專題15幾何綜合探究題中考27題(共55題)-5年(2016-2020)中考1年模擬數(shù)學試題分項詳解(原卷版+解析)(北京專用)

5年（2016-2020）中考1年模擬數(shù)學試題分項詳解（北京專用）專題15幾何綜合探究題中考27題（共45題）五年中考真題五年中考真題一．解答題（共5小題）1．（2020?北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線AC上一動點，連接DE．過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設AE＝a，BF＝b，求EF的長（用含a，b的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關系，并證明．2．（2019?北京）已知∠AOB＝30°，H為射線OA上一定點，OH=3+1，P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PM，滿足∠OMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉150°，得到線段PN，連接（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠OMP＝∠OPN；（3）點M關于點H的對稱點為Q，連接QP．寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON＝QP，并證明．3．（2018?北京）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF＝GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系，并證明．4．（2017?北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系，并證明．5．（2016?北京）在等邊△ABC中，（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度數(shù)；（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），點P在點Q的左側，且AP＝AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．①依題意將圖2補全；②小茹通過觀察、實驗提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PA＝PM，小茹把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：要證明PA＝PM，只需證△APM是等邊三角形；想法2：在BA上取一點N，使得BN＝BP，要證明PA＝PM，只需證△ANP≌△PCM；想法3：將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要證PA＝PM，只需證PA＝CK，PM＝CK…請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA＝PM（一種方法即可）．一年模擬新題一年模擬新題一．解答題（共40小題）1．（2020?豐臺區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，將線段AC繞點A逆時針旋轉α°（0＜α＜180），得到線段AD，連接BD，交AC于點P．（1）當α＝90°時，①依題意補全圖形；②求證：PD＝2PB；（2）寫出一個α的值，使得PD=3PB2．（2020?石景山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上的一點（不與點B重合），邊BC上點E在點D的右邊且∠DAE=12∠BAC，點D關于直線AE的對稱點為F，連接（1）如圖1，①依題意補全圖1；②求證：CF＝BD．（2）如圖2，∠BAC＝90°，用等式表示線段DE，CE，CF之間的數(shù)量關系，并證明．3．（2020?朝陽區(qū)三模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點P在線段BA的延長線上，作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，點D關于直線AB的對稱點為E，連接PE并延長PE到點F，使EF＝AC，連接CF．（1）依題意補全圖1；（2）求證：AD＝CF；（3）若AC＝2，點Q在直線AB上，寫出一個AQ的值，使得對于任意的點P總有QD＝QF，并證明．4．（2020?北京二模）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，點E為邊AD上一個動點（不與點A，D重合），點F在邊DC上，且AE＝DF，將線段DF繞著點D逆時針旋轉120°得線段DG，連接GF，BF，EF．（1）依題意補全圖形；（2）求證：△BEF為等邊三角形；（3）用等式表示線段BG，GF，CF的數(shù)量關系，并證明．5．（2020?朝陽區(qū)二模）已知∠AOB＝40°，M為射線OB上一定點，OM＝1，P為射線OA上一動點（不與點O重合），OP＜1，連接PM，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉40°，得到線段PN，連接MN．（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠APN＝∠OMP；（3）H為射線OA上一點，連接NH．寫出一個OH的值，使得對于任意的點P總有∠OHN為定值，并求出此定值．6．（2020?海淀區(qū)二模）如圖1，等邊三角形ABC中，D為BC邊上一點，滿足BD＜CD，連接AD，以點A為中心，將射線AD順時針旋轉60°，與△ABC的外角平分線BM交于點E．（1）依題意補全圖1；（2）求證：AD＝AE；（3）若點B關于直線AD的對稱點為F，連接CF．①求證：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接寫出∠BAD的度數(shù)為°．7．（2020?門頭溝區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的兩個動點（不與點A，B，C重合），且AE＝CF，延長BC到G，使CG＝CF，連接EG，DF．（1）依題意將圖形補全；（2）小華通過觀察、實驗、提出猜想：在點E，F(xiàn)運動過程中，始終有EG=2DF想法一：連接DE，DG，證明△DEG是等腰直角三角形；想法二：過點D作DF的垂線，交BA的延長線于H，可得△DFH是等腰直角三角形，證明HF＝EG；…請參考以上想法，幫助小華證明EG=2DF8．（2020?東城區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D是△ABC外一點，點D與點C在直線AB的異側，且點D，A，C不共線，連接AD，BD，CD．（1）如圖1，當α＝60°．∠ADB＝30°時，畫出圖形，直接寫出AD，BD，CD之間的數(shù)量關系；（2）當α＝90°，∠ADB＝45°時，利用圖2，繼續(xù)探究AD，BD，CD之間的數(shù)量關系并證明；（提示：嘗試運用圖形變換，將要研究的有關線段盡可能轉移到一個三角形中）（3）當∠ADB=α2時，進一步探究AD，BD，CD之間的數(shù)量關系，并用含9．（2020?平谷區(qū)二模）如圖，在△ABM中，∠ABC＝90°，延長BM使BC＝BA，線段CM繞點C順時針旋轉90°得到線段CD，連結DM，AD．（1）依據(jù)題意補全圖形；（2）當∠BAM＝15°時，∠AMD的度數(shù)是；（3）小聰通過畫圖、測量發(fā)現(xiàn)，當∠AMB是一定度數(shù)時，AM＝MD．小聰把這個猜想和同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，如果把梯形ABCD補全成為正方形ABCE，就易證△ABM≌△AED，因此易得當∠AMD是特殊值時，問題得證；想法2：要證AM＝MD，通過第（2）問，可知只需要證明△AMD是等邊三角形，通過構造平行四邊形CDAF，易證AD＝CF，通過△ABM≌△CBF，易證AM＝CF，從而解決問題；想法3：通過BC＝BA，∠ABC＝90°，連結AC，易證△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此當∠AMD是特殊值時，問題得證．請你參考上面的想法，幫助小聰證明當∠AMD是一定度數(shù)時，AM＝MD．（一種方法即可）10．（2020?西城區(qū)二模）在正方形ABCD中，E是CD邊上一點（CE＞DE），AE，BD交于點F．（1）如圖1，過點F作GH⊥AE，分別交邊AD，BC于點G，H．求證：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分線分別與AD，AE，BD交于點P，M，N，連接CN．①依題意補全圖形；②用等式表示線段AE與CN之間的數(shù)量關系，并證明．11．（2020?豐臺區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，將CA繞點C順時針旋轉45°，得到CP，點A關于直線CP的對稱點為D，連接AD交直線CP于點E，連接CD．