考點16 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)含解析

考點16利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)考點16利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類考點一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性（一）導(dǎo)主一次型（二）導(dǎo)主二次型（1）可因式分解型（2）不可因式分解型（三）導(dǎo)主指數(shù)型（四）導(dǎo)主對數(shù)型考點三比較大小考點四解抽象不等式考點五已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（一）在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）（二）在區(qū)間上單調(diào)（三）單調(diào)區(qū)間是（四）存在單調(diào)區(qū)間（五）在區(qū)間上不單調(diào)（六）由單調(diào)區(qū)間個數(shù)求參數(shù)（七）綜合應(yīng)用考點六函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用（一）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)單調(diào)性（二）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象（三）由原函數(shù)圖象或解析式確定導(dǎo)函數(shù)圖象1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各個區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.注：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步，確定函數(shù)f(x)的定義域.第二步，求f′(x).第三步，解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.注意函數(shù)間斷點.3.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)注意“臨界點”和“間斷點”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的間斷點．(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開．4.討論單調(diào)區(qū)間問題（1）不含參數(shù)單調(diào)性討論①求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；②變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；③求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；④未得結(jié)論斷正負(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負)；⑤正負未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；⑥一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．⑦借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段)；(2)含參數(shù)單調(diào)性討論①求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；②變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；③恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；④根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；⑤導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；5.函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)注:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：（口訣：導(dǎo)函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減）在導(dǎo)函數(shù)圖象中，在x軸上方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；在x軸下方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間．（1）單調(diào)遞增①若，其圖象如右所示——圖象上升且越來越陡②若，其圖象如右所示——圖象上升且越來越平緩（2）單調(diào)遞減①若，其圖象如右所示——圖象下降且越來越平緩②若，其圖象如右所示——圖象下降且越來陡函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大．6.利用導(dǎo)數(shù)進行圖象識別有以下三個結(jié)論：①在導(dǎo)函數(shù)圖象中，在x軸上方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，在x軸下方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；②在導(dǎo)函數(shù)圖象中，圖象由x軸上方到x軸下方與x軸的交點為極大值點；由x軸下方到x軸上方與x軸的交點為極小值點；③導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點不一定是極值點，交點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值可能恒正或者恒負，若交點是極值點，交點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值必須異號.7.利用導(dǎo)數(shù)比較大小有時需要利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小的問題；②比較大小時，需關(guān)注函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、對稱性，進而把自變量轉(zhuǎn)移到同一區(qū)間，再利用單調(diào)性比較即可.8.構(gòu)造函數(shù)解抽象不等式解函數(shù)不等式關(guān)鍵是研究函數(shù)單調(diào)性，通過單調(diào)性將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等關(guān)系，要注意將常數(shù)y0寫成f(x0)的形式.(1)對于不等式f′(x)>k(k≠0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－kx＋b.(2)對于不等式xf′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)；對于不等式xf′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)(x≠0).(3)對于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xnf(x)；對于不等式xf′(x)－nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,xn)(x≠0).(4)對于不等式f′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)；對于不等式f′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,ex).(5)對于不等式f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或f(x)＋f′(x)tanx>0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)sinx；對于不等式f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或f′(x)－f(x)tanx>0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)cosx.9.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.注:①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.10.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.11.利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意12.恒成立問題的重要思路：①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.13.用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的一般步驟(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)證明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．這是因為F(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.