浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性監(jiān)測試題

高二階段性監(jiān)測數(shù)學(xué)學(xué)科試卷(10月)考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為(

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)A. B. C. D.已知直線l的一個方向向量m=(2,-1,3)，且直線l過A(0,y,3)和B(-1,2,z)兩點，則y-z=(

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)A.0 B.1 C.32 D.3我國聞名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探討中，常用函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來探討函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是(

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)A.f(x)=1|x-1| B.f(x)=1|x|-1 C.已知直線x+2ay-1=0與直線(a-1)x+ay+1=0平行，則實數(shù)a的值是(

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)A.32 B.32或0 C.0 已知點A(3,2)，B(4,-3)，若直線l過點P(0,1)與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是(

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)A.[π3,5π6]如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱A.45°B.60°C.90°D.120°已知a>0，b>0，直線l1:x+(a-4)y+1=0，l2:2bx+y-2=0，且l1⊥l2A.2B.4C.45D.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿意A.455B.3C.2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）下列說法不正確的是(

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)A.y-y1x-x1=k不能表示過點Mx1,y1且斜率為k的直線方程

B.在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為xa+在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=1，AA'=λ(λ>1)，則異面直線A'B與B'C所成角的大小可能為(

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)A.π6 B.π4 C.π3設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是(

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)A.若a=1，b=2，則A可以是π3

B.若A=π6，a=1，c=3，則b=1

C.若△ABC是銳角三角形，a=2，b=3，則邊長c的取值范圍是(5,13)將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，如圖所示，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則．(

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)A.EF⊥BC

B.四面體A-BCD的表面積為4+23

C.四面體A-BCD的外接球的體積為823π

D.過EF且與BD三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，當(dāng)事務(wù)A，B相互獨立時，P(A∪B)＝___█_____.某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差為__█_____.直線的方程為：，若直線不經(jīng)過其次象限，則實數(shù)的取值范圍為__█_____.對于銳角α，若sinα-π12=3四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）(本小題10.0分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b=3(1)若C=5π6，△ABC的面積為32(2)若B=π3，求(本小題12.0分)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，底面(1)求點B1到直線A(2)求平面B1A1B(本小題12.0分)已知直線l1，l2相互垂直，且相交于點(1)若l1的斜率為2，l2與x軸的交點為Q，點Ma,b在線段PQ(2)若l1，l2分別與y軸相交于點A，B，求(本小題12.0分)如圖，已知以點A(－1，2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切.過點B(－2，0)的動直線l與圓A交于M，N兩點.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|＝2eq\r(19)時，求直線l的方程.(本小題12.0分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<16,0<φ<π2)在R上的最大值為2，f(0)=1．