（1）根據(jù)題意補全圖形；（2）判斷△ACD的形狀，并證明；（3）連接BE，用等式表示線段AB，BC，BE之間的數(shù)量關系，并證明．溫馨提示：在解決第（3）問的過程中，如果你遇到困難，可以參考下面幾種解法的主要思路．解法1的主要思路：延長BC至點F，使CF＝AB，連接EF，可證△ABE≌△CFE，再證△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：過點A作AM⊥BE于點M，可證△ABM是等腰直角三角形，再證△ABC∽△AME．解法3的主要思路：過點A作AM⊥BE于點M，過點C作CN⊥BE于點N，設BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．12．（2020?密云區(qū)二模）已知：MN是經(jīng)過點A的一條直線，點C是直線MN左側的一個動點，且滿足60°＜∠CAN＜120°，連接AC，將線段AC繞點C順時針旋轉60°，得到線段CD，在直線MN上取一點B，使∠DBN＝60°．（1）若點C位置如圖1所示．①依據(jù)題意補全圖1；②求證：∠CDB＝∠MAC；（2）連接BC，寫出一個BC的值，使得對于任意一點C，總有AB+BD＝3，并證明．13．（2020?順義區(qū)二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D為線段BC上一動點（點D不與點B、C重合），點B關于直線AD的對稱點為E，作射線DE，過點C作BC的垂線，交射線DE于點F，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）AE與DF的位置關系是；（3）連接AF，小昊通過觀察、實驗，提出猜想：發(fā)現(xiàn)點D在運動變化的過程中，∠DAF的度數(shù)始終保持不變，小昊把這個猜想與同學們進行了交流，經(jīng)過測量，小昊猜想∠DAF＝°，通過討論，形成了證明該猜想的兩種想法：想法1：過點A作AG⊥CF于點G，構造正方形ABCG，然后可證△AFG≌△AFE…想法2：過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，構造?ABGF，然后可證△AFE≌△BGC…請你參考上面的想法，幫助小昊完成證明（一種方法即可）．14．（2020?武漢模擬）已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，點E在△ABC內(nèi)，且∠CAE+∠CBE＝90°（1）如圖1，當△ABC和△EFC均為等腰直角三角形時，連接BF，①求證：△CAE∽△CBF；②若BE＝2，AE＝4，求EF的長；（2）如圖2，當△ABC和△EFC均為一般直角三角形時，若ABBC=EFFC=k，BE＝1，AE＝3，15．（2020?豐臺區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F(xiàn)是AC′的中點，連接DF．（1）求∠FDP的度數(shù)；（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關系，并證明；（3）連接AC，若正方形的邊長為2，請直接寫出△ACC′的面積最大值．16．（2020?朝陽區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD＝β，點E，F(xiàn)是四邊形ABCD內(nèi)的兩個點，滿足∠EAF=12α，∠ECF=12β，連接BE，（1）如圖1，當α＝β時，判斷∠ABE和∠ADF之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，當α≠β時，用等式表示線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系（直接寫出即可）．17．（2020?豐臺區(qū)模擬）已知C為線段AB中點，∠ACM＝α．Q為線段BC上一動點（不與點B重合），點P在射線CM上，連接PA，PQ，記BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如圖1，當Q為BC中點時，求∠PAC的度數(shù)；②直接寫出PA、PQ的數(shù)量關系；（2）如圖2，當α＝45°時．探究是否存在常數(shù)k，使得②中的結論仍成立？若存在，寫出k的值并證明；若不存在，請說明理由．18．（2020?通州區(qū)一模）已知線段AB，過點A的射線l⊥AB．在射線l上截取線段AC＝AB，連接BC，點M為BC的中點，點P為AB邊上一動點，點N為線段BM上一動點，以點P為旋轉中心，將△BPN逆時針旋轉90°得到△DPE，B的對應點為D，N的對應點為E．（1）當點N與點M重合，且點P不是AB中點時，①據(jù)題意在圖中補全圖形；②證明：以A，M，E，D為頂點的四邊形是矩形．（2）連接EM．若AB＝4，從下列3個條件中選擇1個：①BP＝1，②PN＝1，③BN=2當條件（填入序號）滿足時，一定有EM＝EA，并證明這個結論．19．（2020?門頭溝區(qū)一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，點D在AB上，連接CD，并將CD繞點D逆時針旋轉60°得到DE，連接AE．（1）如圖1，當點D為AB中點時，直接寫出DE與AE長度之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，當點D在線段AB上時，①根據(jù)題意補全圖2；②猜想DE與AE長度之間的數(shù)量關系，并證明．20．（2020?西城區(qū)一模）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．點P在線段BC上，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，連接AP，AQ．過點B作BD⊥AQ于點D，交AP于點E，交AC于點F．K是線段AD上的一個動點（與點A，D不重合），過點K作GN⊥AP于點H，交AB于點G，交AC于點M，交FD的延長線于點N．（1）依題意補全圖1；（2）求證：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示線段AE，GN與BN之間的數(shù)量關系，并證明．21．（2020?北京一模）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=2，M為BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），連接AM，以點A為中心，將線段AM逆時針旋轉135°，得到線段AN，連接BN（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠BAN＝∠AMB；（3）點P在線段BC的延長線上，點M關于點P的對稱點為Q，寫出一個PC的值，使得對于任意的點M，總有AQ＝BN，并證明．22．（2020?朝陽區(qū)一模）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F，連接BE．（1）依題意補全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關系，并證明．23．（2020?密云區(qū)一模）已知∠MCN＝45°，點B在射線CM上，點A是射線CN上的一個動點（不與點C重合）．點B關于CN的對稱點為點D，連接AB、AD和CD，點F在直線BC上，且滿足AF＝AB．小明在探究圖形運動的過程中發(fā)現(xiàn)：AF⊥AD始終成立．（1）如圖1，當0°＜∠BAC＜90°時．①求證：AF⊥AD；②用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關系，并證明；（2）當90°＜∠BAC＜135°時，直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關系是．24．（2020?石景山區(qū)一模）如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一動點，滿足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，過點D作DF⊥BE交BE的延長線于點F．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段EF，DF，BE之間的數(shù)量關系，并證明；（3）連接CE，若AB＝25，請直接寫出線段CE長度的最小值．25．（2020?順義區(qū)一模）已知，如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，將線段AC繞點A逆時針旋轉90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點E，連接CE．①求∠AED的度數(shù)；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關系（直接寫出結果）．