考點一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）1．（2023·云南·校聯(lián)考二模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．2．【多選】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．有對稱軸C．有對稱中心 D．在上單調(diào)遞增3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)（）A．嚴格增函數(shù)B．在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)C．嚴格減函數(shù)D．在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)為增函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性（一）導(dǎo)主一次型5．（2023春·河南鄭州·高三鄭州市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)對任意的，恒成立，求的取值范圍.（二）導(dǎo)主二次型（1）可因式分解型7．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.8．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個零點，求的取值范圍.9．（2023春·廣東佛山·高三華南師大附中南海實驗高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（其中）．(1)討論的單調(diào)性；(2)對于任意，都有成立，求a的取值范圍．（2）不可因式分解型10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若過點可作曲線的兩條切線，求實數(shù)的取值范圍.11．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍.12．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)記的零點為，的極小值點為，當(dāng)時，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.（三）導(dǎo)主指數(shù)型13．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若恰有兩個不同的零點，，且，證明：．14．（2023春·天津南開·高三南開中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，討論其單調(diào)區(qū)間與極值.15．（2023春·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，討論函數(shù)的極值.（四）導(dǎo)主對數(shù)型16．（2023秋·河南·高三洛陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．17．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：存在唯一的極小值點，且.考點三比較大小18．（2023·河南·校聯(lián)考三模）現(xiàn)有下列四個不等式：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④19．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則下列關(guān)系式恒成立的為（

）A． B． C． D．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．23．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．24．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，，，若，，則（

）．A． B．C． D．考點四解抽象不等式25．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).若.則的取值范圍是__________.26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．27．【多選】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，若且對任意，不等式成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．228．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，滿足，，，當(dāng)時，，則不等式的解集為______．29．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且滿足時，．若不等式在上恒成立，則a的取值范圍是__________,30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則關(guān)于的不等式的解集是__________.考點五已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（一）在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件32．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．36．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知，函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則實數(shù)__________.37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則函數(shù)在的值域是（

）A． B． C． D．38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意的，，且，都有，則m的最小值是（

）A． B． C．1 D．（二）在區(qū)間上單調(diào)40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若f(x)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值是______.43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（

）A． B． C． D．（三）單調(diào)區(qū)間是44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實數(shù)的值．45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則（

）.A． B．C． D．（四）存在單調(diào)區(qū)間47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是_________．48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（五）在區(qū)間上不單調(diào)50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若在內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是______．51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對于任意，函數(shù)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)（六）由單調(diào)區(qū)間的個數(shù)求參數(shù)55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為A． B．C． D．56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．57．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍．（七）綜合應(yīng)用58．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎瘮?shù)(1)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.59．【多選】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若，其中，則（

）A． B．C． D．的取值范圍為60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，滿足，，若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍為_____________．考點六函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)單調(diào)性61．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上，是增函數(shù)B．當(dāng)時，取到極小值C．在區(qū)間上，是減函數(shù)D．在區(qū)間上，是增函數(shù)63．【多選】（2023春·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極小值點C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是64．【多選】（2023春·重慶巫溪·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上是單調(diào)遞增的B．在區(qū)間上是單調(diào)遞減的C．在區(qū)間上是單調(diào)遞減的D．在區(qū)間單調(diào)遞減的（二）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象65．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．66．（2023春·上海浦東新·高三上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個圖像中的（

