(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合考點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題02直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合考點(diǎn)專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．若圓，，則和的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切2．已知點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，且有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．(2023·上海市實驗學(xué)校高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）當(dāng)曲線與直線有個相異交點(diǎn)時，實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．圓和圓：的位置關(guān)系是（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離或外切6．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）太極圖的形狀如中心對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放置在平面直角坐標(biāo)系中簡略的“陰陽魚太極圖”，其外邊界是一個半徑為的圓，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，已知直線.給出以下命題：

①當(dāng)時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，，則；②當(dāng)時，直線與黑色陰影區(qū)域有1個公共點(diǎn)；③當(dāng)時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點(diǎn).其中所有正確命題的序號是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③7．(2023·上?！らh行中學(xué)高三期中）若動點(diǎn)P在方程所表示曲線C上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形；②曲線C與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為；③曲線C總長為；④動點(diǎn)P與點(diǎn)的連線斜率的取值范圍是．A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④8．(2023·上海青浦·一模）從圓上的一點(diǎn)向圓引兩條切線，連接兩切點(diǎn)間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為（）A． B． C． D．9．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二月考）設(shè)直線系M：xcosθ+ysinθ=1（0≤0≤2π），對于下列三個命題：①M(fèi)中所有直線均與一個圓相切；②M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)；③存在定點(diǎn)P不在M中的任一直線上.其中真命題的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．(2023·上海·華師大二附中高二月考）在平面直坐標(biāo)系中，點(diǎn)，定義為點(diǎn)之間的極距，已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離最小時，其極距為（）A．1 B． C． D．二、填空題11．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）設(shè)直線系：，對于下列三個命題：①中所有直線均與一個定圓相切；②中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)；③存在點(diǎn)不在中的任一條直線上．其中真命題的序號為____________（寫出所有真命題的序號）12．與兩圓，都相切，且半徑為3的圓一共有________個13．(2023·上海黃浦·三模）已知點(diǎn)是直線：()上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，為切點(diǎn).若最小為時，圓：與圓外切，且與直線相切，則的值為______14．(2023·上海市金山中學(xué)高二月考）2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：是圓Q的圓心，圓Q過坐標(biāo)原點(diǎn)O；點(diǎn)L、S均在軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S?圓L均與圓Q外切．已知直線l過點(diǎn)O．若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則d=_____．15．(2023·上海浦東新·高二期中）若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是____________．16．(2023·上海師大附中高三月考）若不等式的解集為區(qū)間，且，則_________；17．(2023·上海·復(fù)旦附中青浦分校高二月考）從橢圓上的點(diǎn)向橢圓C∶引切線，兩切點(diǎn)間的線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓C內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為__________.18．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）已知動圓經(jīng)過原點(diǎn)，則動圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值是___________.(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）若直線和曲線恰有一個交點(diǎn)，則實數(shù)b的取值范圍是________．20．(2023·上?！とA師大二附中高二期末）已知函數(shù)，其中a，，的最大值為，則的最小值為___________.三、解答題21．(2023·上海徐匯·高二期末）已知直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程．22．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二月考）已知直線：.（1）若直線與直線的夾角為，求實數(shù)k的值；（2）若圓與直線交于A?B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實數(shù)m的值.23．