（2）如圖2，將線段AC繞點A順時針旋轉90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點E，連接CE．①依題意補全圖2；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關系，并證明．26．（2020?平谷區(qū)一模）△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，將線段AB繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到線段AD．作射線BD，點C關于射線BD的對稱點為點E．連接AE，CE．（1）依題意補全圖形；（2）若α＝20°，直接寫出∠AEC的度數(shù)；（3）寫出一個α的值，使AE=2時，線段CE的長為327．（2020?豐臺區(qū)一模）已知∠AOB＝120°，點P為射線OA上一動點（不與點O重合），點C為∠AOB內(nèi)部一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，且點Q恰好落在射線OB上，不與點O重合．（1）依據(jù)題意補全圖1；（2）用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關系，并證明；（3）連接OC，寫出一個OC的值，使得對于任意點P，總有OP+OQ＝4，并證明．28．（2020?大興區(qū)一模）已知：如圖，∠QAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點，點H關于射線AQ的對稱點為C，連接AC，CB．（1）依題意補全圖；（2）CB的垂直平分線交AQ于點E，交BC于點F．連接CE，HE，EB．①求證：△EHB是等腰三角形；②若AC+AB=112AE，求cos∠29．（2020?房山區(qū)一模）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點M為BC中點．點P為AB邊上一動點，點D為BC邊上一動點，連接DP，以點P為旋轉中心，將線段PD逆時針旋轉90°，得到線段PE，連接EC．（1）當點P與點A重合時，如圖2．①根據(jù)題意在圖2中完成作圖；②判斷EC與BC的位置關系并證明．（2）連接EM，寫出一個BP的值，使得對于任意的點D總有EM＝EC，并證明．30．（2020?東城區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD邊上一動點（不與D點重合），點D與點E關于AM所在的直線對稱，連接AE，ME，延長CB到點F，使得BF＝DM，連接EF，AF．（1）依題意補全圖1；（2）若DM＝1，求線段EF的長；（3）當點M在CD邊上運動時，能使△AEF為等腰三角形，直接寫出此時tan∠DAM的值．31．（2020?西城區(qū)校級模擬）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，PC=3PA，設∠APB＝α，∠BPC＝β（1）如圖1，當點P在△ABC內(nèi)，①若β＝153°，求α的度數(shù)；小明同學通過分析已知條件發(fā)現(xiàn)：△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且PC=3PA，從而容易聯(lián)想到構造一個頂角為120°的等腰三角形．于是，他過點A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，連接DP，DB，發(fā)現(xiàn)兩個不同的三角形全等：≌再利用全等三角形及等腰三角形的相關知識可求出α請利用小王同學分析的思路，通過計算求得α的度數(shù)為；②小王在①的基礎上進一步進行探索，發(fā)現(xiàn)α、β之間存在一種特殊的等量關系，請寫出這個等量關系，并加以證明．（2）如圖2，點P在△ABC外，那么a、β之間的數(shù)量關系是否改變？若改變，請直接寫出它們的數(shù)量關系；若不變，請說明理由．32．（2020?東城區(qū)校級模擬）如圖，在平面內(nèi)給定△ABC，AB＝AC，點O到△ABC的三個頂點的距離均等于c（c為常數(shù)），到點O的距離等于c的所有點組成圖形G，過點A作AB的垂線交BC于點E，交圖形G于點D，延長DA，在DA的延長線上存在一點F，使得∠ABF＝∠ABC．（1）依題意補全圖形；（2）判斷直線BF與圖形G交點的個數(shù)并證明；（3）若AD＝4，cos∠ABF=45，求33．（2019?通州區(qū)三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M在△ABC內(nèi)，AM平分∠BAC．點E與點M在AC所在直線的兩側，AE⊥AB，AE＝BC，點N在AC邊上，CN＝AM，連接ME，BN．（1）補全圖形；（2）求ME：BN的值；（3）問：點M在何處時BM+BN取得最小值？確定此時點M的位置，并求此時BM+BN的最小值．34．（2019?房山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延長BC到點D，使CD＝CB，連接AD，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F．（1）依題意補全圖形；（2）求證：∠B＝2∠BAD；（3）用等式表示線段EA，EB和DB之間的數(shù)量關系，并證明．35．（2020?朝陽區(qū)模擬）在△ABC中，點D在AB邊上（不與點B重合），DE⊥BC，垂足為點E，如果以DE為對角線的正方形上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱該正方形為△ABC的內(nèi)正方形．（1）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠B＝30°，點D是AB的中點，畫出△ABC的內(nèi)正方形，直接寫出此時內(nèi)正方形的面積；（2）在平面直角坐標系xOy中，點A（t，2），B（0，0），C（32t①若t＝2，求△ABC的內(nèi)正方形的頂點E的橫坐標的取值范圍；②若對于任意的點D，△ABC的內(nèi)正方形總是存在，直接寫出t的取值范圍．36．（2020?海淀區(qū)校級模擬）小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在△ABC中，把AB點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′，連接B′C′．當α+β＝180°時，請問△AB′C′邊B′C′上的中線AD與BC的數(shù)量關系是什么？以下是他的研究過程：特例驗證：（1）①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關系為AD＝BC；②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝8時，則AD長為．猜想論證：（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關系，并給予證明．拓展應用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C＝90°，∠A+∠B＝120°，BC＝123，CD＝6，DA＝63，在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC與△PAB之間滿足小明探究的問題中的邊角關系？若存在，請畫出點P的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出△PDC的邊DC上的中線PQ的長度；若不存在，說明理由．37．（2020?蕭山區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，P是邊BC上的一動點（不與點B，C重合），點B關于直線AP的對稱點為E，連接AE．連接DE并延長交射線AP于點F，連接BF．（1）若∠BAP＝α，直接寫出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；（2）求證：BF⊥DF；（3）連接CF，用等式表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關系，并證明．38．（2020?西城區(qū)校級模擬）如圖1，在正方形ABCD中，點F在邊BC上，過點F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），連接CE、AE，點G是AE的中點，連接FG．（1）用等式表示線段BF與FG的數(shù)量關系是；（2）將圖1中的△CEF繞點C按逆時針旋轉，使△CEF的頂點F恰好在正方形ABCD的對角線AC上，點G仍是AE的中點，連接FG、DF．①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；②求證：DF=2FG39．（2020?西城區(qū)校級模擬）如圖1，在正方形ABCD中，E是對角線AC上的一點，點F在BC的延長線上，EF交CD于G，EF＝ED．