(1)若點(π8,2)在f(x)的圖象上，求函數(shù)f(x)圖象的對稱中心；

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移π4ω個單位，再將所得的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的12(本小題12.0分)如圖，四棱錐P-ABCD中，?PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2，E(1)證明：CE/?/平面PAB；(2)求直線CE與平面PAB間的距離．高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試卷(10月)參考答案一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分．1-8DABACBDB二.多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.BCD；10.AB；11.CD；12.BCD7.解：因為l_1⊥l_2，所以2b+a-4=0，即a+1+2b=5，因為a>0，b>0，所以a+1>0，2b>0，所以(a+2)/(a+1)+1/2b=1/(a+1)+1/2b+1=(1/(a+1)+1/2b)×1/5(a+1+2b)+1=1/5(2+2b/(a+1)+(a+1)/2b)+1≥1/5(2+2√(2b/(a+1)?(a+1)/2b))+1=4/5+1=9/5，當(dāng)且僅當(dāng)a=3/2，b=5/4時，等號成立．故選D．8.解：如圖，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD_1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)P(a,b,0)(0?a?2,0?b?2)，則D_1(0,0,2)，E(1,2,0)，B_1(2,2,2)，所以?(B_1P)=(a-2,b-2,-2)，?(D_1E)=(1,2,-2)，∵B_1P⊥D_1E，∴?(B_1P)??(D_1E)=a-2+2(b-2)+4=0，∴a+2b-2=0，又由a=2-2b?0，得0?b?1，∴|?(B_1P)|=√((a-2)^2+(b-2)^2+4)=√(5b^2-4b+8)=√(5(b-2/5)^2+36/5)，當(dāng)b=0時，|?(B_1P)|=2√2，當(dāng)b=1時，|?(B_1P)|=3，當(dāng)b=2/5時，|?(B_1P)|=(6√5)/5，∴由二次函數(shù)性質(zhì)可得|?(B_1P)|∈[(6√5)/5,3]，∴線段B_1P的長度的最大值為3．故選B．10.解：如下圖所示，連接CD'，由長方體的性質(zhì)可知CD'//BA'，則∠B'CD'(或其補角)為異面直線A'B與B'C所成的角，則B'C=D'C=√(1+λ^2)，B'D'=√(1^2+1^2)=√2，cos∠B'CD'=(B'C^2+D'C^2-B'D'^2)/(2B'C?D'C)=λ^2/(1+λ^2)=1-1/(1+λ^2)，因為λ>1，所以1+λ^2>2，所以cos∠B'CD'∈(1/2,1)，所以∠B^'CD^'∈(0,π/3)．故選：AB．11.解：對于A，當(dāng)A=π/3時，依據(jù)正弦定理a/("sin"A)=b/("sin"B)，得到sinB=√3不成立，故A錯誤；對于B，由余弦定理"cos"A=(b^2+c^2-a^2)/2bc，得到b^2-3b+2=0，∴b=1或b=2，故B錯誤；對于C，a=2,b=3，要使?ABC是銳角三角形，需滿意3^2+2^2>c^2,2^2+c^2>3^2，∴5<c^2<13，∴√5<c<√13，故C正確；對于D，由正弦定理角化邊得：a^2≤b^2+c^2-bc，∴b^2+c^2-a^2≥bc，∴cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc≥1/2，∴0<A≤π/3，故D正確，故選CD．12.解：設(shè)O是BD的中點，則OA,OB,OC,OD兩兩相互垂直，二面角A-BD-C為直二面角，OC⊥BD?OC⊥平面ABD?OC⊥OF，對于A選項，連接BF,CF，BF=√(2^2+1^2)=√5,CF=√(〖(√2)〗^2+1^2)=√3，BC=2，所以三角形BFC不是等腰三角形，而E是BC的中點，所以EF與BC不垂直，A選項錯誤．對于B選項，AC=√(〖(√2)〗^2+〖(√2)〗^2)=2，所以三角形ABC和三角形ADC是等邊三角形，所以四面體A-BCD的表面積為2^2+2×√3/4×2^2=4+2√3，B選項正確．對于C選項，由于OA=OB=OC=OD，所以O(shè)是四面體A-BCD外接球的球心，外接球的半徑為√2，體積為4/3π×〖(√2)〗^3=(8√2)/3π，C選項正確．對于D選項，設(shè)G是CD中點，H是AB中點，畫出圖象如下圖所示，HF//BD,EG//BD?HF//EG，H,F,E,G四點共面．由于EG//BD,BD?平面EFGH，EG?