浙江省杭州市精誠聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

Page23高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：A2.圓的圓心和半徑分別為（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，4【答案】C【解析】【分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，干脆推斷即可.【詳解】由題可知：圓即所以該圓的圓心為，半徑為故選：C3.在長方體中，為棱的中點(diǎn).若，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量線性運(yùn)算法則，結(jié)合題意即可求解.【詳解】因?yàn)殚L方體中，為棱的中點(diǎn)，所以，故選：A.4.若過點(diǎn)的直線與以，為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出圖形分析，結(jié)合直線的傾斜角以及斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動時，則直線的傾斜角越來越大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線的傾斜角的最小值為，由直線傾斜角與斜率的關(guān)系可知，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線的傾斜角的最大值為，由直線傾斜角與斜率的關(guān)系可知，所以，又留意到當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動時，是連續(xù)變更的，因此滿意題意的直線的傾斜角取值范圍為.故選：D.5.已知直線：，：，若，則（）A.1 B.－1或－3 C.1或3 D.3【答案】D【解析】【分析】利用兩直線平行一般式方程的系數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】，，，當(dāng)，即時，，此時與不平行，當(dāng)，即時，有，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意..故選：D.6.已知在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上運(yùn)動，若異面直線，所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，表達(dá)出，換元后求出的最大值.【詳解】以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，則，所以．令，則，因?yàn)椋裕?dāng)時，；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以?dāng)，即時，取得最大值，最大值為．故選：B7.已知點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)B，則點(diǎn)B到點(diǎn)距離的最大值為（）．A. B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷直線l恒過點(diǎn)，依據(jù)題意知點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即可,【詳解】將直線l整理得到，于是，解得，所以直線l恒過點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)B，所以，則點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑大小為，又，所以點(diǎn)B到點(diǎn)距離的最大值為，故選：C．8.已知圓O：和點(diǎn)，點(diǎn)，M為圓O上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出幫助線，由三角形相像得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，利用兩點(diǎn)間距離公式求出最小值.【詳解】取，連接，則，又，所以，又，故∽，故，從而，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯得或不選的得0分.9.已知直線：，下列說法正確的是（）A.若，則直線的傾斜角為 B.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則C.，原點(diǎn)到直線的距離為5 D.直線與直線垂直，則【答案】AD【解析】【分析】求出直線方程，即可求出斜率與傾斜角，即可推斷A，分直線經(jīng)過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)，即可推斷B，求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，即可推斷C，由兩直線垂直斜率之積為，求出直線的斜率，即可推斷D.【詳解】對于A，若，直線的方程為，即，則斜率為，所以其傾斜角，故A正確；對于B，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，即，解得，則直線方程為，在兩坐標(biāo)軸上截距相等，都為，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，則，即，若直線的在兩坐標(biāo)軸的截距相等，必有，解可得，符合題意，故或，即B錯誤；對于C，直線，即，令，解得，直線恒過點(diǎn)，設(shè)，則，所以原點(diǎn)到直線的距離，不存在滿意條件，故C錯誤；對于D，若直線與直線垂直，則直線的斜率，則有，解可得，故D正確；故選：AD．10.如圖，正方體的棱長為1，正方形的中心為，棱，的中點(diǎn)分別為，，則（）A.B.C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量逐項(xiàng)推斷；【詳解】故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，選項(xiàng)A正確；，所以依據(jù)三角函數(shù)兩角正余弦關(guān)系解得：，選項(xiàng)B正確；，選項(xiàng)C錯誤；點(diǎn)到直線的距離為：，而所以選項(xiàng)D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量解題是本題的思維動身點(diǎn)和突破點(diǎn)；11.已知曲線的方程為，則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線圍成的圖形面積為C.若點(diǎn)在曲線上，則D.若圓能覆蓋曲線，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)給定條件逐一分析每一個選項(xiàng)，推理，計算推斷即可．【詳解】曲線上隨意點(diǎn)有：，該點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)有，即由線上隨意點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在曲線上，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，點(diǎn)也都在曲線上，則曲線關(guān)于軸，軸對稱，當(dāng)，時，曲線的方程為，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在直線上方的半圓（含端點(diǎn)），因此，曲線是四個頂點(diǎn)為，，，的正方形各邊為直徑向正方形外作半圓圍成，如圖，所以曲線圍成的圖形的面積是，故選項(xiàng)B正確；點(diǎn)，在曲線上，則，，，，解得，故選項(xiàng)C正確；曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，圓能覆蓋曲線，則，故選項(xiàng)D不正確．故選：ABC．12.在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿意，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，周長為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，存在兩點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時，存在兩點(diǎn)P，使得平面【答案】BC【解析】【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對于B，將點(diǎn)的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路途，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故此時點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿意，故C正確；對于D，當(dāng)時，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時與重合，故D錯誤．