我們定義一個圓的圓心到一條直線的距離與該圓的半徑之比，叫做直線關(guān)于圓的距離比，記作.已知圓:，直線.（1）若直線l關(guān)于圓的距離比，求實數(shù)m的值;（2）當(dāng)時，若圓與y軸相切于點(diǎn)，且直線l關(guān)于圓的距離比，試判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由24．已知圓與軸、軸分別相切于、兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若直線與線段沒有公共點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；（3）試討論直線與圓的位置關(guān)系.25．(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知直線過點(diǎn)且與直線垂直，圓與直線相交于，．（1）求弦長；（2）直線過原點(diǎn)且與已知圓相切，求直線與的夾角．（用反三角函數(shù)表示）26．如圖，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，點(diǎn)A處有一所學(xué)校，，一輛拖拉機(jī)從P沿公路前行，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時周圍100米以內(nèi)會收到噪聲影響．（1）該所學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由；（2）已知拖拉機(jī)的速度為每小時18千米，如果受影響，影響學(xué)校的時間為多少？27．(2023·上海浦東新·高二期中）已知圓的方程為（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）若直線與圓相交于、，求弦長的值．28．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）已知圓和圓．（1）若圓與圓相交，求r的取值范圍；（2）若直線與圓交于P、Q兩點(diǎn)，且，求實數(shù)k的值；（3）若，設(shè)P為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．29．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓:及其上一點(diǎn)A(2，4).（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓上的兩點(diǎn)P和Q，使得求實數(shù)t的取值范圍.30．(2023·上海·華師大二附中高二月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過外一點(diǎn)引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則稱為的環(huán)繞點(diǎn).（1）當(dāng)O半徑為1時，①在中，的環(huán)繞點(diǎn)是__________.②直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若線段上存在的環(huán)繞點(diǎn)，求的取值范圍；（2）的半徑為1，圓心為，以為圓心，為半徑的所有圓構(gòu)成圖形，若在圖形上存在的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出的取值范圍.專題02直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合考點(diǎn)專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．若圓，，則和的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】求出兩圓的圓心距，比較與兩圓半徑和與差的絕對值的大小，進(jìn)行可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【詳解詳析】可知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心，半徑為，，因此，圓與圓外切.故選：D.【名師指路】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，且有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】通過題意將問題轉(zhuǎn)化為“圓上存在著點(diǎn)在直線上或其上方”，結(jié)合圖示，通過計算相切時的取值，由此確定出的取值范圍.【詳解詳析】因為曲線表示圓心在，半徑等于的圓，所以若有解，則圓上存在著點(diǎn)在直線上或其上方，如圖所示：當(dāng)直線與圓相切時，，所以，又因為的縱截距為，當(dāng)直線與圓在靠上方位置相切時，此時，當(dāng)直線與圓在靠下方位置相切時，此時，所以由圖可知，若要滿足題意只需：，即，故選：B.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于對問題的轉(zhuǎn)化，將抽象的方程問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖象問題，很大程度上能簡化計算，同時對于臨界位置“相切”的把握也是一個重點(diǎn).3．(2023·上海市實驗學(xué)校高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可求得斜率.【詳解詳析】根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為，即，又由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或.故選：D.【名師指路】過一定點(diǎn)，求圓的切線時，首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)在圓外，有兩個結(jié)果，若只求出一個，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.4．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）當(dāng)曲線與直線有個相異交點(diǎn)時，實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】首先確定曲線所表示的圖形，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出實數(shù)的取值范圍.【詳解詳析】直線恒過點(diǎn)，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓，做出示意圖如下：當(dāng)直線與半圓相切時，，解得，當(dāng)直線過時，，要想曲線與直線有個相異交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到：實數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．圓和圓：的位置關(guān)系是（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離或外切【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】化簡得到：，計算圓心距和，根據(jù)大小關(guān)系得到答案.【詳解詳析】；：圓心距：，當(dāng)時：，外切；當(dāng)時：，相離；證明：即要證即要證，得證；故選：【名師指路】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，計算圓心距和的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）太極圖的形狀如中心對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放置在平面直角坐標(biāo)系中簡略的“陰陽魚太極圖”，其外邊界是一個半徑為的圓，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，已知直線.給出以下命題：