平面EFGH，所以BD//平面EFGH，EG=1/2BD=√2,FG=1/2AC=1，由于OD⊥OA,OD⊥OC,OC∩OA=O，所以O(shè)D⊥平面AOC，所以O(shè)D⊥AC，而FG//AC，所以FG⊥EG，所以截面面積為EG?FG=√2×1=√2.D選項正確．故選：BCD．三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.；；15.；16.-24/25.在此處鍵入公式。16.解：由α為銳角，α-π/12∈(-π/12,5π/12)，且"sin"(α-π/12)=3/5，可得cos?(α-π/12)=4/5，那么cos?(α+π/6)=cos?[(α-π/12)+π/4]=cos?(α-π/12)cos?π/4-sin?(α-π/12)sin?π/4=√2/10，于是cos?(2α+π/3)=2cos^2(α+π/6)-1=2×(√2/10)^2-1=-24/25.故答案為：-24/25．四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解：(1)S_ΔABC=1/2absinC=1/2×a×√3×sin5π/6=√3/2，解得a=2，由余弦定理可得c=√(a^2+b^2-2abcosC)=√(2^2+(√3)^2-2×2×√3×cos5π/6)=√13；(2)由正弦定理得a/sinA=c/sinC=√3/(sinπ/3)=2，所以a=2sinA,c=2sinC，∵B=π/3，∴a=2sin(π/3+C)=√3cosC+sinC，∴2c-a=3sinC-√3cosC=2√3sin(C-π/6)，∵C∈(0,2π/3),C-π/6∈(-π/6,π/2)，∴sin(C-π/6)∈(-1/2,1)，∴2c-a的取值范圍是(-√3,2√3)．18.解：(1)由題意易知BE⊥BC，則如圖所示，分別以(BE)?、(BC)?、?(BB_1)為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則E(2√3,0,0)，A_1(2√3,-2,3)，B_1(0,0,3)，B(0,0,0)，又因為?(A_1E)=(0,2,-3)，設(shè)?a=?(A_1B_1)=(-2√3,2,0)，?u=?(A_1E)/(|?(A_1E)|)=(0,2/√13,-3/√13)所以點B_1到直線A_1E的距離d=√(?a^2-(?a??u)^2)=√(16-16/13)=(8√39)/13；(2)又?BE=(2√3,0,0)，?(BA_1)=(2√3,-2,3)，?(BB_1)=(0,0,3)，設(shè)平面EA_1B的一個法向量為?(n_1)=(x_1,y_1,z_1)，平面B_1A_1B的一個法向量為?(n_2)=(x_2,y_2,z_2)，則{■(?BE??(n_1)=0@?(BA_1)??(n_1)=0)┤，有{■(2√3x_1=0@2√3x_1-2y_1+3z_1=0)┤，解得{■(x_1=0@y_1=3/2z_1)┤，即可得?(n_1)=(0,3,2)，{■(?(BB_1)??(n_2)=0@?(BA_1)??(n_2)=0)┤,{■(3z_2=0@2√3x_2-2y_2+3z_2=0)┤,解得{■(z_2=0@y_2=√3x_2)┤，即可得?(n_2)=(1,√3,0)，設(shè)二面角B_1-A_1B-E的平面角為θ，可知θ為鈍角，則|cosθ|=|(?(n_1)??(n_2))/(|?(n_1)|?|?(n_2)|)|=(3√3)/(√(3^2+2^2)?√(3+1))=(3√39)/26，所以平面B_1A_1B與平面A_1BE夾角的余弦值是(3√39)/26．9.解：(1)由于l_1的斜率為2，則l_2的斜率為-1/2，則l_2的方程為y=-1/2(x-1)+2，令y=0，得Q(5,0)，(b-1)/(a+1)表示點M(a,b)與N(-1,1)連線的斜率，由于k_PN=1/2，k_QN=-1/6，所以，(b-1)/(a+1)的取值范圍是[-1/6,1/2]．(2)由題可知，直線l_1，l_2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l_1的斜率為k(k≠0)，則l_2的斜率為-1/k，直線l_1的方程為y=k(x-1)+2，令x=0，得y_A=2-k，直線l_2的方程為y=-1/k(x-1)+2，令x=0，得y_B=2+1/k，則|AB|=|y_B-y_A|=|1/k+k|=|1/k|+|k|?2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取“=”．故|AB|的最小值為2．20.如圖，已知以點A(－1，2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切.過點B(－2，0)的動直線l與圓A交于M，N兩點.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|＝219時，求直線l的方程.解(1)設(shè)圓A的半徑為r.∵圓A與直線l：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時，直