）．A． B．C． D．69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（

）A． B．C． D．（三）由原函數(shù)圖象或解析式確定導(dǎo)函數(shù)圖象70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）B．C． D．71．（2023春·河北石家莊·高三石家莊市第二十五中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）

A． B．C． D．72．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______．考點16利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類考點一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性（一）導(dǎo)主一次型（二）導(dǎo)主二次型（1）可因式分解型（2）不可因式分解型（三）導(dǎo)主指數(shù)型（四）導(dǎo)主對數(shù)型考點三比較大小考點四解抽象不等式考點五已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（一）在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）（二）在區(qū)間上單調(diào)（三）單調(diào)區(qū)間是（四）存在單調(diào)區(qū)間（五）在區(qū)間上不單調(diào)（六）由單調(diào)區(qū)間個數(shù)求參數(shù)（七）綜合應(yīng)用考點六函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用（一）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)單調(diào)性（二）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象（三）由原函數(shù)圖象或解析式確定導(dǎo)函數(shù)圖象1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各個區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.注：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步，確定函數(shù)f(x)的定義域.第二步，求f′(x).第三步，解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.注意函數(shù)間斷點.3.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)注意“臨界點”和“間斷點”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的間斷點．(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開．4.討論單調(diào)區(qū)間問題（1）不含參數(shù)單調(diào)性討論①求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；②變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；③求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；④未得結(jié)論斷正負(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負)；⑤正負未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；⑥一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．⑦借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段)；(2)含參數(shù)單調(diào)性討論①求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；②變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；③恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；④根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；⑤導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；5.函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)注:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：（口訣：導(dǎo)函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減）在導(dǎo)函數(shù)圖象中，在x軸上方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；在x軸下方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間．（1）單調(diào)遞增①若，其圖象如右所示——圖象上升且越來越陡②若，其圖象如右所示——圖象上升且越來越平緩（2）單調(diào)遞減①若，其圖象如右所示——圖象下降且越來越平緩②若，其圖象如右所示——圖象下降且越來陡函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大．6.利用導(dǎo)數(shù)進行圖象識別有以下三個結(jié)論：①在導(dǎo)函數(shù)圖象中，在x軸上方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，在x軸下方區(qū)域?qū)?yīng)原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；②在導(dǎo)函數(shù)圖象中，圖象由x軸上方到x軸下方與x軸的交點為極大值點；由x軸下方到x軸上方與x軸的交點為極小值點；③導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點不一定是極值點，交點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值可能恒正或者恒負，若交點是極值點，交點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值必須異號.7.利用導(dǎo)數(shù)比較大小有時需要利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小的問題；②比較大小時，需關(guān)注函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、對稱性，進而把自變量轉(zhuǎn)移到同一區(qū)間，再利用單調(diào)性比較即可.8.構(gòu)造函數(shù)解抽象不等式解函數(shù)不等式關(guān)鍵是研究函數(shù)單調(diào)性，通過單調(diào)性將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等關(guān)系，要注意將常數(shù)y0寫成f(x0)的形式.(1)對于不等式f′(x)>k(k≠0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－kx＋b.(2)對于不等式xf′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)；對于不等式xf′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)(x≠0).(3)對于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xnf(x)；對于不等式xf′(x)－nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,xn)(x≠0).(4)對于不等式f′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)；對于不等式f′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,ex).(5)對于不等式f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或f(x)＋f′(x)tanx>0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)sinx；對于不等式f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或f′(x)－f(x)tanx>0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)cosx.9.