（1）求證：EB＝EF；（2）連接DF，若DF＝2，求BE；（3）如圖2，若把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC＝60°時，猜想BE與DF的數(shù)量關系，并證明你的猜想．40．（2019?海淀區(qū)校級模擬）已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E為邊AB上一點，連接ED，∠ADE＝α，將線段DE繞著點E旋轉，使得點D落在DB的延長線上點F處，BC上取一點G，使得BG＝BF，連接EG．（1）①依題意補全圖形；②求∠FED的角度（用α表示）；（2）探究AE，CG，F(xiàn)D的數(shù)量關系，并證明．5年（2016-2020）中考1年模擬數(shù)學試題分項詳解（北京專用）專題15幾何綜合探究題中考27題（共45題）五年中考真題五年中考真題一．解答題（共5小題）1．（2020?北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線AC上一動點，連接DE．過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設AE＝a，BF＝b，求EF的長（用含a，b的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）由三角形的中位線定理得DE∥BC，DE=12BC，進而證明四邊形CEDF是矩形得DE＝CF（2）過點B作BM∥AC，與ED的延長線交于點M，連接MF，證明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分線的判定定理得EF＝MF，進而根據(jù)勾股定理得結論．【解答】解：（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點，∴DE∥BC，DE=12∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴DE＝CF=12∴CF＝BF＝b，∵CE＝AE＝a，∴EF=C（2）AE2+BF2＝EF2．證明：過點B作BM∥AC，與ED的延長線交于點M，連接MF，則∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D點是AB的中點，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，∠AED=∠BMD∠ADE=∠BDM∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．2．（2019?北京）已知∠AOB＝30°，H為射線OA上一定點，OH=3+1，P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PM，滿足∠OMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉150°，得到線段PN，連接（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠OMP＝∠OPN；（3）點M關于點H的對稱點為Q，連接QP．寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON＝QP，并證明．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形．（2）由旋轉可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形內(nèi)角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得證．（3）根據(jù)題意畫出圖形，以ON＝QP為已知條件反推OP的長度．由（2）的結論∠OMP＝∠OPN聯(lián)想到其補角相等，又因為旋轉有PM＝PN，已具備一邊一角相等，過點N作NC⊥OB于點C，過點P作PD⊥OA于點D，即可構造出△PDM≌△NCP，進而得PD＝NC，DM＝CP．此時加上ON＝QP，則易證得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，設PD＝NC＝a，則OP＝2a，OD=3a．再設DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于點M、Q關于點H對稱，即點H為MQ中點，故MH=12MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH=3a+a=3+1，求得a＝1，故OP＝2．證明過程則把推理過程反過來，以【解答】解：（1）如圖1所示為所求．（2）設∠OPM＝α，∵線段PM繞點P順時針旋轉150°得到線段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2時，總有ON＝QP，證明如下：過點N作NC⊥OB于點C，過點P作PD⊥OA于點D，如圖2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD=12∴OD=∵OH=3∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM與△NCP中∠PDM=∠NCP∠PMD=∠NPC∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP設DM＝CP＝x，則OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵點M關于點H的對稱點為Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN與△QDP中OC=QD∠OCN=∠QDP=90°∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP3．（2018?北京）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF＝GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）如圖1，連接DF，根據(jù)對稱得：△ADE≌△FDE，再由HL證明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得結論；（2）證法一：如圖2，作輔助線，構建AM＝AE，先證明∠EDG＝45°，得DE＝EH，證明△DME≌△EBH，則EM＝BH，根據(jù)等腰直角△AEM得：EM=2AE證法二：如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再說明△BNH是等腰直角三角形，可得結論．【解答】證明：（1）如圖1，連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵點A關于直線DE的對稱點為F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵DF=DCDG=DG∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH=2AE證法一：如圖2，在線段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵DM=BE∠1=∠BEH∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM=2AE∴BH=2AE證法二：如圖3，過點H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵∠A=∠ENH∠1=∠NEH∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=2HN=24．（2017?北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，由直角三角形的性質即可得出結論；（2）連接AQ，作ME⊥QB，由AAS證明△APC≌△QME，得出PC＝ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質即可得出結論．【解答】解：（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；（2）PQ=2MB連接AQ，作ME⊥QB，如圖所示：∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，∠MQE=∠PAC∠ACP=∠QEM∴△APC≌△QME（AAS），∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴12PQ=2∴PQ=2MB方法二：也可以延長AC到D，使得CD＝CQ．則易證△ADP≌△QBM．∴BM＝PD=2CD=2QC=即PQ=2MB5．（2016?北京）在等邊△ABC中，（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度數(shù)；（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），點P在點Q的左側，且AP＝AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．