙曲線方程可得，，所以點的坐標(biāo)是.故答案為：12．(2023·上海市新場中學(xué)高二期中）已知兩點，若，那么點的軌跡方程是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)可得點的軌跡為雙曲線.【詳解詳析】設(shè)點的坐標(biāo)為因為所以點的軌跡為焦點在軸的雙曲線且所以所以點的軌跡方程為：故答案為：13．(2023·上海長寧·一模）已知雙曲線的左，右焦點為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點.若為等邊三角形，則的邊長為____________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.【詳解詳析】解：如圖，設(shè)的邊長為，，因為為等邊三角形，所以，由雙曲線的方程知，所以由雙曲線的定義得，即，解得，.所以的邊長為.故答案：.14．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二月考）若將方程化簡為的形式，則___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】根據(jù)雙曲線的定義即可得到答案.【詳解詳析】方程表示點到，兩點距離差的絕對值為6，∴軌跡為以，為焦點的雙曲線，，，∴故方程為，∴.故答案為：2.15．(2023·上海中學(xué)高二期末）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】4【詳解詳析】試題分析：因為，所以考點：雙曲線定義16．(2023·上海青浦·一模）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點差法可求得的值，再結(jié)合焦點的坐標(biāo)可求得和的值，由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解詳析】設(shè)點、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個焦點為，則，，，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【名師指路】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，涉及點差法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.17．(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點，若，則_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】7【思路指引】利用雙曲線的漸近線方程求出，再利用雙曲線的定義，即可求解.【詳解詳析】由題意，點是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，可得，解得，則，又由分別是雙曲線的左、右焦點，由，可得點在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，可得.故答案為：.【名師指路】本題主要考查了雙曲線的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，合理利用雙曲線的定義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.18．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)雙曲線r：（）的左、右焦點分別為，，點M在r的右支上，向量是直線的一個方向向量，若，則r的焦距為______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由題意可得直線的斜率為，且，設(shè)，由雙曲線的定義可得，在三角形中，分別運用正弦定理、余弦定理，解方程可得，進(jìn)而得到焦距．【詳解詳析】解：向量是直線的一個方向向量，可得直線的斜率為，且，設(shè)，由雙曲線的定義可得，在三角形中，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即為，解得，，則焦距．故答案為：．【名師指路】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的正弦定理、余弦定理的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．19．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】作出圖形，設(shè)雙曲線的右焦點為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點共線時取得最小值即可得解.【詳解詳析】對于雙曲線，則，，，如下圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.20．(2023·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則實數(shù)m=_____________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)焦點相同，則焦距相等，建立方程求解.【詳解詳析】由可得，由可得所以焦點在軸上，且，解得，故答案為：21．(2023·上海寶山·高二期末）設(shè)、為雙曲線的兩焦點，P為雙曲線上的一點，且，則的面積為______【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】題意可得，，，，由余弦定理可得，由，求得的面積即為所求．【詳解詳析】由題意可得雙曲線，，，，得，，，，又，，由余弦定理可得：，的面積，故答案為：．22．(2023·上海·復(fù)旦附中青浦分校高二月考）已知點，，.設(shè)點滿足，且為函數(shù)圖象上的點，則_____.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)雙曲線的定義求出點的軌跡方程與聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，再由兩點間距離公式即可求解.【詳解詳析】因為，，所以，因為，所以點在以，為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由，可得，所以點的軌跡方程為：，而點為函數(shù)圖象上的點，由解得：，即，所以，故答案為：.三、解答題23．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）.已知點，，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點，是坐標(biāo)原點，求的最小值.