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.注:①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.10.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.11.利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意12.恒成立問題的重要思路：①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.13.用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的一般步驟(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)證明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．這是因為F(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.考點一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）1．（2023·云南·校聯(lián)考二模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】/【分析】通過二次求導(dǎo)，證明當(dāng)時，，即得解.【詳解】由題得函數(shù)定義域為，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為（或）．故答案為：2．【多選】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．有對稱軸C．有對稱中心 D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷判斷A，證明，由此判斷C，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷D，結(jié)合單調(diào)性和周期的性質(zhì)作出函數(shù)在上的圖象，由此判斷B.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，A正確；因為所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以為函數(shù)的中心對稱，C正確；當(dāng)時，，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確；由可得，當(dāng)時，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，作出函數(shù)在的大致圖象可得：結(jié)合函數(shù)是一個周期為的函數(shù)可得函數(shù)沒有對稱軸，B錯誤.故選：ACD.3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)（）A．嚴格增函數(shù)B．在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)C．嚴格減函數(shù)D．在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)【答案】D【分析】求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴格增減函數(shù)的定義即可得到選項.【詳解】解：已知，，則，令，即，解得，當(dāng)時，，所以在上是嚴格減函數(shù)，當(dāng)時，，所以在上是嚴格增函數(shù)，故選：D.【點睛】導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)為增函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______【答案】【分析】由恒成立可得，對求導(dǎo)，根據(jù)及基本不等式即可求解.【詳解】由題可得恒成立，又，所以．對于函數(shù)，其定義域為，有，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由得，則，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為:.考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性（一）導(dǎo)主一次型5．（2023春·河南鄭州·高三鄭州市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)可得，分和進行討論即可得解；（2）根據(jù)題意參變分離可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時，顯然，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得；令，；即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意得恒成立，等價于恒成立，令，即時成立．則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，那么在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增減，所以，所以．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負可確定單調(diào)性；（2）采用參變分離的方式可得，將不等式右側(cè)變形后，可令，將問題轉(zhuǎn)化為求解；令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理可說明等號能夠成立，采用放縮法可得，由此可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：定義域為，；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得：；當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由恒成立得：，令，令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，即，等號可以成立，，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是采用參變分離的方式，根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)為指對混合函數(shù)的特征，采用放縮法來對函數(shù)進行變形，從而求得最值.（二）導(dǎo)主二次型（1）可因式分解型7．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)存在，【分析】（1）由題意可得，按，和分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負即可得的單調(diào)性；（2）利用（1）中單調(diào)性，按和分情況討論即可求解.【詳解】（1）由題意可得，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令解得或，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，令解得或，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，與矛盾，舍去，綜上可知存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.8．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個零點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，從而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出所求區(qū)間．（2）由條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理可求的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）因為有3個零點，所以，又的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，解得，此時，，故函數(shù)在區(qū)間上各有一個零點，即函數(shù)在區(qū)間上各有一個零點，滿足要求；所以的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．9．（2023春·廣東佛山·高三華南師大附中南海實驗高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（其中）．(1)討論的單調(diào)性；(2)對于任意，都有成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求出，再討論，，和時導(dǎo)數(shù)的正負及函數(shù)的單調(diào)性；（2）由對于任意，都有成立等價于對于任意，，構(gòu)造，其中，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）因為函數(shù)，其中，所以，令，得或，當(dāng)時，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）對于任意，都有成立對于任意，，即對于任意，對于任意，，設(shè)，其中，則，因為，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即．