故選：BC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知向量，，則在上的投影向量為______.（用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及投影向量的定義可求得在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，，則，所以，，所以，在上的投影向量為.故答案為：.14.已知直線：的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在y軸上的截距為，則直線的一般式方程為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可得，利用倍角公式可求直線的斜率，依據(jù)斜截式求直線的方程并轉(zhuǎn)化為一般式.【詳解】由題意可知：直線的斜率為，即，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.故答案為：.15.以三角形邊，，為邊向形外作正三角形，，，則，，三線共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為的正等角中心．當(dāng)?shù)拿總€內(nèi)角都小于120o時，正等角中心點(diǎn)P滿意以下性質(zhì)：（1）；（2）正等角中心是到該三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)（也即費(fèi)馬點(diǎn)）．由以上性質(zhì)得的最小值為_________【答案】【解析】【分析】由題可知，所要求的代數(shù)式恰好表示平面直角坐標(biāo)系中三個距離之和，所以首先要把代數(shù)式中三個距離的對應(yīng)的點(diǎn)找到，再依據(jù)題干所述找到相應(yīng)的費(fèi)馬點(diǎn)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：依據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，令點(diǎn)，，，則表示坐標(biāo)系中一點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和，因?yàn)槭堑妊切?，，所以點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，所以與軸重合，令的費(fèi)馬點(diǎn)為，則在上，則，因?yàn)槭卿J角三角形，由性質(zhì)（1）得，所以，所以，所以，，到、、的距離分別為，，所以的最小值，即為費(fèi)馬點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)題給新定義的性質(zhì)解題，涉及三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離的應(yīng)用，理解新定義是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和計算實(shí)力.16.正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿意，動點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是__________________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面D1EF的一個法向量，結(jié)合線面平行的向量表示可得動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿意的條件，即可得解.【詳解】因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），因?yàn)椋訤是CC1四等分點(diǎn)（靠近C），所以F（02,1），所以，設(shè)平面D1EF的一個法向量為，則，即，令c＝2，則，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以，故，因?yàn)?≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，因?yàn)?，所以|MD|在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝時，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值為，當(dāng)x＝2時，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值為，所以|MD|的取值范圍是．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知三角形三頂點(diǎn)，求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）邊的中線所在的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)高與所在邊垂直關(guān)系求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）中點(diǎn)公式寫出中點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式寫出中線所在直線方程.【小問1詳解】邊所在直線的斜率為，邊上的高所在的直線的斜率為2.邊上的高所在的直線方程為，即.【小問2詳解】易知邊的中點(diǎn)為，則邊的中線過點(diǎn)和.所以邊的中線所在直線方程為，即.18.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)中位線的性質(zhì)得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；（2）利用空間向量的方法求線面角的正弦值即可.【小問1詳解】連接交與點(diǎn)，連接，∵為矩形，∴為的中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴∥平面.【小問2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.19.設(shè)直線l的方程為（1）求證：不論a為何值，直線l必過確定點(diǎn)P；（2）若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)，，當(dāng)面積為12時，求的周長；【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）將直線方程整理成關(guān)于的式子，再令其系數(shù)為0，解關(guān)于和的方程組，即可；（2）易知，，由，求出參數(shù)的值，從而可得的坐標(biāo)，即可求出答案.【小問1詳解】證明：將整理成，令，解得，，所以定點(diǎn)為，故不論為何值，直線必過確定點(diǎn)；【小問2詳解】解：由題意知，，由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，得，所以面積，解得，此時，，，所以的周長為，故當(dāng)面積為12時，的周長為.20.已知圓C過點(diǎn)，，且圓心C在直線l：上.（1）求圓C的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件確定圓心與半徑后求解，（2）轉(zhuǎn)化為求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，與圓心連線的直線方程．【小問1詳解】的斜率為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得圓心在的垂直平分線上，，解得，故，半徑為，圓C的方程為；【小問2詳解】如圖所示，過與直線垂直的直線方程為，由得，兩直線交于點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由題意得反射光線過圓心，直線的斜率為，故直線的方程為，即.21.如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，由中位線性質(zhì)知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，結(jié)合垂直關(guān)系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】連接，分別是線段的中點(diǎn)，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.22.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)的射影為D．（1）求證：平面BDE；（2）若點(diǎn)F為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