①依題意將圖2補全；②小茹通過觀察、實驗提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PA＝PM，小茹把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：要證明PA＝PM，只需證△APM是等邊三角形；想法2：在BA上取一點N，使得BN＝BP，要證明PA＝PM，只需證△ANP≌△PCM；想法3：將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要證PA＝PM，只需證PA＝CK，PM＝CK…請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA＝PM（一種方法即可）．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得到∠APQ＝∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB＝∠AQC，根據(jù)三角形外角的性質即可得到結論；（2）如圖2根據(jù)等腰三角形的性質得到∠APQ＝∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB＝∠AQC，由點Q關于直線AC的對稱點為M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代換得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質即可得到結論．【解答】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）如圖2，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，（將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要證PA＝PM，只需證PA＝CK，PM＝CK…請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA＝PM）∵點Q關于直線AC的對稱點為M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠PAM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等邊三角形，∴AP＝PM．證明△ABP≌△ACM≌△BCK一年模擬新題一年模擬新題一．解答題（共40小題）1．（2020?豐臺區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，將線段AC繞點A逆時針旋轉α°（0＜α＜180），得到線段AD，連接BD，交AC于點P．（1）當α＝90°時，①依題意補全圖形；②求證：PD＝2PB；（2）寫出一個α的值，使得PD=3PB【分析】（1）當α＝90°時，①依題意即可補全圖形；②根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊一半即可證明PD＝2PB；（2）當α的值為60度時，根據(jù)等腰三角形的性質即可證明PD=3PB【解答】解：（1）當α＝90°時，①如圖即為補全的圖形；②證明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，根據(jù)題意可知：AC＝AD，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD＝90°，∴∠DAB＝120°，∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，∴AP＝BP，在Rt△APD中，∠ADB＝30°，∴PD＝2AP，∴PD＝2PB；（2）當α＝60（或120°）時，PD=3PB情況1，如圖所示：當α＝60°時，過點D作DF⊥AC于點F，過點B作BE⊥AC于點E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴DFBE在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，∴AD=23∵AD＝AC＝AB，∴2BE=23∴3BE＝DF，∴PD=3PB情況2，如圖所示：當α＝120°時，過點D作DF⊥AC于點F，過點B作BE⊥AC于點E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴DFBE在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，∴AD=23∵AD＝AC＝AB，∴2BE=23∴3BE＝DF，∴PD=3PB2．（2020?石景山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上的一點（不與點B重合），邊BC上點E在點D的右邊且∠DAE=12∠BAC，點D關于直線AE的對稱點為F，連接（1）如圖1，①依題意補全圖1；②求證：CF＝BD．（2）如圖2，∠BAC＝90°，用等式表示線段DE，CE，CF之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖形即可；②連接AF，如圖1，根據(jù)已知條件得到∠3＝∠1+∠2．根據(jù)軸對稱的性質得到AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．根據(jù)全等三角形的性質得到結論；（2）連接FA，F(xiàn)E，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解答】解：（1）①依題意補全圖形，如圖1；②證明：連接AF，如圖1，∵∠3=1∴∠3＝∠1+∠2．∵點F與點D關于直線AE對稱，∴AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠FAE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）線段DE，CE，CF之間的數(shù)量關系是DE2＝CE2+CF2．證明：連接FA，F(xiàn)E，如圖2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．3．（2020?朝陽區(qū)三模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點P在線段BA的延長線上，作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，點D關于直線AB的對稱點為E，連接PE并延長PE到點F，使EF＝AC，連接CF．（1）依題意補全圖1；（2）求證：AD＝CF；（3）若AC＝2，點Q在直線AB上，寫出一個AQ的值，使得對于任意的點P總有QD＝QF，并證明．【分析】（1）依照題意，補全圖形即可；（2）通過證明四邊形DCFP是矩形，可得PD＝CF，由等腰直角三角形的性質可得AD＝PD＝CF；（3）通過證明△DAQ≌△FCQ，可得QD＝QF．【解答】解：（1）補全圖形，如圖所示：（2）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵PD⊥AC，∴∠PDA＝90°，∴∠DPA＝90°﹣∠PAD＝45°＝∠DAP，∴AD＝DP，∵點D關于直線AB的對稱點為E，∴∠FPA＝∠DPA＝45°，∴∠DPF＝90°，又∵∠PDA＝90°＝∠ACF，∴四邊形DCFP是矩形，∴PD＝CF，∴AD＝PD＝CF；（3）AQ=2理由如下：如圖2，連接CQ，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝22，∠B＝∠CAB＝45°，∵AQ=2∴AQ＝BQ，又∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴CQ＝AQ＝BQ，∠QCA＝∠CAQ＝45°，∴∠DAQ＝∠QCF＝135°，又∵AD＝CF，∴△DAQ≌△FCQ（SAS），∴FQ＝DQ．4．（2020?北京二模）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，點E為邊AD上一個動點（不與點A，D重合），點F在邊DC上，且AE＝DF，將線段DF繞著點D逆時針旋轉120°得線段DG，連接GF，BF，EF．