①當(dāng)時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，，則；②當(dāng)時，直線與黑色陰影區(qū)域有1個公共點(diǎn)；③當(dāng)時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點(diǎn).其中所有正確命題的序號是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，逐項分析判斷即可得解．【詳解詳析】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，

所以大圓的面積為，小圓的面積為．對于①，當(dāng)時，直線的方程為．此時直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，，所以，故①正確．對于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為當(dāng)時，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個公共點(diǎn)，故②正確．對于③，當(dāng)時，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點(diǎn)，當(dāng)時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個公共點(diǎn)，故③錯誤．綜上所述，①②正確．故選：A．7．(2023·上海·閔行中學(xué)高三期中）若動點(diǎn)P在方程所表示曲線C上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形；②曲線C與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為；③曲線C總長為；④動點(diǎn)P與點(diǎn)的連線斜率的取值范圍是．A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】依題意可得，再對分類討論，即可得到曲線的圖象，結(jié)合圖象即可判斷①、②、③，再根據(jù)直線與圓相切求出斜率的值，從而判斷④；【詳解詳析】解：因為，且，，所以，當(dāng)，即或，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，將等式兩邊同時平方整理得，所以曲線的圖象如下所示：由圖可知曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，曲線C與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為，曲線C總長為，故①、②、③均正確；對于④，如圖設(shè)過點(diǎn)的直線恰與圓相切的直線的斜率為，切線方程為，即，所以，解得，且，，所以動點(diǎn)P與點(diǎn)的連線斜率的取值范圍是，故④錯誤；故選：B8．(2023·上海青浦·一模）從圓上的一點(diǎn)向圓引兩條切線，連接兩切點(diǎn)間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由題畫出大致圖象，由切點(diǎn)弦找出臨界點(diǎn)D，結(jié)合圓的面積公式即可求解.【詳解詳析】如圖所示，設(shè)為上一點(diǎn)，為圓與的兩條切線，為切點(diǎn)弦，因切點(diǎn)弦有無數(shù)條，當(dāng)無數(shù)條切點(diǎn)弦交匯時，圓內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域恰好構(gòu)成虛線部分圓的面積，，則，由等面積法得，解得，又對由勾股定理可得，則以為半徑的圓的面積為，故圓內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為.故選：B9．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二月考）設(shè)直線系M：xcosθ+ysinθ=1（0≤0≤2π），對于下列三個命題：①M(fèi)中所有直線均與一個圓相切；②M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)；③存在定點(diǎn)P不在M中的任一直線上.其中真命題的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由題意知直線系M表示為圓的切線的集合，再逐個驗證①②③即可.【詳解詳析】因為

，故直線系M表示為圓的切線的集合，①M(fèi)中所有直線均與一個圓相切，正確；②M中所有直線有相互平行的，所以不可能均經(jīng)過一個定點(diǎn)，不正確；點(diǎn)在單位圓內(nèi)時，該點(diǎn)不在直線系M中的任意一條上，故③正確；故選：B.10．(2023·上海·華師大二附中高二月考）在平面直坐標(biāo)系中，點(diǎn)，定義為點(diǎn)之間的極距，已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離最小時，其極距為（）A．1 B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】先分析出極距的含義，就是直角三角形中較小的直角邊的大小.先用幾何法求出PQ的最小值，再求P，Q兩點(diǎn)之間的極距.【詳解詳析】如圖示：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，作出直角三角形,則由極距的定義知，就是直角三角形中較小的直角邊的大小.因為點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，要使PQ最小，則，最小，此時.設(shè)直線l交x軸于A，交y軸于B,因為直線l的斜率為-2，所以過P作軸，過Q作軸，則,所以在直角三角形中，P，Q兩點(diǎn)之間的極距即為RQ,設(shè)，則,所以，解得：，即，所以P，Q兩點(diǎn)之間的距離最小時的極距為故選：C【名師指路】（1）數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.（2）距離的最值的計算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.二、填空題11．