（2）不可因式分解型10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若過點可作曲線的兩條切線，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)判別式，討論的取值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，化簡后轉(zhuǎn)化為方程有2個實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍.【詳解】（1），..當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，，①當(dāng)時，增減增②當(dāng)時，減增綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和遞增，在遞減；當(dāng)時，在遞增，在遞減.（2）設(shè)切點為，則切線方程為，又過點，則，即，.①依題意若有兩條切線，則方程①有兩個不同實數(shù)根，設(shè)，，易知在上遞增，在上遞減，.且時，時.，.11．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為，；減區(qū)間為.(2)【分析】（1）求出，的符號由二次函數(shù)的函數(shù)值的符號決定，分二次函數(shù)有零點和無零點討論，有零點再分零點是否大于零討論，得到的單調(diào)區(qū)間；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出最小值即可求解.【詳解】（1）由得.令，則當(dāng)時，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，，所以，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令即，又，得或，令即，得，所以的增區(qū)間為，；減區(qū)間為；綜上：當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為，；減區(qū)間為.（2）由題意，，即，所以在上恒成立，故，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，且，所以存在，則，故當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，于是，設(shè)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且，又，故，于是，所以，所以，即a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)中的最值問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是多次構(gòu)造函數(shù)，進而可求得結(jié)果.12．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)記的零點為，的極小值點為，當(dāng)時，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)，理由見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，得出的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極小值點，得到，又，故，從而證明結(jié)論.【詳解】（1）由，①若a0，則在上單調(diào)遞增;②若a<0，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）有，證明：由，設(shè)則在(0，+)上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.又，存在，使在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為的極小值點，故.由，，又，由（1）知a>0時，在上單調(diào)遞增，.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二小問中，利用二階求導(dǎo)求出的單調(diào)性是關(guān)鍵，從而可得存在，使得是的極小值點，得從而與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來.本題是綜合題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于較難題.（三）導(dǎo)主指數(shù)型13．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若恰有兩個不同的零點，，且，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分兩種情況：若，若，討論的單調(diào)性，進而可得答案．（2）由（1）可知若有兩個不同的零點，則，且極大值，，即，當(dāng)時，又，且，兩式相減可得，不妨設(shè)，則且，，進而可得，要證，即證，即可得出答案．【詳解】（1）解：，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，下面判斷與的大小關(guān)系，令，則，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以當(dāng)且時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)且時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由可知若有兩個不同的零點，則，且極大值，，由不等式可得，所以，所以當(dāng)時，恒成立，又，且，兩式相減可得，不妨設(shè)，則且，所以，即，所以，，設(shè)，，所以，即，所以，由可得，要證，需要證，只要證，即，即，即證，由可證，所以即證．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是：由時，函數(shù)有兩個零點，由，且，兩式相減可得，設(shè)，，構(gòu)造，進而得到，將，轉(zhuǎn)化為證明而得解.14．（2023春·天津南開·高三南開中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，討論其單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】答案見詳解【分析】求導(dǎo)，討論的正負以及與0的大小，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值.【詳解】由題意可得：，（i）當(dāng)時，則，令，解得；令，解得；可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，無極小值；（ⅱ）當(dāng)時，令，解得或，①當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；②當(dāng)，即時，則，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；③當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，無極小值；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值.15．（2023春·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，討論函數(shù)的極值.【答案】答案見解析【分析】求導(dǎo)，分類討論判斷單調(diào)性，進而確定極值.【詳解】由題意可得：的定義域為，，令，得，，①當(dāng)，即時，恒成立，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值；②當(dāng)，即時，當(dāng)和時，；當(dāng)時，；則函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值，當(dāng)時，函數(shù)有極小值；③當(dāng)，即時，當(dāng)和時，；當(dāng)時，；此時函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值；綜上所述：當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，有極大值，極小值；當(dāng)時，有極小值，極大值.（四）導(dǎo)主對數(shù)型16．（2023秋·河南·高三洛陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，分與兩種情況，求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）先進行必要性探究，得到，再進行充分性證明，令，求導(dǎo)后得到其最小值為，故只需證明在上恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到單調(diào)性，求出，即，再結(jié)合，證明出結(jié)論.【詳解】（1）定義域為，，當(dāng)時，，故恒成立，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解：由題意得在上恒成立，即，令，故，接下來進行充分性證明：令，則，令，解得：，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故只需證明恒成立，當(dāng)時，令，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故，而由可知，故恒成立，所以，實數(shù)的取值范圍是【點睛】數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化要注意等價性，也就是充分性與必要性兼?zhèn)?