備戰(zhàn)2024高考二輪復(fù)習(xí)講義第2講 函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用

第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，測(cè)試問(wèn)題，獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)?；蚝瘮?shù)觀點(diǎn)觀察分析解決問(wèn)題。方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來(lái)分析數(shù)學(xué)變量問(wèn)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。函數(shù)與方程思想，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來(lái)思考，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對(duì)函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問(wèn)題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無(wú)論是選填還是解答題都是必考查的問(wèn)題【應(yīng)用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應(yīng)用一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸:坐標(biāo)軸;對(duì)稱(chēng)中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a;

短軸B1B2的長(zhǎng)為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)

對(duì)稱(chēng)軸直線y=0直線x=0焦點(diǎn)Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點(diǎn)集:.（2）橢圓點(diǎn)集.（3）等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱(chēng)雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經(jīng)?？疾榍髨A錐曲線的面積、方程以及與此有關(guān)的含參問(wèn)題。解決此類(lèi)問(wèn)題就是建立根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數(shù)?！咀兪?.1】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知P為拋物線E：上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為O，點(diǎn)在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，且為等邊三角形，求m的值．【變式1.2】（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，點(diǎn)在上，直線交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點(diǎn)P，Q，求△MPQ的面積．【變式1.3】【2020年新課標(biāo)2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在解析幾何中定點(diǎn)的應(yīng)用解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點(diǎn)。這種題型引起重視?！纠?.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【思維提升】求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y(tǒng)＝kx＋b來(lái)證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線過(guò)軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且該橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究最值的應(yīng)用解析幾何中的最值問(wèn)題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長(zhǎng)等最值問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立關(guān)于它們的目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)求解。【例3.1】（2023年高考真題全國(guó)甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【思維提升】圓錐曲線中的最值問(wèn)題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知圓，定點(diǎn)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn).(1)求的軌跡的方程；(2)若過(guò)的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究探索性問(wèn)題的應(yīng)用解析幾何中的探索性問(wèn)題是圓錐曲線中常見(jiàn)題型，是近幾年高考與模擬的熱點(diǎn)問(wèn)題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問(wèn)題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點(diǎn)如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點(diǎn)，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交直線于兩點(diǎn)，且的面積為8.問(wèn)：在軸是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【思維提升】（1）存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化．解題時(shí)可先假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在；（2）由于解析幾何問(wèn)題的解答中一般要涉及到大量的計(jì)算，因此在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)取最大值時(shí)，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【變式4.2】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，動(dòng)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，另一個(gè)焦點(diǎn)為，若該動(dòng)雙曲線的兩支分別經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過(guò)點(diǎn)，交（1）中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，是直線上異于的一點(diǎn)，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過(guò)線段的中點(diǎn)，若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式4.3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，分別為上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到直線的距離為2？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.鞏固練習(xí)1、【2020年新課標(biāo)2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.2、【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.4、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在直線上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知圓的一條直徑為，延長(zhǎng)分別交曲線C于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．5、（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知，是雙曲線的左?右頂點(diǎn)，為雙曲線上與，不重合的點(diǎn).(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：是定值；(2)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，直線與雙曲線交于點(diǎn)（與，，不重合）.判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若直線過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若直線不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.6、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線與交于點(diǎn)，若是鈍角，求的取值范圍．7、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知橢圓：，其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，.(1)求證：為定值.(2)若點(diǎn)不在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，試求面積的最小值.8、（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知為拋物線上不同兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)作于，且點(diǎn).(1)求直線的方程及拋物線的方程；(2)若直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，測(cè)試問(wèn)題，獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)?；蚝瘮?shù)觀點(diǎn)觀察分析解決問(wèn)題。方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來(lái)分析數(shù)學(xué)變量問(wèn)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。函數(shù)與方程思想，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來(lái)思考，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對(duì)函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問(wèn)題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無(wú)論是選填還是解答題都是必考查的問(wèn)題【應(yīng)用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應(yīng)用一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸:坐標(biāo)軸;對(duì)稱(chēng)中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a;

短軸B1B2的長(zhǎng)為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)