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）根據(jù)雙曲線的定義可知軌跡為雙曲線的右支，從而可得軌跡方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，可求得；當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，代入可整理得到一元二次方程；根據(jù)有兩個正實根可構(gòu)造出不等式組，求得斜率；將利用坐標(biāo)運算表示為符合韋達(dá)定理的形式，代入整理后，結(jié)合可求得；綜合兩種情況可得所求最小值.【詳解詳析】（1）由雙曲線定義可知：點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，，的方程為：（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為：此時，②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：代入雙曲線方程可得：可知上式有兩個不等的正實數(shù)根解得：由得：綜上所述，的最小值為【名師指路】本題考查根據(jù)雙曲線的定義求解雙曲線方程、直線與雙曲線綜合應(yīng)用中的最值問題的求解；易錯點是忽略雙曲線僅為右半支的情況，導(dǎo)致求解錯誤；求解最值問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶油ㄟ^韋達(dá)定理來進(jìn)行表示，利用韋達(dá)定理代入變?yōu)殛P(guān)于斜率的函數(shù)，從而結(jié)合斜率的范圍求得最值.24．(2023·上海青浦·高二期末）如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個景點A，B，它們距離城市中心O的距離均為km，C是正北方向主干道邊上的一個景點，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M-N-P如圖所示，道路MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多16km，其中道路起點M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點到O的距離都相等，以O(shè)為原點、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（1）求道路M-N-P的曲線方程；（2）現(xiàn)要在M-N_P上建一站點Q，使得Q到景點C的距離最近，問如何設(shè)置站點Q的位置（即確定點Q的坐標(biāo)）？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）MN段∶，NP段，；（2）.【思路指引】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得線路所在的曲線是以定點為左右焦點的雙曲線的右支上，求得其標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的定義，得到線路所在的曲線為以為圓心，為半徑的圓，求得此圓的方程，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，分點在線路與線路上兩種情況討論，分別求得的最小值，比較大小，得出最小值，以及點的坐標(biāo).【詳解詳析】（1）根據(jù)題意，線路段上的任意一點到景點的距離比到景點的距離都多，則線路所在的曲線是以定點為左右焦點的雙曲線的右支上，其方程為，又由線路段上的任意一點到的距離都相等，則線路所在的曲線為以為圓心，為半徑的圓，其方程為，故道路曲線方程為段：，段：.（2）當(dāng)點在線路上，設(shè)，又由，則，由（1）可得，則，可得當(dāng)時，有最小值，且，當(dāng)點在線路上，設(shè)，又由，則，由（1）可得，則，可得當(dāng)時，有最小值，且，因為，所以有最小值為，此時，則，則點的坐標(biāo)為，此時到的距離最小.25．(2023·上海奉賢·一模）第一象限內(nèi)的點在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點分別記為，已知為坐標(biāo)原點.(1)求證：；(2)若的面積為2，求點的坐標(biāo).【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見解析.(2).【思路指引】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線定義及a，b，c的關(guān)系即可計算作答.(2)利用(1)的結(jié)論求出雙曲線的方程，求出長，由此列出方程組求解即得.(1)因是雙曲線第一象限內(nèi)的點，于是得，而，則，，令雙曲線的半焦距為c，則，因，因此，，即，化簡得，又，則有，，所以.(2)因為線段的中點，則，由(1)知，于是有，則，因此，雙曲線方程為，設(shè)點，則有，又是斜邊的中點，則，即，聯(lián)立解得，而，則有，所以點的坐標(biāo)是.26．已知橢圓.雙曲線的實軸頂點就是橢圓的焦點，雙曲線的焦距等于橢圓的長軸長.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過點與橢圓交于兩點，求的面積的最大值；（3）設(shè)直線（其中為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）（3）存在，（1）根據(jù)橢圓方程可以得到雙曲線的焦距和頂點坐標(biāo)，從而直接寫出雙曲線方程即可；（2）設(shè)出直線方程，將三角形面積拆分為2個三角形的面積，從而利用韋達(dá)定理進(jìn)行處理；（3）根據(jù)直線與兩個曲線相交，通過夾逼出的取值范圍，再結(jié)合向量相加為零轉(zhuǎn)化出的條件，得到之間的關(guān)系，從而利用是整數(shù)，對結(jié)果進(jìn)行取舍即可.【詳解詳析】（1）對橢圓，因為，故其焦點為，橢圓的長軸長為.設(shè)雙曲線方程為，由題可知：，解得.故雙曲線的方程為：.（2）因為直線AB的斜率顯然不為零，故設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得設(shè)交點，則則又故令，解得故當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取得最大值.故的面積的最大值為.（3）聯(lián)立直線與橢圓方程可得整理得①設(shè)直線與橢圓的交點為故可得②同理：聯(lián)立直線與雙曲線方程可得整理得③設(shè)直線與雙曲線的交點為故可得④要使得即可得故可得將②④代入可得解得.綜上所述，要滿足題意，只需使得：故當(dāng)時，可以取得滿足題意；即直線方程可以為當(dāng)時，可以取滿足題意.即直線方程可以為故存在這樣的直線有9條，能夠使得.【名師指路】本題考查橢圓方程和雙曲線方程，涉及橢圓中三角形面積的最大值，以及圓錐曲線中的直線的存在性問題，屬綜合性困難題；其中解決第三問的關(guān)鍵是要把握住“整數(shù)”