，有時在探求參數(shù)的取值范圍時，為了尋找解題突破口，從滿足題意得自變量范圍內(nèi)選擇一個數(shù)，代入求得參數(shù)的取值范圍，從而得到使得問題成立的一個必要條件，這個范圍可能恰好就是所求范圍，也可能比所求的范圍大，需要驗證其充分性，這就是所謂的必要性探路和充分性證明，對于特殊值的選取策略一般是某個常數(shù)，實際上時切線的橫坐標(biāo)，端點值或極值點等.17．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：存在唯一的極小值點，且.【答案】(1)在單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，代入可得，即可求證；（2）由零點存在定理可得存在唯一，使得，通過導(dǎo)數(shù)易得存在唯一的極小值點，由可設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明【詳解】（1）由可得，設(shè)，，因為，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，于是恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，，，則存在唯一，使得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故在處取得極小值.因為，即，又，則，，設(shè)，則，因為，所以，所以，則單調(diào)遞增，又，，所以.【點睛】方法點睛：證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.考點三比較大小18．（2023·河南·校聯(lián)考三模）現(xiàn)有下列四個不等式：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，確定，得到①錯誤，確定，再構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】令，則，．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以，故①錯誤．從而，所以．綜上所述：．令，，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，從而可得，，所以在上單調(diào)遞減，所以，化簡可得，故③正確．因為當(dāng)時，，所以，即，所以當(dāng)時，．令，則，即；令，，故②正確，④錯誤．故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了比較數(shù)的大小關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)進行構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推出a與1的大小關(guān)系，同理判斷b與1的關(guān)系，判斷的大小范圍時采用分析的方法，結(jié)合的特點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷其范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得：,∴在上單調(diào)遞減，所以，A錯誤；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故，僅當(dāng)時取等號，即，則時，，即，所以，D錯誤；由，下面證明，，即證,令，即證：，即，構(gòu)造函數(shù)，即證，由，所以在上單調(diào)遞減，則，即證，令，，即在上單調(diào)遞減，故，即成立，故成立，所以，故選：B【點睛】難點點睛：本題比較大小，要明確數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，確定其中的變量，進而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用單調(diào)性進行大小比較，難點是本題解答時要選擇恰當(dāng)?shù)淖兞?，連續(xù)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，進行解答.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則下列關(guān)系式恒成立的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，分類討論得到正確選項.【詳解】構(gòu)造，，則，當(dāng)時，，，所以在單調(diào)遞增，因為，當(dāng)，時，則,所以所以單調(diào)遞增，所以;當(dāng)，時,所以所以,單調(diào)遞減，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛，構(gòu)造函數(shù)，本題中構(gòu)造進行求解，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究的奇偶性和單調(diào)性，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，則，，．因為，所以．當(dāng)時，因為，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以．要比較和的大小關(guān)系，即比較和的大小關(guān)系，即比較和的大小關(guān)系，其中，，所以，所以，所以．所以.的另解：先證明，不妨設(shè)，即證，即證，其中，即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，，即成立，也即成立.所以，即.故選：A【點睛】比較實數(shù)的大小關(guān)系有很多方法，如差比較法、利用函數(shù)的單調(diào)性的方法、利用分段法、利用導(dǎo)數(shù)的方法.其中利用導(dǎo)數(shù)來比較大小，可以先根據(jù)要比較的數(shù)的結(jié)構(gòu)進行構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，由此來得出大小關(guān)系.22．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，進而可得出.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值1即可得出，即可得出答案.【詳解】令，則，令，則恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)時，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，，所以，即，，即，即，所以.令，則，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，且所以存在，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，又，所以；綜上可得，.故選：A.23．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性分析判斷.【詳解】因為，可得函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，則，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又因為，且，所以，即.故選：D.24．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，，，若，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)選項中不等式特征構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性推出，再結(jié)合不等式性質(zhì)即可推出答案.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，因為，故，即，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，因為，故，即，由于，，故，則，即，所以A錯誤，B正確；由，，無法確定還是，C，D錯誤，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)各選項中不等式特征，能夠構(gòu)造函數(shù)以及，繼而判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解決問題.考點四解抽象不等式25．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).若.則的取值范圍是__________.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因為函數(shù)定義域為，，，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由0，可得，則，解得，即的取值范圍是.故答案為：.26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出，由已知可得出，可求出的表達式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，再由可得出，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，整理可得，解得.故選：B.27．