對(duì)稱(chēng)軸直線y=0直線x=0焦點(diǎn)Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點(diǎn)集:.（2）橢圓點(diǎn)集.（3）等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱(chēng)雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【答案】(1)?1；(2)162【解析】【分析】（1）由點(diǎn)A(2,1)在雙曲線上可求出a，易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px1,y1（2）根據(jù)直線AP,AQ的斜率之和為0可知直線AP,AQ的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)tan∠PAQ=22即可求出直線AP,AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP,AQ與雙曲線方程求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線PQ的距離，即可得出(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px聯(lián)立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡(jiǎn)得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當(dāng)m=1?2k時(shí)，直線l:y=kx+m=kx?2+1過(guò)點(diǎn)故k=?1．(2)不妨設(shè)直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因?yàn)閗AP+因?yàn)閠an∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0點(diǎn)A到直線PQ的距離d=2+1?故△PAQ的面積為12【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經(jīng)?？疾榍髨A錐曲線的面積、方程以及與此有關(guān)的含參問(wèn)題。解決此類(lèi)問(wèn)題就是建立根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數(shù)?！咀兪?.1】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知P為拋物線E：上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為O，點(diǎn)在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，且為等邊三角形，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出，即，根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，根據(jù)得出，即可解出答案；（2）聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出，，即可得出中點(diǎn)，即可得出直線MN的方程為：，由為等邊三角形，則，代入化簡(jiǎn)即可求出答案.【詳解】（1）拋物線E：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以，故，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，解得，故拋物線E的方程為；（2）聯(lián)立，消去x得，直線與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，，得，設(shè)，，則有，，所以，設(shè)線段AB的中點(diǎn)，則，，即，直線MN的斜率，直線MN的方程為：，令，得，即，所以，，又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以，解得，且滿足，故所求m的值為【變式1.2】（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，點(diǎn)在上，直線交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點(diǎn)P，Q，求△MPQ的面積．【答案】(1)6(2)4【詳解】（1）如圖，雙曲線的漸近線方程為，代入點(diǎn)的，又點(diǎn)在雙曲線上，即，聯(lián)立解得，故雙曲線的方程為．設(shè)點(diǎn)，，已知直線AB、AC的斜率一定存在，所以設(shè)直線AB的方程為，即，代入雙曲線的方程得，所以，則，所以由直線AB與AC斜率之和為0，可設(shè)AC的方程為：同理可得所以，所以直線l的斜率為6．（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)M作漸近線的平行線分別為，由（1）知，雙曲線E的漸近線方程為，故可設(shè)的方程分別為，．聯(lián)立解得所以同理可得又由，得，所以，又點(diǎn)M在雙曲線E上，則，所以，即故△MPQ的面積為4．【變式1.3】【2020年新課標(biāo)2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）：，：.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的方程，結(jié)合橢圓和拋物線的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)在第一象限，運(yùn)用代入法求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合橢圓離心率的公式進(jìn)行求解即可；（2）由（1）可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再確定拋物線的準(zhǔn)線方程，最后結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)闄E圓的方程為：，所以當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；又因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以當(dāng)時(shí)，有，所以的縱坐標(biāo)分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為.由已知得，即.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在解析幾何中定點(diǎn)的應(yīng)用解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點(diǎn)。這種題型引起重視?！纠?.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過(guò)定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過(guò)A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)椋瑒t，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過(guò)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過(guò)．綜上，直線恒過(guò)，所以．又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)題目條件可知直線過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過(guò)坐標(biāo)系平移，將原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過(guò)定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過(guò)點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過(guò)定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過(guò)中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡(jiǎn)化了求解以及的計(jì)算．【思維提升】求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y(tǒng)＝kx＋b來(lái)證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而求解；（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對(duì)稱(chēng)性知以為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對(duì)稱(chēng)性知以為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)，令，可得，而，，對(duì)恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；方法二：設(shè)方程為，由對(duì)稱(chēng)性知以為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn).設(shè)以為直徑的圓過(guò)，，而，，，即對(duì)恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線過(guò)軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題意可得，，解方程求出的值即可求解；（2），設(shè)，，，，直線，的斜率分別為，根據(jù)，，可得利用和所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得利用和所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)，將整理為關(guān)于的方程，由對(duì)于任意的恒成立列出等價(jià)條件即可求解.