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）設(shè)直線系：，對于下列三個命題：①中所有直線均與一個定圓相切；②中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)；③存在點(diǎn)不在中的任一條直線上．其中真命題的序號為____________（寫出所有真命題的序號）【標(biāo)準(zhǔn)答案】①③【思路指引】①求得定圓方程，由此來判斷正確性；利用特殊值來證明②錯誤、③正確.【詳解詳析】圓，圓心到直線的距離為，也即直線與圓相切，①正確.，直線方程為；，直線方程為.直線與直線平行，沒有交點(diǎn)，所以②錯誤.由于，所以存在點(diǎn)不在中的任一條直線上.所以③正確.故答案為：①③12．與兩圓，都相切，且半徑為3的圓一共有________個【標(biāo)準(zhǔn)答案】7【思路指引】根據(jù)兩圓相離，可以判定出與兩圓都相切且半徑為3的圓有7個．【詳解詳析】解：因為兩圓，是相離的，所以與兩圓都相切且半徑為3的圓的情況如下：與兩圓都內(nèi)切的有1個，是以原點(diǎn)為圓心，即；與兩圓都外切的有2個，設(shè)切點(diǎn)為，則，，同理，利用圓與圓的圓心距和半徑的關(guān)系可得：與圓外切于圓內(nèi)切的圓有2個；與圓內(nèi)切于圓外切的圓有2個；分別為和，共7個，故答案為：7．【名師指路】由圓心距判斷兩圓的位置關(guān)系相離，再利用直觀想象可得與兩圓都相切的情況，包括內(nèi)切和外切兩類.13．(2023·上海黃浦·三模）已知點(diǎn)是直線：()上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，為切點(diǎn).若最小為時，圓：與圓外切，且與直線相切，則的值為______【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)題意當(dāng)與垂直時，的值最小，進(jìn)而得，再根據(jù)圓與圓外切得，根據(jù)圓與直線相切得.【詳解詳析】圓的圓心為，半徑為，當(dāng)與垂直時，的值最小，此時點(diǎn)到直線的距離為，由勾股定理得，又，解得，圓的圓心為，半徑為，∵圓與圓外切，∴，∴，∵圓與直線相切，∴，解得.故答案為：.【名師指路】結(jié)論點(diǎn)睛：圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法：設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，則圓與圓相離；圓與圓外切；圓與圓相交；圓與圓內(nèi)切；圓與圓內(nèi)含；14．(2023·上海市金山中學(xué)高二月考）2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：是圓Q的圓心，圓Q過坐標(biāo)原點(diǎn)O；點(diǎn)L、S均在軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S?圓L均與圓Q外切．已知直線l過點(diǎn)O．若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則d=_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】圓L與圓S關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線l過原點(diǎn)，求出圓L與圓S的圓心坐標(biāo)，設(shè)出直線l方程，由三個弦長相等得直線方程，從而可得弦長d．【詳解詳析】由題意圓與圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則即．設(shè)方程為，則三個圓心到該直線的距離分別為：，，，則，即有，解得，則，即.故答案為:.【名師指路】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓相交弦長問題．求出圓心到直線的距離，用勾股定理求得弦長是求圓弦長的常用方法．15．(2023·上海浦東新·高二期中）若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】；【思路指引】可化簡曲線的方程為，作出其圖形，數(shù)形結(jié)合求臨界值即可求解.【詳解詳析】由可得，所以曲線為以為圓心，的下半圓，作出圖形如圖：當(dāng)直線過點(diǎn)時，，可得，當(dāng)直線與半圓相切時，則圓心到直線的距離，可得：或（舍），若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，由圖知：或，所以實數(shù)的取值范圍是：，故答案為：16．(2023·上海師大附中高三月考）若不等式的解集為區(qū)間，且，則_________；【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】不等式的解集為區(qū)間，且，可得，可得直線過點(diǎn)，代入即可解出【詳解詳析】如圖分別作出直線與半圓，由題意，知直線過定點(diǎn)，由，得，即直線與半圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入得，所以直線過點(diǎn)，所以，故答案為：17．(2023·上海·復(fù)旦附中青浦分校高二月考）從橢圓上的點(diǎn)向橢圓C∶引切線，兩切點(diǎn)間的線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓C內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為__________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】.【思路指引】由點(diǎn)在橢圓，設(shè)，得到切點(diǎn)弦，根據(jù)在點(diǎn)出的切線方程為，求得，結(jié)合圓的面積公式，即可求解.【詳解詳析】從橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則橢圓以為切點(diǎn)的切線方程分別為和，由兩切線均過點(diǎn)，可得和，所以點(diǎn)均值直線上，所以切點(diǎn)弦方程為，因為點(diǎn)在橢圓，可得設(shè)，則過點(diǎn)作橢圓切線，則切點(diǎn)弦的直線方程為，由于在點(diǎn)出的切線方程為，所以，即，可得為圓的切線系方程，所以橢圓C內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為該圓的面積.故答案為：.18．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）已知動圓經(jīng)過原點(diǎn)，則動圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值是___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)原點(diǎn)在圓上，可得，計算圓心到直線的距離，然后利用三角換元進(jìn)行計算即可.【詳解詳析】由題可知：原點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離為令所以當(dāng)時，所以動圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值是故答案為：19．