【多選】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，若且對任意，不等式成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】由題意可得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，由，解不等式即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，則定義域為，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則有，即，所以，由，可得，根據(jù)選項可知，實數(shù)a的取值可以是-1和0.故選：AB.28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，滿足，，，當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】令，由及可得，，從而得關(guān)于對稱，再令，則原不等式等價于，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞增，再由得關(guān)于對稱，從而得在上單調(diào)遞增且有，從而得答案.【詳解】解：令，因為，所以，所以（為常數(shù)），又因為，所以，所以＝0，即，則函數(shù)關(guān)于對稱，令，則原不等式等價于，當(dāng)時，因為，則，此時單調(diào)遞增．因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，則函數(shù)在時單調(diào)遞增，又因為，則，，所以的解集為，即原不等式的解集為．故答案為：．【點睛】思路點睛：對于解抽象函數(shù)(可導(dǎo))的不等式的試題，要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性再結(jié)合函數(shù)的對稱性(周期性)求解即可.29．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且滿足時，．若不等式在上恒成立，則a的取值范圍是__________,【答案】【分析】構(gòu)造，得到其奇偶性和單調(diào)性，對不等式變形得到，從而得到，平方后由一次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，求出a的取值范圍.【詳解】令，則，故為R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．等價于，即在上恒成立．所以，平方后化簡得到．由一次函數(shù)性質(zhì)可得，解得，即，故a的取值范圍是．故答案為：.【點睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則關(guān)于的不等式的解集是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得不等式的解集為，再根據(jù)二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系解得，，再代入因式分解求解不等式即可【詳解】，的單調(diào)遞減區(qū)間是，則不等式的解集為，所以是的兩根，故，，所以，，.令，得，即，得；令，得，即，得；所以不等式的解集為.故答案為：考點五已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（一）在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】求得在上單調(diào)遞增的充要條件即可判斷.【詳解】由題若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即，故“”是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件故選:.32．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得對恒成立，列出不等式組，解之即可求解.【詳解】依題意得對恒成立，即對恒成立．因為y＝ax＋a＋1的圖象為直線，所以，解得．故選：B.33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得在上恒成立，構(gòu)建，結(jié)合定點分析運算.【詳解】因為，則，由題意可得在上恒成立，構(gòu)建，則，注意到，則，解得，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，若，因為，則，可得；若，因為，則，可得；綜上所述：當(dāng)時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，符合題意；故實數(shù)m的取值范圍為.故選：D.【點睛】方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分和兩種情況討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上遞減，在上遞增，當(dāng)時，為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，此時在上遞增，則恒成立，當(dāng)時，為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，無解，綜上所述，的取值范圍是.故選：A.35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立，分離參數(shù)后由正切函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】由題意，在上恒成立，即在上恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以在時，，所以.故選：B36．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知，函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則實數(shù)__________.【答案】2【分析】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系結(jié)合條件可得對任意的恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和取最大值的條件，由此可得的值.【詳解】因為，所以，由已知函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，所以對任意的恒成立.設(shè)，則，由知，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在時取得最大值，又所以對任意的恒成立，即的最大值為，所以，解得.故答案為：237．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則函數(shù)在的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得，從而求得實數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求出在，的單調(diào)性，即可求得值域．【詳解】解：，∵在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，即，，，，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，在，，上單調(diào)遞增，符合題意，又，（1），（2），函數(shù)在，的值域是，．故選：A．38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用導(dǎo)數(shù)使得函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增；同時也要根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，保證在區(qū)間上單調(diào)遞增；最后再保證在分割點處，使得的函數(shù)值小于等于的函數(shù)值即可.【詳解】由題知，，即；由得只需保證在上恒成立，則在上恒成立，即；又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需滿足，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】此題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，三次函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題等，涉及導(dǎo)數(shù)的計算，屬于較難題.39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意的，，且，都有，則m的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】已知不等式變形為，引入函數(shù)，則其為減函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出的減區(qū)間后可的最小值．【詳解】因為，所以由，可得，，即．所以在上是減函數(shù)，，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，即的減區(qū)間是，所以由題意的最小值是．故選：A．（二）在區(qū)間上單調(diào)40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若f(x)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在R上單調(diào)，可知恒成立或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值即可得解.