(1)由可得漸近線方程為：，因?yàn)閮蓷l漸近線互相垂直，所以，可得，又因?yàn)?，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，，，，由（1）知：，設(shè)直線，的斜率分別為，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，因?yàn)橹本€過(guò)軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，所以，由可得，所以，同理可得，因?yàn)橹本€，的斜率之積為定值，設(shè)定值為，則，整理可得：，其中，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意的都成立，所以，可得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：破解此類(lèi)解析幾何題的關(guān)鍵：一是“圖形”引路，一般需畫(huà)出草圖，把已知條件翻譯到圖形中；二是“轉(zhuǎn)化”搭橋，即利用斜率，聯(lián)立方程等，將問(wèn)題代數(shù)化，一般運(yùn)算量較大.【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且該橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件寫(xiě)出的等量關(guān)系式進(jìn)行求解即可.（2）討論當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，用，坐標(biāo)表示，將韋達(dá)定理代入整理即可得到直線過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)得，橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，又即，解得，，∴橢圓方程為.（2）證明：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，，，，即，解得或，直線不過(guò)點(diǎn),故(舍)，，舍去，故不滿足.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立，整理得.，，①則，∴，將①代入上式可得，∴，若，，,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與已知矛盾，若，，存在使得成立.∴直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究最值的應(yīng)用解析幾何中的最值問(wèn)題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長(zhǎng)等最值問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立關(guān)于它們的目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)求解?！纠?.1】（2023年高考真題全國(guó)甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【命題意圖】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．難度：偏難【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．【思維提升】圓錐曲線中的最值問(wèn)題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對(duì)稱(chēng)軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)?，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長(zhǎng)公式及兩點(diǎn)距離公式表示出，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無(wú)交點(diǎn)．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對(duì)應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因?yàn)?，所以設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過(guò)的切線方程為，即，同理可得過(guò)的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，為2．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知圓，定點(diǎn)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn).(1)求的軌跡的方程；(2)若過(guò)的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榫€段的垂直平分線交半徑與點(diǎn)，所以，所以是定值，，所以點(diǎn)軌跡為橢圓，其長(zhǎng)軸為4，焦距為2，所以的軌跡的方程.（2）解法一設(shè).由已知得：直線的方程為；設(shè)，.由已知得：直線的方程為又因?yàn)锳C、BD斜率之積為，所以，由得，即，所以，.故同理聯(lián)立BD與橢圓方程，可得，所以，故設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.又在直線在異側(cè)，則所以，令易知，所以，所以解法二設(shè)，所以，設(shè)圓心為，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，設(shè)直線方程，點(diǎn)到的距離為，所以，同理，設(shè)四邊形面積為，則，令，則，所以，所以，設(shè)四邊形面積為S，因?yàn)?，所以【?yīng)用四】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究探索性問(wèn)題的應(yīng)用解析幾何中的探索性問(wèn)題是圓錐曲線中常見(jiàn)題型，是近幾年高考與模擬的熱點(diǎn)問(wèn)題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問(wèn)題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點(diǎn)如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點(diǎn)，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交直線于兩點(diǎn)，且的面積為8.問(wèn)：在軸是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，直線與橢圓相切，當(dāng)時(shí)，，由消去y并整理得，所以，有所以直線與橢圓相切.（2）設(shè)，則由（1）得：，而二切線過(guò)點(diǎn)，則有，因此是方程的兩個(gè)解，即直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)，由解得，同理：，，，又，解得，，即，整理得，取點(diǎn)的軌跡方程為，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，所以在軸上存在點(diǎn)，使得||成立.【思維提升】（1）存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化．解題時(shí)可先假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在；（2）由于解析幾何問(wèn)題的解答中一般要涉及到大量的計(jì)算，因此在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)取最大值時(shí)，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，再根據(jù)三角形面積及，求得，，，即可得到答案；（2）對(duì)直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得，即可得到答案；【詳解】（1）依題意可得，設(shè)，由余弦定理可知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)（即P為橢圓短軸端點(diǎn)）時(shí)等號(hào)成立，且取最大值；此時(shí)的面積是，同時(shí)，聯(lián)立和解得，，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，所以，，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圓C的方程是所以當(dāng)時(shí)，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是.【變式4.2】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，動(dòng)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，另一個(gè)焦點(diǎn)為，若該動(dòng)雙曲線的兩支分別經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過(guò)點(diǎn)，交（1）中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，是直線上異于的一點(diǎn)，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過(guò)線段的中點(diǎn)，若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意以及雙曲線定義可得：，