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）若直線和曲線恰有一個交點(diǎn)，則實數(shù)b的取值范圍是________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】曲線是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的半圓,直線是一條斜率為的直線,利用圖像找到交點(diǎn)恰有一個的情況即可【詳解詳析】由題,由可得,即為以原點(diǎn)為圓心,為半徑的半圓,直線是一條斜率為的直線,與軸交于兩點(diǎn),分別是,,當(dāng)點(diǎn)在直線上時,；當(dāng)點(diǎn)在直線上時,,則當(dāng)時,二者恰有一個公共點(diǎn)；當(dāng)直線與相切時,滿足,所以或（舍）,綜上,或,故答案為:20．(2023·上?！とA師大二附中高二期末）已知函數(shù)，其中a，，的最大值為，則的最小值為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】數(shù)形結(jié)合分析可知的最小值為與的縱向距離，從而可以求出結(jié)果.【詳解詳析】函數(shù)，即四分之一圓上的點(diǎn)到直線上的最大距離為，此時圓上的點(diǎn)記為，如圖：只有過的中點(diǎn)且平行于直線的直線才滿足條件，所以當(dāng)時，的最小值為與的縱向距離，即的最小值為.故答案為：.【名師指路】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．三、解答題21．(2023·上海徐匯·高二期末）已知直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【思路指引】討論直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切即可求出直線的斜率，從而求出直線的方程.【詳解詳析】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以，解得，所以直線方程為.綜上知，直線的方程為或.22．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二月考）已知直線：.（1）若直線與直線的夾角為，求實數(shù)k的值；（2）若圓與直線交于A?B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實數(shù)m的值.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）或3（2）3【思路指引】（1）先求直線的方向向量，再運(yùn)用夾角公式計算即可.（2）聯(lián)立直線與圓的方程，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.（1）∵兩直線的方程分別為與，∴設(shè)分別為兩直線的方向向量.由題意得整理得（2）∵方程為圓C的方程∴解得：把直線即代入圓C的方程并整理得：，依題意：解得：設(shè)則由可得：解得：經(jīng)檢驗：滿足題意.∴.23．我們定義一個圓的圓心到一條直線的距離與該圓的半徑之比，叫做直線關(guān)于圓的距離比，記作.已知圓:，直線.（1）若直線l關(guān)于圓的距離比，求實數(shù)m的值;（2）當(dāng)時，若圓與y軸相切于點(diǎn)，且直線l關(guān)于圓的距離比，試判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）外切或相離，答案見解析.【思路指引】（1）根據(jù)新定義的要求即可求出的值；（2）先設(shè)圓的方程，然后根據(jù)新定義可求出的值，再根據(jù)的值判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解詳析】（1）由直線關(guān)于圓的距離的比的定義得，所以（2）當(dāng)時，直線圓與軸相切點(diǎn)于所以可設(shè)：或①當(dāng)時，：兩圓的圓心距，兩圓半徑之和為，因此兩圓外切②當(dāng)時，：兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之和，因此兩圓外離【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用新定義圓的圓心到一條直線的距離與該圓的半徑之比，叫做直線關(guān)于圓的距離比，可求出的值，利用圓與y軸相切于點(diǎn)設(shè)出其方程為根據(jù)新定義可求出的值，再比較圓心距與半徑之和、差，可判斷兩圓的位置關(guān)系.24．已知圓與軸、軸分別相切于、兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若直線與線段沒有公共點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；（3）試討論直線與圓的位置關(guān)系.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【思路指引】（1）根據(jù)已知條件可求得、的值，由此可求得圓的方程；（2）作出圖形，求得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合求得直線與線段有公共點(diǎn)時，實數(shù)的取值范圍，利用補(bǔ)集思想可得出結(jié)果；（3）計算圓心到直線的距離，根據(jù)與圓的半徑的大小關(guān)系，可得出直線與圓的位置關(guān)系.【詳解詳析】（1）由已知可得圓的圓心為，由于圓與軸、軸分別相切于、兩點(diǎn)，圓心到軸、軸的距離分別為、，則，因此，圓的方程為；（2）如下圖所示：由圖可知，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸相切于點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時，則有，解得，由圖可知，當(dāng)時，直線與線段有公共點(diǎn)，因此，當(dāng)時，直線與線段沒有公共點(diǎn)，所以，實數(shù)的取值范圍為；（3）圓心到直線的距離為，圓的半徑為.①當(dāng)時，即時，直線與圓相離；②當(dāng)時，即時，直線與圓相切；③當(dāng)時，即時，直線與圓相交.綜上所述，當(dāng)時，直線與圓相離；當(dāng)時，直線與圓相切；當(dāng)時，直線與圓相交.【名師指路】方法點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：（1）代數(shù)法：將直線的方程和圓的方程聯(lián)立，消去一個元（或），得到關(guān)于另外一個元的一元二次方程.，則直線與圓有兩個交點(diǎn)，直線與圓相交；，則直線與圓有且僅有一個交點(diǎn)，直線與圓相切；，則直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離.（2）幾何法：計算圓心到直線的距離，并比較與圓的半徑的大小關(guān)系.若，則直線與圓有兩個交點(diǎn)，直線與圓相交；若，則直線與圓有且僅有一個交點(diǎn)，直線與圓相切；若，則直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離.25．(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知直線過點(diǎn)且與直線垂直，圓與直線相交于，．