（1）依題意補全圖形；（2）求證：△BEF為等邊三角形；（3）用等式表示線段BG，GF，CF的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；（2）易證△ABD為等邊三角形，∠BDF＝60°，由SAS證得△ABE≌△DBF，得出BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，則∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝60°，即可得出結論；（3）取FG中點H，連接DH，由等腰三角形的性質得出∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，由三角函數(shù)得出GF=3DG，易證△BCD為等邊三角形，B、D、G三點在同一條直線上，求出BG﹣CF＝2DG，即可得出3（BG﹣CF）＝2GF【解答】（1）解：補全圖形，如圖1所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠BDF＝60°，∴∠ABD＝∠BDC＝60°，AB＝BD，在△ABE和△DBF中，AB=BD∠A=∠BDF=60°∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝∠ABD＝60°，∴△BEF為等邊三角形；（3）解：BG、GF、CF的數(shù)量關系為：3（BG﹣CF）＝2GF，理由如下：取FG中點H，連接DH，如圖2所示：∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°，∴∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，∴GF＝2GH＝2DG?cos30°＝2DG×32∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△BCD為等邊三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝60°，∵∠FDG＝120°，∴∠BDC+∠FDG＝180°，即B、D、G三點在同一條直線上，∴BG＝BD+DG＝CD+DG＝CF+DF+DG＝CF+2DG，∴BG﹣CF＝2DG，∴3（BG﹣CF）＝23DG＝2GF．5．（2020?朝陽區(qū)二模）已知∠AOB＝40°，M為射線OB上一定點，OM＝1，P為射線OA上一動點（不與點O重合），OP＜1，連接PM，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉40°，得到線段PN，連接MN．（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠APN＝∠OMP；（3）H為射線OA上一點，連接NH．寫出一個OH的值，使得對于任意的點P總有∠OHN為定值，并求出此定值．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）利用三角形的外角的性質解決問題即可．（3）結論：OH＝1時，∠OHN的值為定值．證明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN=1【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：如圖1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：結論：OH＝1時，∠OHN的值為定值．理由：在射線PA設取一點G，使得PG＝OM，連接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN=1∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．6．（2020?海淀區(qū)二模）如圖1，等邊三角形ABC中，D為BC邊上一點，滿足BD＜CD，連接AD，以點A為中心，將射線AD順時針旋轉60°，與△ABC的外角平分線BM交于點E．（1）依題意補全圖1；（2）求證：AD＝AE；（3）若點B關于直線AD的對稱點為F，連接CF．①求證：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接寫出∠BAD的度數(shù)為20°．【分析】（1）由旋轉即可補全圖形；（2）先判斷出∠BAE＝∠CAD，再判斷出∠ABE＝60°＝∠C，進而判斷出△ABE≌△ACD，即可得出結論；（3）①先判斷出AFC＝∠ACF，設∠BAD＝α，進而表示出∠FAD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，進而得出∠ACF＝60°+α再判斷出∠CAE＝120°﹣α，即可得出結論；②先判斷出∠CBG＝30°﹣α，進而判斷出∠CDF＝60°﹣2α，再判斷出DF＝CF，進而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判斷出∠DCF＝α，即可得出結論．【解答】解：（1）補全圖形如圖1所示；（2）由旋轉知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分線，∴∠ABM=12（180°﹣60°）＝60°＝∠在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CADAB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE；（3）①如圖2，連接AF，∵點F是點B關于AD的對稱點，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，設∠BAD＝α，則∠FAD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF=12（180°﹣∠CAF）＝60°+由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如圖2，連接BF，設∠BAD＝α，∵點F是點B關于AD的對稱點，∴AD⊥BF，垂足記作點G，則∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，連接DF，則BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案為：20．7．（2020?門頭溝區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的兩個動點（不與點A，B，C重合），且AE＝CF，延長BC到G，使CG＝CF，連接EG，DF．（1）依題意將圖形補全；（2）小華通過觀察、實驗、提出猜想：在點E，F(xiàn)運動過程中，始終有EG=2DF想法一：連接DE，DG，證明△DEG是等腰直角三角形；想法二：過點D作DF的垂線，交BA的延長線于H，可得△DFH是等腰直角三角形，證明HF＝EG；…請參考以上想法，幫助小華證明EG=2DF【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）如圖，連接DE，DG，根據(jù)正方形的性質得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根據(jù)全等三角形的性質得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性質得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到結論．【解答】解：（1）依題意補全圖形如圖所示；（2）如圖，連接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG=2DG=28．（2020?東城區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D是△ABC外一點，點D與點C在直線AB的異側，且點D，A，C不共線，連接AD，BD，CD．（1）如圖1，當α＝60°．∠ADB＝30°時，畫出圖形，直接寫出AD，BD，CD之間的數(shù)量關系；（2）當α＝90°，∠ADB＝45°時，利用圖2，繼續(xù)探究AD，BD，CD之間的數(shù)量關系并證明；（提示：嘗試運用圖形變換，將要研究的有關線段盡可能轉移到一個三角形中）（3）當∠ADB=α2時，進一步探究AD，BD，CD之間的數(shù)量關系，并用含【分析】（1）先判斷出∠BDE＝90°，再根據(jù)勾股定理得出BD2+DE2＝BE2，即BD2+AD2＝BE2，再判斷出△ABE≌△ACD（SAS），得出BE＝CD，即可得出結論；（2）同（1）方法得出DE2+BD2＝BE2，進而得出2AD2+BD2＝BE2，同（1）的方法判斷出BE＝CD，即可得出結論；（3）同（1）的方法得出DE2+BD2＝BE2，再判斷出DF＝2AD?sinα2【解答】解：（1）AD2+BD2＝CD2，理由：如圖1，過AD為邊在AD上側作等邊三角形ADE，連接BE，則AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，∴BD2+AD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如圖2，過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根據(jù)勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如圖3，將線段AD繞點A順時針旋轉α得到AE，連接DE，BE，∴∠ADE=12（180°﹣∠DAE）＝90°?