由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，的橢圓（不含短軸端點(diǎn)），其方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，則由，知，所以，令，得

因點(diǎn)在直線上，所以，變形得，代入式化簡(jiǎn)得，若直線恒過(guò)線段的中點(diǎn)，則有，整理得

由，得，所以

代入整理得，，解得，所以存在，即直線，使得直線恒過(guò)線段的中點(diǎn).【變式4.3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，分別為上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到直線的距離為2？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)，直線的方程為.【詳解】（1）由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，的高為，由題意知點(diǎn)在上，代入，得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，根據(jù)題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，即，且，，所以，由，得，所以，所以，即，又點(diǎn)在上，所以，即，①所以，解得，又點(diǎn)在第一象限，所以，所以.又點(diǎn)到直線的距離，化簡(jiǎn)得，②聯(lián)立①②解得，或（舍去），或（舍去）.此時(shí)點(diǎn)，直線的方程為.鞏固練習(xí)1、【2020年新課標(biāo)2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進(jìn)而可得出與的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓的第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式以為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．[方法三]：參數(shù)方程由（1）知，橢圓的方程為，所以的參數(shù)方程為x=2c?cosθ,y=3將它代入拋物線的方程并化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達(dá)定理由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準(zhǔn)線與離心率的重要工具，涉及離心率的問(wèn)題不妨考慮使用第二定義，很多時(shí)候會(huì)使得問(wèn)題簡(jiǎn)單明了.方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時(shí)它也是解決圓錐曲線問(wèn)題的一個(gè)不錯(cuò)的思考方向.方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它將圓錐曲線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題，使得原來(lái)抽象的問(wèn)題更加具體化.方法四：韋達(dá)定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達(dá)定理可以達(dá)到設(shè)而不求的效果.2、【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因?yàn)?，可得，，根?jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）方法一：過(guò)點(diǎn)作軸垂線，垂足為，設(shè)與軸交點(diǎn)為，可得，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即．（2）［方法一］：通性通法不妨設(shè),在x軸上方，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，垂足為，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖

，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖

,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖

,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.［方法二］【最優(yōu)解】：由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)P，Q在x軸上方，過(guò)P作軸，垂足為E．設(shè)，由題知，．故，①因?yàn)?，如圖，所以，．

②因?yàn)椋鐖D，所以．

綜上有［方法三］：由已知可得，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)，聯(lián)立方程消去y得，由韋達(dá)定理得，所以，將其代入直線的方程得，所以，則．因?yàn)?，則直線的方程為，則．因?yàn)椋?，，即，故或，即或．?dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，點(diǎn)A到直線的距離為，故的面積為．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，故的面積為．綜上所述，的面積為．［方法四］：由（1）知橢圓的方程為，．不妨設(shè)在x軸上方，如圖．

設(shè)直線．因?yàn)?，所以．由點(diǎn)P在橢圓上得，所以．由點(diǎn)P在直線上得，所以．所以，化簡(jiǎn)得．所以，即．所以，點(diǎn)Q到直線的距離．又．故．即的面積為．［方法五］：由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)P，Q在x軸上方，過(guò)P作軸，垂足為C，設(shè)，由題知，所以．（1）．則．（其中）．（2）．同理，．（其中）綜上，的面積為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)平面幾何知識(shí)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的方程，再根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，是通性通法；方法二：同方法一，最后通過(guò)面積分割法求的面積，計(jì)算上有簡(jiǎn)化，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過(guò)設(shè)直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)題目等量關(guān)系求出的值，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的方程，最后根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，思想簡(jiǎn)單，但運(yùn)算較繁瑣；方法四：與法三相似，設(shè)直線的方程，通過(guò)平面知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)，再根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積；方法五：同法一，只是在三角形面積公式的選擇上，利用三角形面積的正弦形式結(jié)合平面向量的數(shù)量積算出．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）法一：根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)，求得a