（1）求弦長；（2）直線過原點(diǎn)且與已知圓相切，求直線與的夾角．（用反三角函數(shù)表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）．【思路指引】（1）由題知直線的方程為，求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求得圓心到直線的距離，從而求得弦長；（2）由題意求得直線的斜率，然后利用正切公式求夾角即可.兩斜率互為相反數(shù)，夾角即為直線與x軸夾角的2倍，亦可求的.【詳解詳析】（1）由題知直線的方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心到直線的距離為，則（2）設(shè)直線：，因為其與已知圓相切，且圓過原點(diǎn)，則，即，則，則直線與的夾角為，又直線與的斜率互為相反數(shù)，故該夾角亦可寫成；【名師指路】方法點(diǎn)睛：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求得弦長及切線方程，結(jié)合三角函數(shù)公式求得夾角.26．如圖，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，點(diǎn)A處有一所學(xué)校，，一輛拖拉機(jī)從P沿公路前行，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時周圍100米以內(nèi)會收到噪聲影響．（1）該所學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由；（2）已知拖拉機(jī)的速度為每小時18千米，如果受影響，影響學(xué)校的時間為多少？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）會受到影響，理由見解析；（2）24秒．【思路指引】（1）過點(diǎn)作于，由，，根據(jù)直角三角形中對的直角邊是斜邊的一半，即可求得的長，即可知該所中學(xué)是否會受到噪聲影響；（2）以為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)與，由勾股定理，即可求得的長，繼而可求得的長，則可求得學(xué)校受影響的時間．【詳解詳析】（1）過點(diǎn)作于，，，，，該所中學(xué)會受到噪聲影響；（2）以為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)與，則，在中，，，，，，，學(xué)校受影響的時間為：（秒．27．(2023·上海浦東新·高二期中）已知圓的方程為（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）若直線與圓相交于、，求弦長的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）或；（2）．【思路指引】（1）切線的斜率存在時，設(shè)斜率為，直線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑求的值，可得切線方程，再檢驗斜率不存在時是否符合題意即可求解；（2）先求圓心到直線的距離，再由即可求解.【詳解詳析】（1）由可得，所以圓心為，半徑，①當(dāng)直線斜率不存在時，由過點(diǎn)得直線方程為，與的距離為，此時與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)斜率為，直線方程為，即，圓心到直線的距離，即，解得．所以直線方程為．綜上所述：所求直線方程為或．（2）圓心到直線與的距離，又因為半徑，所以28．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）已知圓和圓．（1）若圓與圓相交，求r的取值范圍；（2）若直線與圓交于P、Q兩點(diǎn)，且，求實數(shù)k的值；（3）若，設(shè)P為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）（3）或【思路指引】（1）利用相交時圓心距的位置關(guān)系可求的取值范圍；（2）聯(lián)立直線與圓，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積代換可求實數(shù)k的值；（3）由兩圓半徑相等，兩直線和截得圓和圓弦長相等可得弦心距相等，得，轉(zhuǎn)化為求方程組的解即可.（1）圓的圓心為，圓的圓心為，因為圓與圓相交，故圓心距滿足，，即，解得（2）設(shè)，則，聯(lián)立直線與圓方程得，，即，，因為，解得，又因為，故，（3）設(shè)，因為兩圓半徑相等，由題可知直線和斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線的方程為，的方程為，因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，故圓到的距離和圓到距離相等，即，整理得，所以，即或，因為的取值有無窮多個，所以滿足或，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.29．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓:及其上一點(diǎn)A(2，4).（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓上的兩點(diǎn)P和Q，使得求實數(shù)t的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；(2)2x?y+5=0或2x?y?15=0.(3).【詳解詳析】試題分析：（1）根據(jù)直線與x軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半徑;（2）根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線方程；（3）利用向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長范圍建立不等式，求解即得參數(shù)取值范圍.試題解析：解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M（6，7），半徑為5，.（1）由圓心N在直線x=6上，可設(shè).因為N與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離因為而所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）設(shè)因為，所以……①因為點(diǎn)Q在圓M上，所以…….②將①代入②，得.于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓有公共點(diǎn)，所以解得.因此，實數(shù)t的取值范圍是.【考點(diǎn)】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】直線與圓中的三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點(diǎn)到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑的關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題，也可先確定