∵∠ADB=12∴∠BDE＝90°，根據(jù)勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE2+BD2＝CD2，過點A作AF⊥DE于F，則DE＝2DF，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE=12在Rt△ADF中，sin∠DAF=DF∴DF＝AD?sin∠DAF＝AD?sinα2∴DE＝2DF＝2AD?sinα2即：（2AD?sinα2）2+BD2＝CD29．（2020?平谷區(qū)二模）如圖，在△ABM中，∠ABC＝90°，延長BM使BC＝BA，線段CM繞點C順時針旋轉90°得到線段CD，連結DM，AD．（1）依據(jù)題意補全圖形；（2）當∠BAM＝15°時，∠AMD的度數(shù)是60°；（3）小聰通過畫圖、測量發(fā)現(xiàn)，當∠AMB是一定度數(shù)時，AM＝MD．小聰把這個猜想和同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，如果把梯形ABCD補全成為正方形ABCE，就易證△ABM≌△AED，因此易得當∠AMD是特殊值時，問題得證；想法2：要證AM＝MD，通過第（2）問，可知只需要證明△AMD是等邊三角形，通過構造平行四邊形CDAF，易證AD＝CF，通過△ABM≌△CBF，易證AM＝CF，從而解決問題；想法3：通過BC＝BA，∠ABC＝90°，連結AC，易證△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此當∠AMD是特殊值時，問題得證．請你參考上面的想法，幫助小聰證明當∠AMD是一定度數(shù)時，AM＝MD．（一種方法即可）【分析】（1）由題意畫出，圖形；（2）由旋轉的性質可得出△DCM為等腰直角三角形，則∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根據(jù)三種想法證明△AMD為等邊三角形即可得出結論．【解答】解：（1）由題意畫出圖形如圖1，（2）如圖1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵線段CM繞點C順時針旋轉90°得到線段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案為：60°．（3）當∠AMB＝75°時，AM＝DM．想法1證明：如圖2，過點A作AE⊥CD交CD的延長線于點E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD為等邊三角形，∴AM＝DM．想法2證明：如圖3，過點C作CF∥AD交AB于點F，∵AF∥CD，∴四邊形AFCD為平行四邊形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD為等邊三角形，∴AM＝DM．想法3證明：如圖4，連接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD為等邊三角形，∴AM＝DM．10．（2020?西城區(qū)二模）在正方形ABCD中，E是CD邊上一點（CE＞DE），AE，BD交于點F．（1）如圖1，過點F作GH⊥AE，分別交邊AD，BC于點G，H．求證：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分線分別與AD，AE，BD交于點P，M，N，連接CN．①依題意補全圖形；②用等式表示線段AE與CN之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）由平行線的性質可得出∠AGH＝∠GHC．證得∠EAB＝∠AGH．則結論得證；（2）①依題意補全圖形即可；②連接AN，連接EN并延長，交AB邊于點Q．證得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．則可得出AE=2CN【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①補全圖形，如圖所示．②證明：連接AN，連接EN并延長，交AB邊于點Q．∵四邊形ABCD是正方形，∴點A，點C關于BD對稱．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在Rt△ANE中，∴AE=2CN11．（2020?豐臺區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，將CA繞點C順時針旋轉45°，得到CP，點A關于直線CP的對稱點為D，連接AD交直線CP于點E，連接CD．（1）根據(jù)題意補全圖形；（2）判斷△ACD的形狀，并證明；（3）連接BE，用等式表示線段AB，BC，BE之間的數(shù)量關系，并證明．溫馨提示：在解決第（3）問的過程中，如果你遇到困難，可以參考下面幾種解法的主要思路．解法1的主要思路：延長BC至點F，使CF＝AB，連接EF，可證△ABE≌△CFE，再證△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：過點A作AM⊥BE于點M，可證△ABM是等腰直角三角形，再證△ABC∽△AME．解法3的主要思路：過點A作AM⊥BE于點M，過點C作CN⊥BE于點N，設BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）結論：△ACD是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可．（3）結論：BC+BA=2BE．延長BC至點F，使CF＝AB，連接EF．證明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）結論：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D關于CP對稱，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）結論：BC+BA=2BE理由：延長BC至點F，使CF＝AB，連接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=2BE∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA=2BE12．（2020?密云區(qū)二模）已知：MN是經(jīng)過點A的一條直線，點C是直線MN左側的一個動點，且滿足60°＜∠CAN＜120°，連接AC，將線段AC繞點C順時針旋轉60°，得到線段CD，在直線MN上取一點B，使∠DBN＝60°．（1）若點C位置如圖1所示．①依據(jù)題意補全圖1；②求證：∠CDB＝∠MAC；（2）連接BC，寫出一個BC的值，使得對于任意一點C，總有AB+BD＝3，并證明．【分析】（1）①根據(jù)題意作出圖形即可求解；②根據(jù)等量關系可證∠CDB＝∠MAC；（2）如圖2，連接BC，在直線MN上截取AH＝BD，連接CH，根據(jù)SAS可證△ACH≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質和等邊三角形的判定與性質即可求解．【解答】.解：（1）①如圖1所示：②證明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四邊形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3時，對于任意一點C，總有AB+BD＝3．證明：如圖2，連接BC，在直線MN上截取AH＝BD，連接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等邊三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．13．（2020?順義區(qū)二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D為線段BC上一動點（點D不與點B、C重合），點B關于直線AD的對稱點為E，作射線DE，過點C作BC的垂線，交射線DE于點F，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）AE與DF的位置關系是AE⊥DF；（3）連接AF，小昊通過觀察、實驗，提出猜想：發(fā)現(xiàn)點D在運動變化的過程中，∠DAF的度數(shù)始終保持不變，小昊把這個猜想與同學們進行了交流，經(jīng)過測量，小昊猜想∠DAF＝45°，通過討論，形成了證明該猜想的兩種想法：想法1：過點A作AG⊥CF于點G，構造正方形ABCG，然后可證△AFG≌△AFE…想法2：過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，構造?ABGF，然后可證△AFE≌△BGC…請你參考上面的想法，幫助小昊完成證明（一種方法即可）．