【詳解】求導(dǎo)，令，由在R上單調(diào)，可知恒成立或恒成立，分類討論：（1）當(dāng)時，，令，得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；，即恒成立，符合題意；（2）當(dāng)時，，令，得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；，即恒成立，符合題意；（3）當(dāng)時，令，得或，研究內(nèi)的情況即可：當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，且滿足；當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，且滿足，且同理，且又，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故不符合；所以a的取值范圍是故選：A【點睛】方法點睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由單調(diào)性得出需Δ≤0即可求解得選項.【詳解】若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，只需在上恒成立，即，∴．故的取值范圍為．故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，關(guān)鍵在于運用其導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值是______.【答案】3【分析】首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)a的最大值即可.【詳解】由題意可得：，由題意導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值要么恒非負，要么恒非正，很明顯函數(shù)值不可能恒非負，故，即在區(qū)間上恒成立，據(jù)此可得：，即的最大值是3.故答案為3．【點睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題的處理方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)單調(diào)性可知恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可確定，由此化簡所求式子為；利用，配湊出符合對號函數(shù)的形式，利用對號函數(shù)求得最小值.【詳解】在上單調(diào)遞增，恒成立，，，，，，令，設(shè)，則，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），，即的最小值為.故選：.【點睛】本題考查利用對號函數(shù)求解最值的問題，涉及到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍、分式型函數(shù)最值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的關(guān)系，進而構(gòu)造出符合對號函數(shù)特點的函數(shù).（三）單調(diào)區(qū)間是44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實數(shù)的值．【答案】【分析】根據(jù)單調(diào)遞減區(qū)間區(qū)間可得極值點，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得參數(shù)的值.【詳解】的單調(diào)遞減區(qū)間為,，是的兩個根，，即.45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合韋達定理得出的值.【詳解】函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)令，即，∵，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴0，4是方程的兩根，∴，，∴故選：B.46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，得到和1是方程的兩個根，代入解方程即可.【詳解】由得，又的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以和1是方程的兩個根，代入得.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B.（四）存在單調(diào)區(qū)間47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，而求出最小值，從而求出a的范圍即可．【詳解】，在內(nèi)成立，所以，由于，所以，，所以．故答案為:48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先計算出,由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，且其導(dǎo)數(shù)為．由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解，即有解．因為函數(shù)的定義域為，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是．故選:B．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通分后，對分子令，由二次方程知識說明其在上有兩個不等實根，由韋達定理把用參數(shù)表示，根據(jù)已知范圍可得結(jié)論；（2）不等式變形后引入函數(shù)，求出函數(shù)，然后對再多次求導(dǎo)后，分類討論確定導(dǎo)數(shù)值的正負，得函數(shù)的單調(diào)性，從而得不等式是否恒成立．【詳解】（1），令，∵，，∴有兩個不等實根（不妨設(shè)），而，，因此，所以在上的解集為，即的單調(diào)減區(qū)間是，由韋達定理得，，，∵，∴；（2）由題意在上恒成立，令，，令，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，成立，所以，當(dāng)，即時，在上有根，設(shè)根為，在上，，在上，所以在上遞增，在上遞減且，時，，因此在上有解，設(shè)解為，在上，，單調(diào)遞增，而，因此在上，，從而在上不恒成立，綜上所述，．【點睛】難點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究不等式恒成立問題，方法是不等式變形為（其中引入新函數(shù)），求出導(dǎo)函數(shù)，難點是需要對多次求導(dǎo)后，才能通過分類討論確定導(dǎo)數(shù)值的正負，相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性．（五）在區(qū)間上不單調(diào)50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若在內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后參數(shù)分離，先求出函數(shù)在內(nèi)單調(diào)時的范圍，從而可得不單調(diào)時的范圍.【詳解】由，得，當(dāng)在內(nèi)為減函數(shù)時，則在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，當(dāng)在內(nèi)為增函數(shù)時，則在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，令，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)的值域為，所以或，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)時，a的取值范圍是，故在上不單調(diào)時，實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對于任意，函數(shù)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【分析】求導(dǎo)，先求解在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況討論，然后轉(zhuǎn)化成恒成立問題，分離參數(shù)求解最值，進而可得不單調(diào)時m的取值范圍.【詳解】，若存在，在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則①在上恒成立，或②在上恒成立．由①得在上恒成立，由于，所以，即在上恒成立，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，取最大值，則，又存在，所以，當(dāng)時，取到最小值-5，所以，即；由②得在上恒成立，則，即，所以存在，函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為或，因此使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為.故答案為：52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為在上不單調(diào)，故利用在上必有零點，利用，構(gòu)造函數(shù)，通過的范圍，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，故在上有零點，令，令，得，令，則，由，得，單調(diào)遞增，又由，得，故，所以，的取值范圍故選：A53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案