【分析】（1）根據(jù)題意正確畫圖；（2）證明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，從而得結論；（3）想法1：如圖2，過點A做AG⊥CF于點G，先證明四邊形ABCG是正方形，得AG＝AB，∠BAG＝90°，再證明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根據(jù)∠BAG＝90°及角的和可得結論；想法2：如圖3，過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，證明四邊形ABGF是平行四邊形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再證明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根據(jù)∠BCG＝90°及等量代換，角的和可得結論．【解答】解：（1）補全圖形如圖1：（2）AE與DF的位置關系是：AE⊥DF，理由是：∵點B關于直線AD的對稱點為E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案為：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：證明如下：如圖2，過點A做AG⊥CF于點G，依題意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四邊形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵點B關于直線AD的對稱點為E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：證明如下：如圖3，過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，依題意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°，∴AB∥FG，∵AF∥BG，∴四邊形ABGF是平行四邊形，∴AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，∵點B關于直線AD的對稱點為E，∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），∴∠EAF＝∠CBG，∵∠BCG＝90°，∴∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF＝90°，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD+∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．故答案為：45．14．（2020?武漢模擬）已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，點E在△ABC內(nèi)，且∠CAE+∠CBE＝90°（1）如圖1，當△ABC和△EFC均為等腰直角三角形時，連接BF，①求證：△CAE∽△CBF；②若BE＝2，AE＝4，求EF的長；（2）如圖2，當△ABC和△EFC均為一般直角三角形時，若ABBC=EFFC=k，BE＝1，AE＝3，【分析】（1）①先判斷出∠BCF＝∠ACE，再判斷出CEAC②先判斷出∠CBF＝∠CAE，進而判斷出∠EBF＝90°，再求出BF＝22，最后用勾股定理求解即可得出結論；（2）先判斷出∠BCF＝∠ACE，再判斷出CEAC=CFBC，進而判斷出△BCF∽△ACE，進而表示出BF=3k2+1，再表示出EF=4kk【解答】解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∴∠ECF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACE，∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∴CE=2CF，AC=2∴CECF∴CEAC∴△BCF∽△ACE；②由①知，△BCF∽△ACE，∴∠CBF＝∠CAE，AEBF∴BF=22AE=2∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，即：∠EBF＝90°，根據(jù)勾股定理得，EF=BE2（2）如圖（2），連接BF，在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC同理，tan∠ECF＝k，∴tan∠ACB＝tan∠ECF，∴∠ACB＝∠ECF，∴∠BCF＝∠ACE，在Rt△ABC中，設BC＝m，則AB＝km，根據(jù)勾股定理得，AC=AB2在Rt△CEF中，設CF＝n，則EF＝nk，同理，CE＝nk∴CFBC=n∴CFBC∵∠BCF＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴∠CBF＝∠CAE，∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，即：∠EBF＝90°，∵△BCF∽△ACE，∴AEBF∴BF=1k2∵CE＝4，∴nk2∴n=4∴EF=4k在Rt△EBF中，根據(jù)勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，∴12+（3k2+1）2＝（4k∴k=63或k即：k的值為6315．（2020?豐臺區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F(xiàn)是AC′的中點，連接DF．（1）求∠FDP的度數(shù)；（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關系，并證明；（3）連接AC，若正方形的邊長為2，請直接寫出△ACC′的面積最大值．【分析】（1）證明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'=12∠（2）作輔助線，構建全等三角形，證明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，從而得△PAP'是等腰直角三角形，可得結論；（3）先作高線C'G，確定△ACC′的面積中底邊AC為定值2，根據(jù)高的大小確定面積的大小，當C'在BD上時，C'G最大，其△ACC′的面積最大，并求此時的面積．【解答】解：（1）由對稱得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中點，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'=12∠（2）結論：BP+DP=2AP理由是：如圖，作AP'⊥AP交PD的延長線于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA=DA∠BAP=∠DAP'∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'=2AP（3）如圖，過C'作C'G⊥AC于G，則S△AC'C=12AC?C'Rt△ABC中，AB＝BC=2∴AC=(2)當C'G最大值，△AC'C的面積最大，連接BD，交AC于O，當C'在BD上時，C'G最大，此時G與O重合，∵CD＝C'D=2，OD=1∴C'G=2∴S△AC'C=12AC?C'G16．（2020?朝陽區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD＝β，點E，F(xiàn)是四邊形ABCD內(nèi)的兩個點，滿足∠EAF=12α，∠ECF=12β，連接BE，（1）如圖1，當α＝β時，判斷∠ABE和∠ADF之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，當α≠β時，用等式表示線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系（直接寫出即可）．【分析】（1）結論：∠ABE+∠ADF＝90°．將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△CDT，連接FM，TF．證明M，D，T共線，再證明FM＝FT．DM＝DT即可解決問題．（2）結論：EF2＝BE2+DF2．將△ABE繞點A逆時針旋轉α度得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉β度得到△CDT，連接FM，TF．證明∠FDM＝90°，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）結論：∠ABE+∠ADF＝90°．理由：∵AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM，將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△CDT，連接FM，TF．∵∠EAF=1∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠FAM＝∠FAE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可證：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共線，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD